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视频课题：高中数学苏教版选修2-3第1章1.5.1 二项式定理_南京市金陵中学
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高中数学苏教版选修2-3第1章1.5.1 二项式定理_南京市金陵中学
二项式定理
教学目标：
1.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题．
2.培养猜想、抽象概括、演绎证明的思维能力.
3.塑造勇于探索、勇于创新的个性品质，让学生体验数学美，激发他们的爱国主义热情. 教学重点：二项式定理及其展开式的通项公式 教学难点：二项式定理的证明
教学过程：
一、问题情境
师：今天是星期一，今天是第一天，那么第810天是星期几？ 师：要解决这一问题，需要考虑怎样的问题？ 生：需要考虑810除以7的余数是多少？ 师：对810 作怎样的处理呢？
生：将810 写成(1＋7)10，即考虑(1＋7)10除以7的余数是多少？
师：我们需要关心(1＋7)10的展开式是怎样的？更为一般的，我们要关心 (a＋b)n的展开式是怎样的？我们下面就来研究(a＋b)n(n=1，2，3，……)的展开式是怎样的？
你想怎么研究？请说说你的研究方案. 二、学生活动
生：我想先研究n=2，3，4这些特殊的情形，看看有没有什么特征或者规律，然后再研究一般的情形.
师：非常好，刚才该同学的想法体现了从特殊到一般的思想方法.
师：n=2时，(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝aa＋ab＋ba＋bb＝a2＋2ab＋b2，
生：根据多项式的乘法法则，我发现，合并同类项之前，展开式的每一项都是从两个括号内各取一个字母的乘积，合并同类项后，由于每一项系数均为1，所以，每一项的系数就是合并前这个项的个数，即得到这个项的方法数．
师：n=3时，(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝(aa＋ab＋ba＋bb)(a＋b)
＝aaa＋aab＋aba＋abb＋baa＋bab＋bba＋bbb ＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3．
生：根据多项式的乘法法则，我也发现，合并同类项之前，展开式的每一项都是从三个括号内各取一个字母的乘积，合并同类项后，由于每一项系数均为1，所以，每一项的系数就是合并前这个项的个数，即得到这个项的方法数．
师：请根据(a＋b)2，(a＋b)3的展开结果猜测(a＋b)n的展开式是怎样的？ 生：(a＋b)n＝__an＋__an－
1b＋__an－
2b2＋…＋__an－
rbr＋…＋__bn (n∈N*)．
师：很好，请结合(a＋b)2，(a＋b)3的展开过程探究并验证上述展开式， 建议结合以下两个问题探究.
问题1：展开式中，合并同类项之前的每一项是怎样得到的？
问题2：展开式中，合并同类项之后有哪些项？各项的系数是什么？ 三、意义建构
生：(a＋b)n＝(a＋b)(a＋b)…(a＋b)， 根据多项式的乘法法则，合并同类项之前，其展开式的每一项是从每个括号里各取一个字母的乘积，如n个a、(n－1)个a及1个b、(n－2)个a及2个b、…、n个b，所以，(a＋b)n的展开式中有an、an－
1b、an－
2b2、…、an－
rbr、…、bn 这些项，其中r＝0，1，2，…，n，由于它们的系数都是1，所以，合并同类项之后的每项系数就是从(a＋b)(a＋b)…(a＋b)的n个括号中选取r个括号(此类括号是指取b的括号)的方法种数．具体地，
n个(a＋b)
都不取b的情况有C0n种，所以an的系数是C0
n；
恰取1个b的情况有C1n种，所以an－1b的系数是C1
n；
恰取2个b的情况有C2n种，所以an－2b2的系数是C2
n；
……
恰取r个b的情况有Crn种，所以an－
rbr的系数是Cr
n； ……
都取b的情况有Cnn种，所以bn的系数是Cn
n. 四、数学理论
(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－
1b＋C2nan－
2b2＋…＋Crnan－
rbr＋…＋Cnnbn
(n∈N*)．
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其
中的系数Crn(r＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数，式中的Crnan－
rbr
叫做二项展开式的通项，
用Tr+1表示，即Tr+1＝Crnan－
rbr
． 二项展开式形式上的特征： （1）项数：n＋1．
（2）次数：n，即a与b的指数和为n．按a的降幂、b的升幂排列，从第一项开始，a的次数由n逐项递减到0，同时，b的次数由0逐项递增到n．
（3）二项式系数：C0n，C1n，…，Crn，…，Cn
n． 五、数学应用
例1 求(a＋2b)5的二项展开式
(a＋2b)5＝C05a5＋C15a4(2b)＋C25a3(2b)2＋C35a2(2b)3＋C45a(2b)4＋C5
5(2b)5
＝a5＋10a4b＋40a3b2＋80a2b3＋80ab4＋32b5．
练习 1.(x＋y)10的展开式中第4项为__________.
