联系本站客服加+微信号15139388181 或QQ：983228566 |
视频标签：函数的单调性
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：高中数学人教A版版必修1第一章1.3.1函数的单调性-重庆
本视频配套资料的教学设计、课件 /课堂实录及教案下载可联本站系客服
高中数学人教A版版必修1第一章1.3.1函数的单调性-重庆市江津-函数的单调性教学设计
§1.3.1函数的单调性
一、教学内容解析
本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第一章《集合与函数概念》1.3《函数的基本性质》中第1.3.1节《单调性与最大（小）值》的第一课时，本节教学内容为函数的单调性．函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质．也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都要经历直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.
函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.
在研究单调性过程中，经历观察图象，描述函数图象特征；结合图、表，用自然语言描述函数图象特征；用数学符号语言定义函数性质的过程．体现了对函数研究的一般方法．加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．
在对函数单调性的探究过程中，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力；让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
二、教学目标设置
（一）学习目标
1．知识与技能：能从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；
2．过程与方法：通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法。
3．情感态度与价值观：通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量。
（二）目标解析
1．能够以具体的例子说明某函数在某区间上是增函数还是减函数；能够举例，并通过绘制图形说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质.对于一个简单的函数能够用单调性的定义，证明它是增函数还是减函数.
2．在探究函数单调性定义时，领悟到数形结合思想、转化思想、变化与对应思想，并能运用这些数学思想观察、分析函数的图象，探究、归纳、概括函数单调性的概念．
3．通过对函数单调性定义的探究，经历观察、分析、探究、归纳的认知过程，将函数图象的“上升”或“下降”这一特征能用该区间上“任意的
，都有
”的数学语言进行刻画.从函数
入手归纳函数单调性定义推广到一般函数的单调性定义.培养良好的思维品质，提高思维能力．
三、学生学情分析
学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是描述事物运动变化规律的数学模型，并且学习了一次函数、二次函数及反比例函数，能熟练的利用描点法画出这些函数的图象.进入高中以后又进一步学习了函数概念，认识到函数是两个非空数集间的一种对应．知道函数有三种表示方法，充分认识到一个函数中自变量与函数值的对应关系，可以利用图象表示函数中函数值随自变量
的变化而变化的规律和性质.
教学中，通过一次函数、二次函数等具体的函数图象及数值变化特征的研究，得到“图象是上升的”，即“
随着的增大而增大”，仅就图象角度直观描述函数单调性的特征，学生并不感到困难.困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性特征抽象出来，用数学的符号语言描述.即把某区间上“随着的增大而增大”这一特征用该区间上“任意的，都有”进行刻画.其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的
．并初步提出单调递增的说法，通过图象观察，提出猜想，经历讨论、交流、验证使学生克服思维障碍，经历从直观到抽象、具体到一般的形成知识的过程．
四、重、难点分析
重点：函数单调性的概念；
难点：函数单调性概念的形成过程。
五、教学策略分析
在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“y随x的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证。对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度。
为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：
（1）创设生活情境，找准切入点．函数是描述事物运动变化规律的模型，生活中很多运动变化的现象都值得去关注，让学生通过观察江津区四面山某天气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识，并为概念的引入提供了必要性．让学生带着问题（什么是函数的单调性？怎样判定函数的单调性？）进入新课．
（2）探索概念阶段，紧扣主线．在函数图象上“谱好”函数单调性教学的“三步曲”．
①以学生熟悉的函数为例，让学生从图象上获得“上升”“下降”的整体认识，初步认识函数单调性．
②通过观察函数的
对应值表格提出猜想，通过几何画板软件加以验证，用数学语言“随着的增大而增大” 来描述 “函数
的图象在
轴右侧是上升的”，进一步认识函数单调性．
③通过观察、猜想、分析、验证、证明的过程，从而用数学符号语言定描述函数在
的单调性.最后通过类比，用数学符号语言定义一般函数的单调性．
（3）注重思想方法的培养．从函数图象的观察出发，经历从直观到抽象，从图形语言到数学符号语言，进而理解增函数、减函数、单调区间概念的过程中，感悟数形结合思想、特殊到一般思想．掌握通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这一研究函数性质的常用方法．
（4）在“引导探索”阶段。 首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”，借助多媒体引导学生对“y随x的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越。
（5）在“学以致用”阶段。 首先通过看图说出单调区间，形成对概念正确、全面而深刻的认识。 然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法。
六、学习探究过程
（一） 创设情境，引入课题
实例: 请观察江津区四面山某日24小时内的气温变化图，你能说出这一天的气温变化趋势吗？
预设：学生的关注点不同，如气温的最值，某时刻的气温，某时间段气温的升降变化（若学生没指明时间段，可追问），等。 图象在某区间上（从左往右）“上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质——单调性（板书课题）。
设计说明：从气温变化图导入新课，直观形象感知气温变化，自然引入函数的单调性。
函数是描述事物变化规律的数学模型。 如果清楚了函数的变化规律，那么就基本把握了相应实物的变化规律。在事物变化过程中，保存不变的特征就是这个事物的性质。因此，研究函数的变化规律是非常有意义的。
（二）自主探究
问题1:任意写出一个函数的解析式及定义域(1) 列出一些自变量x的值，计算相应的y值；(2) 画出草图，观察图像的上升、下降趋势，并指出y值随x的增大如何变化。
| 函数 | |||||||||||||||||||
|
列表 |
 |
||||||||||||||||||
|
描点法 画图象 |
       
     y |
在区间
上的单调性为例，用几何画板动画演示“y随x的增大而增大”，生成表格（每一秒生成一对数据）。，则必须有
。
，若有
。能保证函数
在区间
上递增吗？上取两个点，能保证递增吗？拖动“拖动点”改变函数在区间上的图象，可以递增，可以先增后减，也可以先减后增。
，若有
，能保证函数在区间上递增吗？上取三个点，能保证递增吗？在区间上的图象变化。
，若有
，能保证函数在区间上递增吗？上取无数个点呢？大家讨论一下也不能保证函数递增，那该怎么办呢？若学生回答全部取完或任取，追问“总不能一个一个的验证吧？”
定义域为I，在区间D上，我们应当如何给增函数下定义？的定义域为
：内的某个区间
上的任意两个自变量的值
，当时，都有，那么就说函数
在区间上是增函数．，我们应当如何给减函数下定义？
上的函数，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
 |
的单调性的图象，并说出函数的定义域是什么？上的单调性是怎样的？证明你的结论．
(
为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积
减小时，压强
将增大．试用函数的单调性证明之．
|
|
定义域内的某个区间D上任意两个自变量的值，当时，都有
，则函数在区间D上是 ．（填“增函数”或“减函数”）|
函数的单调性 递增：（板书定义） 递减：（学生类比） |
例题（提炼步骤，明确变形方向） 练习（学生板演） |
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
