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视频标签：函数的单调性
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视频课题：高中数学人教A版版必修1第一章1.3.1函数的单调性-河南
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高中数学人教A版版必修1第一章1.3.1函数的单调性-河南省 - 济源
教学目标
1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法.
2.通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力.
3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生感知从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程.
2学情分析
高中学生对函数概念有一个初步的了解,对函数的性质仅是刚刚接触,让学生从形到数的体会概念。
3重点难点
【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明.
【教学难点】 根据定义证明函数的单调性.
【教学方法】 教师启发讲授,学生探究学习.
【教学手段】 计算机、投影仪.
4教学过程
4.1一、创设情境，引入课题 下面的图为济源市冬天某一天24小时内的气温变化图．观察气温变化图： 问题：观察图形，从图中你能看出温度的变化趋势吗？ 学生：某些时段温度升高，某些时段温度降低. 教师指出：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． 问题：你还能举出其他数据的变化吗？ 学生：水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等． 归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．
4.1.1新设计
二、归纳探索,形成概念
对于自变量变化时,函数值是变大还是变小,是函数的重要性质,称为函数的单调性,同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识,但是没有严格的定义,今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.
1.借助图象,直观感知
问题1:分别观察函数 的图象,并且观察自变量变化时,函数值的变化规律?
几何画板动态演示,同时提问:
观察 的图像上的动点A的坐标,点A从左向右移动,随着x的增大y有什么变化?
观察 的图像上的动点A的坐标,点A从左向右移动,随着x的增大y有什么变化?
教师总结:通过这两个函数图象我们看出,对于自变量变化时,函数值具有两种变化规律,我们分别称之为增函数和减函数
现在我们观察 的图像上的动点A的坐标,从左向右移动,随着x的增大y有什么变化?(大家一起回答)
观察 的图像上的动点A和动点B的坐标,从左向右移动,随着x的增大y有什么变化?(大家一起回答)
教师总结:通过这两个函数图象我们看出,对于自变量变化时,函数值是变大还是变小是针对函数定义域的某个区间而言的,是函数的局部性质。
问题2:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数吗?
学生:如果函数 在某个区间上随自变量x的增大,y也越来越大,我们说函数 在该区间上为增函数;如果函数 在某个区间上随自变量x的增大,y越来越小,我们说函数 在该区间上为减函数.
教师:这种认识是从图象的角度得到的,是对函数单调性的直观、描述性的认识.
练习: 如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间.
〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第一次认识.
2.抽象思维,形成概念
问题1:根据下面函数的图象,你能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗?
学生的困难是难以确定分界点的确切位置.
通过观察,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不够精确,需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.
〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.
问题2:如何从解析式的角度说明 在 上为增函数?
预案: (1) 在给定区间内取两个数,例如2和3,因为22<32,所以 在 上为增函数.
(2) 仿(1),取多组数值验证均满足,所以 在 为增函数.
(3) 任取 ,因为 ,即 ,所以 在 上为增函数.
对于学生错误的回答,引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量 .
〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法,为第三阶段的学习做好铺垫.
问题3:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义.
(1)板书定义
(2)巩固概念
判断题:
① .
②若函数 .
③若函数 在区间 和(2,3)上均为增函数,则函数 在区间(1,3)上为增函数.
④因为函数 在区间 上都是减函数,所以 在 上是减函数.
通过判断题,强调三点:
①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.
②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数),有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数),有的函数根本没有单调区间(如常函数).
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在 上是增(或减)函数.
思考:如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?
〖设计意图〗让学生由特殊到一般,从具体到抽象归纳出单调性的定义,通过对判断题的辨析,加深学生对定义的理解,完成对概念的第三次认识.
三、掌握证法,适当延展
例1 证明函数 在 上是增函数.
四、归纳小结,提高认识
学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受,师生合作共同完成小结.
1.小结
(1) 概念探究过程:直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.
(2) 证明方法和步骤:设元、作差、变形、断号、定论.
(3) 数学思想方法:数形结合.
2.作业
书面作业:课本第39页 习题1.3 第2,3题.
课后探究:研究函数 的单调性.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
