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视频课题：高中数学必修五中第三章第四节基本不等式-山东
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高中数学必修五中第三章第四节的基本不等式-山东省 - 淄博
教学设计
一、教学三维目标
《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题.根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：
1、
知识与能力目标：
理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、
过程与方法目标：
在利用赵爽弦图和折纸游戏进行推导重要不等式和基本不等式的过程中，按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
3、
情感与态度目标：.
通过对赵爽弦图的了解渗透数学文化，通过折纸游戏和情景剧场的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质；在学习过程中感受不等式证明的严谨性，从而培养严谨的学习态度。
通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认
好的学习态度和习惯.
（2）教学中设置两条主线，一是知识与技能的主线，采用层层递进的呈现方式，使学生学会初步运用基本（重要）不等式解决简单问题的方法.二是感受过程与方法的主线，即学生经历“了解研究方法——感受研究方法——自主研究”的过程.
（3）基本（重要）不等式的证明过程有很多种方法，如比较法、综合法、分析法等，在此处证明过程只要求学生能用已有知识证出即可，不作过多的说明和证明方法罗列.以往经验告诉我们，学生在解题中易忽视基本不等式成立的条件，因此设计了在证明的过程中学生自己发现成立条件的教学目标.
（4）教材用赵爽的弦图作为本节课的导入，借此可增强学生的民族自豪感，通过了解中国数学文化，培养学生爱祖国、爱科学的精神.通过图形探究重要不等式时，必然要经历不等到相等的过渡，而此过程正能体现马克思主义哲学原理中量变与质变的辩证关系.基本不等式在实际生活中应用较广泛，通过设置学生感兴趣的动画情境，对学生进行明理诚信教育，通过设置生活化的问题情境，使学生树立科学生态价值观.
(5)基本（重要）不等式的主要应用是求函数的最值或值域，由于本课时是本节的第一课时，主要还是以学生掌握不等式内容和探究过程为主，只要会比较大小和会求0,0bax
b
axy型的函数在0x时的最小值即可,为第二课时求最值的“一正二定三相等”的一般方法作准备.
教法分析及教学支持条件
本节课以数学实验为抓手，以问题为载体，为学生提供动手做、动
眼看、动脑想和动口说的机会，引导学生积极思考、合作探究，体现“重过程、重情感、重生活”的理念.教学中在动手折纸的基础上辅以几何画板的动态演示，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生学会数学地思考问题的能力，增进应用意识和问题意识.利用学生感兴趣的数学文化知识和生活中买卖猪头肉的情景剧场，实现情感、态度、价值观目标. 四、教学过程：
1．.创设情境，几何引入
【课前预习】赵爽利用弦图证明勾股定理的过程.
（请学生在学案上课前完成：
4SSS大正方形直角三角形小正方形 2
222142
cababab.）
【引言】右图是在北京召开的第24届国际数学家大
会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽的弦图构图巧妙、精致，该图给出了迄今为止勾股定理最早、最简洁的证明，是数与形的完美统一。
探究一：在弦图中，由面积间的相等关系，得到了勾股定理这一经典等式.然而，相对关系与不等关系是相对存在的.在弦图中存在着怎样的不等关系呢？
师：从弦图中我们能抽象出哪些几何图形？ 生：一大一小两个正方形，和4个全等的直角三角形 师：如果设直角三角形两条直角边长为,ab，
那么正方形的边长为
2
2ba．
求出4个直角三角形的面积之和1S和正方形ABCD的面积2S，你能得到什么不等关系？
生：
4个直角三角形的面积之和12Sab，正方形ABCD的面积222Sab．
由图可知21SS，即222abab． 师：上式中何时等号成立？
生：当正方形EFGH缩为一个点，即ab时取等号.
教师几何画板进行动态弦图的展示，让学生有更加直观的感受和认识。
(请学生说明：当ab时, 222abab；当ab，222abab.教师归纳:当且仅当ab时，等号成立.)
师：上式对正实数是成立的，那么对任意实数ab、，上式都成立吗？请证明自己的结论.
生：证明如下（作差法）：
0)(2222baabba
222abab，当且仅当ab时取等号．
【设计意图】使学生经历数学实验的过程，增强学好数学的信心.同时通过了解中国数学文化，增强学生的民族自豪感和爱国主义精神，增强学生对国家发展的信心.学生体会如何从实验中发现问题，如何从特殊到一般地猜想问题.感受到由“形”到“数”的逐步提炼的过程，感受由量变到质变的数学问题中的辩证关系.
探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直
角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a和b（ab），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？ 通过学生动手操作，探索发现：
> 0,02
ab
abab 在什么情况下，这个不等式能取等号？ 当且仅当ab时取等号.
教师用几何画板来直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论。
a
b
这个两个不等式有联系吗？
如果0,0,ab我们用,ab分别代替1式中的,,ab可得2abab。 通常我们把上式写作
(0,0)2
ab
abab，称为基本不等式，本节课我们就来研究基本不等式.（引入课题并板书）
【设计意图】学生在上一环节的学习中已感受到几何实验的作用，此处再次设计实验使学生对用此研究方法产生更深刻的理解，提高了学生探究问题的能力，也为后面利用实验的方法独立探究奠定基础. 2．代数证明，得出结论
问题：由图形验证的结论只是猜想，并不能代表一般的情况，你能证明你的猜想吗？在证明的过程中你能发现不等式成立的条件吗？
师生活动：教师适时点拨，证明不等式可以用比较法、或以某个不等式为依据的方法推出结论.证明后点明此不等式为重要不等式.
