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视频标签：函数的单调性
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视频课题：高中数学人教A版版必修1第一章1.3.1函数的单调性-河北
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§1.3函数的单调性（人教版必修一）教案
一、教材分析
1、地位及作用
本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质，常伴随着函数的定义域、值域、最值、奇偶性等其它性质出现。它既是在学生学过函数概念、图象、表示方法等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、幂函数等各类函数的基础，同时单调性在比较大小、解不等式、证明不等式、数列的性质以及其它知识的综合应用中发挥着重要作用。研究函数单调性的过程体现了数学的“数形结合”和“从特殊到一般”的思想方法，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。
2、教学目标
1）、知识目标：（1）理解单调性概念，掌握函数单调性的应用（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图助数的过程，在这个过程中，通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。
2）、能力目标： 在探索过程中培养分析、归纳、抽象思维及推理判断能力。初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。
3）、情感目标： 在参与过程中体验成功的喜悦，感受学习数学的乐趣，提高学好数学的自信。
3、教学重点与难点 难点：函数单调性定义。
重点：利用定义证明函数的单调性。
二、教学方法
根据学生的认知规律，本节采用探索式的教学方法，利用启发、合作探究、由浅入深进行教学，以激发学生思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以熟悉的问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。在鼓励学生主体参与的同时，发挥教师的主导作用，教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。
三、学法分析
1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过对比构造，来完成从感性认识到理性思维质的飞
2
跃，不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型。
2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力。
四、教学过程
函数是高中数学最重要内容，函数的性质是它的核心，函数性质的综合运用是关键。它已经渗透到数学的各个分支，比如三角函数、不等式、数列等，应用非常广泛。正因为如此，它是每年高考必考题。今天老师将带领同学们学习函数的第一个性质：单调性。
（一） 创设情景，导入新课
观察下面两个图，说说国民生产总值与全国耕地面积随年份的变化情况：
同学们，喜欢数学吗？喜欢数学就一定能够学好数学！下面我们看数学家眼中的数学：
数学正沿着它自己的道路无拘无束的前进着，这并不是因为他有什么不受法律约束之类的种种许可证，而是因为数学本来就具有一种由其本性所决定的并且与其存在相符合的自由.----数学家Hankel
从这段话我们就感受到了数学的魅力，数学的自由和神奇，今天我们开启一段神奇的数学之旅，旅途中，我们欣赏函数的单调性。
我们知道，函数是高中数学最重要的内容，函数的性质是核心，而性质的应用是关键，其应用已经渗透到数学的各个分支，如三角函数、数列、不等式等，应用广泛，正因为如此，函数性质是高考必考题。因此我们要引起足够的重视。
那何为性质，是指在事物发展变化过程中，始终保持不变的特征，就是实物的性质。下面我们来分析，函数的单调性呈现的是函数的那种变化特征呢？
①下面是我国人均国内生产总值（人均国内生产总值不断增长：国民生产总值GDP在不断增加）
3
②全国耕地面积柱形图，但是国家已经出台确定了全国耕地面积一个最低红线）
什么是性质，先从函数说起，函数的概念描述了两个变量之间的相互依赖关系，揭示出函数值随自变量的变化而呈现某种变化的规律，那么在这个变化过程中始终保持不变的特征就是函数的性质，下面我们开始寻找单调性所具备的特征。
问题1观察函数的图象，说说它们的图像随x的增大，()fx的值有什么变化？
x
y
fx() = x + 1
1-1O
x
y
fx() = x + 1
11Ox
y
11
fx() = x2
O
从上面的观察可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，发现：一次函数在R上呈上升和下降趋势，二次函数在对称轴两侧呈现两种趋势，
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我们把函数的这种重要特征总结为函数的单调性。
这种 “图像从左到右呈上升趋势” 的函数叫增函数，而把“图像从左到右呈下降趋势” 的函数叫减函数，通过观察得到了单调性的“图形语言”
