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视频课题：人教版高中数学选修2-3《1.3.1二项式定理(第一课时)》陕西省优课
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人教版高中数学选修2-3《1.3.1二项式定理(第一课时)》陕西省优课
奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。
《1.3.1二项式定理(第一课时)》教学设计
一、教材分析
《1.3.1二项式定理》是《普通高中课程标准人教版教科书-数学》选修2---3第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。
在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。同时二项式系数是一些特殊的组合数，有二项式定理可推导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识起到了很好的促进作用。可见二项式定理是一个承上启下的内容，问题类型具有较强的综合性，可以连接不同内容的知识。
二、学情分析
认知分析：学生的认知结构中已经学习了二项式的平方、立方和数列的有关知识，对于计数原理，排列，组合已经有了初步的认识。
能力分析：学生能够运用所学知识解决简单问题——求组合数，但归纳演绎能力有待于进一步提高。
三、教学目标
1、知识与技能目标 （1）、能利用计数原理证明二项式定理 （2）、理解掌握二项式定理，并能简单应用 （3）、能够区分二项式的系数与二项展开式的系数 2、过程与方法目标
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察，分析，归纳的能力，以及转化化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。并经历数学解决问题的一般思路：发现问题，提出假设，证明假设， 3、情感与态度目标 通过探究问题，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。归纳推理让学生在学习的过程中养成独立思考的好习惯，在自主学习中体验成功，在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。
四、教学重难点
（1）教学重点：归纳二项式定理及二项式定理的应用 （2）教学难点：二项式定理中单项式的系数
（3）教学难点的突破：二项展开式中的系数问题，通过两个问题去考察计数原理在因式分解中的应用，从而提出在猜想中的各因式的特点，降幂排列，或升幂排列，系数是看成取谁的一个组合问题，从而很容易的就突破了难点，使学生不感到突然，或是难以接受。
五、教学学法
2
为了突破难点，突出重点，我先采用设疑法将学生的兴趣吸引到课堂中来，然后让学生利用计数方法解决两个问题，随后应用归纳猜想的方法得出本节课的重点，层次分明，起点低，落点高，达到了低步伐高效率。在后面的教学中我注意到我班学生的本身特点，采用探究，思考，自主练习，提问的方式学习这节课的。
六、教学过程 （一）提出问题：
1．牛顿简介，初中学过的杨辉三角形是什么?
2．什么是二项式定理？二项式定理研究的是什么？ 二项式定理研究的是nba)(的展开式. 如：2222)(bababa， 那么：
3)(ba=? 4)(ba=? 100)(ba=? 更进一步：nba)(=？
3. nba)(的展开式是什么呢？我们在计数原理这一章来学习它，说明nba)(的展开式与分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列与组合的知识有关，它对我们以后学习随机变量的分布列及二项式分布奠定了基础，起到了承前启后的作用。那么，如何把二项展开式与这些知识联系起来呢？
nba)(的展开式是什么呢？ 今天我们开始研究二项式定理。
板书：1.3 .1 二项式定理
（二）对2)(ba展开式的分析
1.乘积))()((54321321321cccccbbbaaa有几项？ 乘积1122()()abab有几项？ 2.令1212,aaabbb，
得：))(()(2bababa 展开后其项的形式为：22,,baba 按b分类：分三类：
每个都不取b的情况有1种，即02C ,则2a前的系数为0
2C 恰有1个取b的情况有12C种，则ab前的系数为12C 恰有2个取b的情况有22C 种，则2b前的系数为22C 所以 222020111202222()2abaabbCabCabCab
3
3.类似地：3()ab=？ 按b分类：分四类：
33223030121212303
3333()33abaababbCabCabCabCab
对比：按a分类：(a+b)3 ＝ C33 a3 + C32 a2b+C31 ab2 + C30 b3
按b分类：(a+b)3 ＝ C30 a3 + C31 a2b+C32 ab2 + C33 b3 思考：))()()(()(4bababababa=? 4.问题：
1)4)(ba展开后各项形式分别是什么？
4a ba3 22ba 3ab 4b
2)各项前的系数代表着什么？
各项前的系数 就是在4个括号中选几个取b的方法种数 3)你能分析说明各项前的系数吗？ 按b分类：分五类：
每个都不取b的情况有1种，即04c,则4a前的系数为0
4c 恰有1个取b的情况有14c种，则ba3前的系数为14c
恰有2个取b的情况有24c 种，则22ba前的系数为24c 恰有3个取b的情况有34c 种，则3ab前的系数为34c 恰有4个取b的情况有44c种，则4b前的系数为44c 则 44433422243144044)(bcabcbacbacacba