生：由通项公式得T3+1＝C310x7y3
，故结果为120 x7y3.
2.(a＋b＋c)7 的展开式中a2b3c2的系数为_______.
生：a2b3c2可以看作从(a＋b＋c)(a＋b＋c)…(a＋b＋c)的7个括号中的2个括号取a，3个括
号取b，最后2个括号取c，故系数为C27C35C2
2，故系数为210. 回归情境：今天是星期一，810天后是星期几？
(1＋7)10的展开式除以7的余数是1，故那天是星期二. 数学文化：二项式定理史略
图1这个表叫杨辉三角，早在我国南宋时期，数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》就给出了，它叫开方作法本原图，实际上，在更早的11世纪中叶，宋代数学家贾宪(1023～1063)就已经给出了二项式系数表，但由于贾宪的著作早就失传，所以杨辉三角命名.
到了14世纪初，元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303)中复载此图，如图2，但增加
图1 图2
了两层，并增添了系数之间的连线.
16世纪，德国数理天文学家阿皮亚努斯(1495～1552)于1527年在一部算术书的扉页上给出了一张二项系数表，如图3所示，但真正做了实质性进展工作的是法国数学家帕斯卡(1623～1662)，他详细利用帕斯卡三角(如图4)论述了二项式系数的性质和应用，他还研究了二项式系数在自然数幂和、组合理论及概论计算等方面的应用，他的工作在数学史上具有十分重要的意义，西方以他的名字命名，称帕斯卡三角.
师：请研究 (a＋b)n＝C0nan＋C1nan－
1b＋C2nan－
2b2＋…＋Crnan－
rbr＋…＋Cnnbn
(n∈N*)．
生：令a＝1，b＝x，可得(1＋x) n＝1＋C1nx＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋Cnnxn
．
生：b＝－b得，(a＋b)n＝C0nan－C1nan－
1b＋C2nan－
2b2＋…＋(－1)rCrnan－
rbr＋…＋(－1) n Cnnbn
．
例2 研究(x－1
2x)6二项展开式中是否存在常数项？若有，请写出该项；若没有，请说明理由.
解：设二项展开式中的常数项为r＋1项，即 Tr+1＝Cr6x6－r·(－12x)r＝(－1)r Cr
6·12r·x6－2r．
根据题意，得
6－2r＝0，r＝3．
所以二项展开式中的常数项为T4＝－C3
68＝－5
2
．
巩固练习
1.求下列各式的二项展开式：（1）(2a－b)6； （2）(1＋2
x
)4．
2.研究(x－2
x2)8二项展开式中是否存在常数项？若有，请写出该项；若没有，请说明理由.
六、回顾反思
1.二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－
1b＋C2nan－
2b2＋…＋Crnan－
rbr＋…＋Cnnbn
(n∈N*)．其中，
二项展开式的通项Tr+1＝Crnan－
rbr．Cr
n(r＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数. 2.二项展开式形式上的特征.
3.两个特殊的二项展开式：(1＋x) n＝1＋C1nx＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋Cnnxn
及
(a＋b)n＝C0nan－C1nan－
1b＋C2nan－
2b2＋…＋(－1)rCrnan－
rbr＋…＋(－1) n Cnnbn
． 作业：书P36 1，5，6，7.
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