问题2 怎样描述函数()fx图像的“上升”和“下降”趋势？用自变量与函数值的变化描述：教学意图：从图像直观到定性描述，给出增（减）函数的定义。
若函数()fx的值随x的增大而增大，则称函数为增函数，反之为减函数。从而得到函数单调性的 “文字语言”
问题3 如何将函数()fx的值随x的增大而增大作为增函数的定义，证明函数2()fxx在区间(0,)上是增函数？能举一些具体数据吗？这些数据能解决在整个区间上的变化趋势吗？怎样定量刻画？
①“增大”意味着比较：需要建立两个量的大小关系。 ②“x增大”的符号化，用两个自变量的变化表示为：1x＜2x ③“)(xf”的增大符号化：f(1x)＜f(2x)
④“随”字的符号化：当1x＜2x时，有f(1x)＜f(2x)
⑤怎样实现“所有”，对1x，2x“任取”就可以了。用“任意”突破“无限”，这是数学中最经典的一种描述。
（二） 归纳总结 探究新知
问题4增（减）函数定义：一般地，设函数()yfx的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量1x，2x，当1x＜2x时，都有f(1x)＜f(2x)（或f(1x)>f(2x)）；那么就说)(xf在区间D上是增（减）函数。如果函数()yfx在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数()yfx在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做)(xfy的单调区间。
实现了：图形语言 文字语言 符号语言 。
y= f(x)
O
x
y
x1
x2
y= f(x)
O
x
y
x1x2
5
5
-5
0
1
2
-3
问题5定义中有4个关键词：“定义域”、“区间”、“任意”、“单调区间”的意义何在？单调性是函数的局部性质；
（三）质疑答辩，发展思维。
例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数()yfx，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
y
x
变式1：观察反比例函数1
yx
的图像，说出它的单调区间，并给以证明：
Y
X
D C B A O x
y
o
6
函数单调区间的写法：对于区间的端点如果在定义域内用闭区间，不在用开区间。 对于反比例函数的单调减区间一定不能写成（-∞，0）∪（0，+∞）（数学是严谨的。若否定某一结论，只要举一反例即可）
例2 物理学中的玻意耳定律k
pv
（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积v
减少时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。
分析：按题意，只要证明函数k
pv
在区间（0，+∞）上是减函数即可。解决的一般步骤：建立数学模型，解决数学问题，回答实际问题，（数学在实际中的应用）
变式2：判断函数1
yxx
在（1，+∞）上的单调性，并给以证明。 （四）总结规律 升华结论
问题6利用定义证明函数)(xf在给定的区间D上的单调性的一般步骤： ①任取12,xxD，且设12xx；
② 作差12()()fxfx，变形（通常是因式分解和配方）； ③定号（即判断差12()()fxfx 的正负）； 求函数的单调区间时必须在函数定义域内进行。
证明函数单调性的三个步骤：取值→作差→定号 （数学是规范的） 巩固练习：
1.用定义证明1
()2fxx
在（-∞，0）上单调增
2.讨论函数2()(0)fxaxa的单调性，写出函数)0(2acbxaxy的单调区间。 3.若二次函数2()4fxxax在区间（-∞，1〕上单调递增，求a的取值范围。 通过练习继续使学生们加深对函数单调性的理解，并能根据定义熟练的进行证明。 （五）总结反思 收获经验
问题8：回顾学习过程，有何体验与感悟？
今天我们学习了函数的单调性概念，懂得了如何用定义证明单调性，如何确定函数的单调区间，并对单调性进行了简单应用，这是知识层面的收获。另一方面我们经历并体验了一个概念的形成过程，就是通过观察，进行分析，通过分析特征总结规律，最后得到完整的数学概念，这个过程就是数学抽象的过程，也是数学的核心素养之一。所以在平时的学习中，我们要养成这种善
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于观察、总结问题的能力，提高我们的数学素养。
（六）布置作业：课本P39习题1.3题（A组）第1-4题。 板书设计：
§1.3函数的单调性：
1、 定义： 2、 证明： 3、 应用：
例题：
教学反思：
这节课是对函数性质的探究发现过程，我们利用了认识事物的一般过程和方法，即、通过图形观察特征，通过特征总结规律，达到由特殊到一般的演变，通过图形语言转化为文字语言，最后把文字语言转化为符号语言，形成一个完整精确的数学结论，我们经历并体验了一个完整的“概念”形成过程，是一个数学抽象的过程。实际上，数学中的每一个概念、性质都是这样形成的。所以通过这节课我们不仅学到了函数单调性的知识，更重要的我们要学会善于观察、善于分析、善于总结问题的能力。
今天的课就上到这，但数学的精彩还在继续，在数学的旅途中，还有更多的风景，请同学们一路欣赏，一路收获！最后用今天的内容献给同学们一句话：时刻保持增函数的特性积极向上，就会创造出惊人的奇迹！祝同学们心想事成!
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