按a分类：(a+b)3 ＝ C33 a3 + C32 a2b+C31 ab2 + C30 b3 按b分类：(a+b)3 ＝ C30 a3 + C31 a2b+C32 ab2 + C33 b3
（三）对()nab展开式的分析
1.推广：()nab的展开式的各项都是次式，即展开式应有下面形式的各项：
na，nab，„，nkkab，„，nb，
按b分类：分1n类：展开式各项的系数：
每个都不取b的情况有种，即0nC种，na的系数是0
nC； 恰有个取b的情况有1nC种，nab的系数是1nC，
4
„„，
恰有个取b的情况有knC种，nkkab的系数是k
nC，
„„，
有都取b的情况有nnC种，nb的系数是nnC，
∴01()()nnnrnkknnnnnnabCaCabCabCbnN，
2.二项展开式定理：
一般地，对于*Nn有01()()nnnrnkknnnnnnabCaCabCabCbnN
这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()nab的二项展开式，
它有1n项，各项的系数(0,1,)k
nCkn叫二项式系数，
knkknCab叫二项展开式的通项，用1rT表示，即通项1knkkknTCab．
注：（1）项数：有1n项，是()nab的指数n加1；
（2）次数：各项的次数都等于二项式的次数n
各项中字母a的指数按降幂排列，从n次起依次减小1，到0次为此； 各项中字母b的指数按升幂排列，从0次起依次增加1，到n次为此；
二者指数之和是二项式指数n。
()()()()n
kabbabnabnkaba
从个中选，
表示：个相乘从（）个中选
（3）二项式系数：各项的系数叫二(0,1,)k
nCkn项式系数，
即0nC，1nC，2nC，…，n
nC
（4）二项展开式的通项：1(0,1,)knkkknTCabkn，，
（设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。） （5）在二项式定理0
1
()()n
n
n
r
nk
knn
nnnnabCaCabCabCbnN中，用赋
值的思想方法：
①用b替换b：
②设1,abx，则1
(1)1n
k
k
n
nnxCxCxx
5
③设1,abx，则01(1)1()()nkkn
nnnnnxCCxCxCx ④设1,1ab，则01(11)1111nkknnnnnnCCCC
即：012nkn
nnnn
CCCC （四）二项式定理的应用
1. 二项式定理的正用： 例1. 求6(12)x的展开式。 变式训练1：求6(12)x的展开式。 例2. 求6(12)x的展开式中3x的系数。 方法1：用推导思想（定义法）找3x的系数 方法2：全部展开，找3x的系数
方法3：通项法：用二项展开式的通项：1knkk
knTCab
变式训练2：求6(12)x的展开式中第6项的二项式系数与第6项的系数。 变式训练3：求（1）6(23)ab，（2）6
(32)ba的展开式中的第3项．
解：（1）2
4242216(2)(3)2160TCabab， （2）2
4242216(3)(2)4860TCbaba．
点评：1.6(23)ab，6
(32)ba的展开后结果相同，但展开式中的第项不相同
2.求二项展开式的特定项的常见题型
(1)求第k项，Tk＝； (2)求含xk的项(或xpyq的项)； (3)求常数项； (4)求有理项.
思维升华：区别“二项式系数”与“项的系数” 2. 二项式定理的逆用：
例3. （1）4321(1)4(1)6(1)4(1)1xxxx= ；
（2）化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－„＋(－1)kCkn(x＋1)
n
－k
＋„＋(－1)nCnn.
逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式的
特点，向二项展开式的形式靠拢.
6
（五）课堂练习
1.求下列式子的展开式：①4)11(x ②6
)12(x
x
2.①求7)21(x的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。 ②求9
)1(x
x
的展开式中含3x项的系数。 （六）总结与归纳
1.知识总结：（1）二项式定理的表达式以及展开式的通项；
（2）要正确区别“项的系数”和“二项式系数”， （3）二项式定理的应用：正用，逆用
2.思想方法的总结：
（1）由特殊到一般的研究问题的方法； （2）归纳猜想的数学思想； （3）分类讨论的数学思想； （4）类比的数学思想方法； （5）赋值的数学思想方法。
（设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。）
（七）课后作业
1. 黄皮书第97页和98页；
2. 查阅有关牛顿研究二项式定理的资料和杨辉三角形的相关知识及资料。
七、板书设计
1.3 .1 二项式定理（1）
(a+b)2= 例题1： (a+b)3=
(a+b)4=……. 例题2：…….. (a+b)5=……..
猜想(a+b)n=……. 例题3：…….. 说明：1、…….. …….. 2、......... …….. 八、教学后记：
本节课主要带领学生探究了二项式的展开式，二项式定理的表达式以及展开式的通项，要正确区别“项的系数”和“二项式系数”，将二项式定理中的字母赋上适当的值，就可以求一些特殊的组合多项式的值。通过作业的批改发现对字母的指数运算时，根式化为分数指数幂时容易犯错，学生不习惯用第k+1项表示通项。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