预设方案一：比较法（作差）
=
2abab22
abab
2
2
22
abab
2
02
ab
（当且仅当ab时取等号．）
预设方案二：综合法 由02ba推出结论 由于Rba,，于是 要证明
2
ab
ab， 只要证明 2 abab， 即证2
2
2 0aabb，
即 2
0ab，该式显然成立，所以
2
ab
ab，当ab时取等号．
分析法比较符合我们的思维习惯， 预设方案三：由02ba推出结论
（综合法）：由于0,0ab，于是2
0ab
2
2
2 0aabb
2 abab
2ab
ab
分析法的特点是从要证明的结论开始一步步地寻求其成立的条件，直至寻求到已知条件上。综合法的特点是从已知条件开始推演，一步步地推导结果，最后推出要证明的结果。分析法利于思考，综合法宜于表述，在解决问题中，最好合并使用。对于一个新问题，我们一般先用分析法寻求解决，然后用综合法有条理地表述出来。
【设计意图】虽然证明过程很简单，但对学生来说证明会稍有困难，所以必要时要对学生进行适当的点拨.同时通过证明过程发现不等式成立的条件，加深学生对知识的理解.
问题：应用重要不等式解决简单的比较大小的问题.
师生活动：各式与重要不等式的内容进行对比，分析上述代数式的结构特征，，准确找到变量ba、分别由哪些量代替，学会以重要不等式为依据、利用换元思想比较大小的方法.
【设计意图】为了使学生经历完整的研究问题的步骤和感受探究新知后的成就感，此处采用及时的学习结果评价方法，检测阶段性的学习效果.
得出结论，展示课题内容 基本不等式: 若0,0,ab，则
2
ab
ab（当且仅当ab时取等号．） 注：其实条件改为0,0ab，不等式仍然成立。 深化认识：
称ab为,ab的几何平均数；称 2
ab
为,ab的算术平均数 基本不等式
2
ab
ab代数意义可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 3．几何证明，相见益彰
探究三：如图，
AB是圆 O的直径，点C 是 AB上一点，ACa，
BCb．过点C 作垂直于 AB的弦 DE，连接, ADBD．
根据射影定理可得：
= CDACBCab
由于Rt COD中直角边CD斜边OD，
于是有 2
ab
ab D
C
A
B
E
O 15
142;
141522
2
2
111aa2
2
baab;2;2
当且仅当点C 与圆心 O重合时，即ab时等号成立． 故而再次证明： 当0,0,ab，则
2
ab
ab（当且仅当ab时取等号．） （进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性） 基本不等式
2
ab
ab几何意义可叙述为：半径不小于半弦 另外基本不等式 2
ab
ab数列意义可叙述为：两个正数的正的等差中项不小于它们的等比中项。
【设计意图】培养学生数形结合的意识，养成数形结合地分析问题的习惯.
基本不等式：“当a，b都是正数时，有
2
ab
ab”，如果将条件“a，b都是正数”改为“a，b都非负”，基本不等式是否还能成立？
答：能成立．
4.基本不等式的常见变形： 当0,0ab时
○12 abab
○22
2abab
（当且仅当ab时取等号．）
（1）变式○
1可以把和化积，变式○2可以把积化和。 (2)利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件：
①各项均为正数；②其和或积为常数；③等号必须成立．即“一正，二定，三相等”．
基本不等式是高中最重要的一个不等式，其结构简单、均匀对称，意蕴深厚，应用广泛。
5．应用举例，巩固提高 趣题：
b
a
L1
L2
L2
L1
班长爱吃猪头肉，肉店周老板说：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，只需将猪头肉放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？我听说请同学们都是活雷锋，请你们帮帮忙班长，这猪头肉买不买？
请同学们畅所欲言，发表自己的观点看法。熟对熟非，敬请观看班长和他的小伙伴们带来的情景剧，答案即将揭晓。
（提前安排预习任务，教师只负责提供“宏观”素材，其余部分有班长和他的小伙伴们自导自演，任其发挥。若是不能正确应用基本不等式解决实际问题，预案一是由课堂上其他同学来临时客串完成，预案二是教师亲自赤膊上阵指点迷津。） 解析：不等臂天平左臂为L1,右臂为L2.某
先把要称的猪头肉M放在左盘,右盘放质量为a的砝码时天平平衡. 然后把物体M放在右盘,在左盘放质量为b的砝码天平平衡. 肉店周老板的计量结果为2
ab
m
， 在该题中如何合理的表示物体的质量呢？（实际结果为 mab，）：
请班长分享一下计算过程1221
21212
, mLaLmLbLmLLabLLmab
由基本不等式：当0,0,ab，则
2
ab
ab（当且仅当ab时取等号．） 可知周老板是个奸商，所以有必要警告他务必诚信经营。
【设计意图】（1）利用学生感兴趣的背景,激发学习兴趣，培养学生的应用意识.（2）学生体会利用科学的观点辩别是非的重要性.（3）结合此类社会现象，坚决抵制不讲诚信、损人利己的做法，抵制各种不良思想的影响，重温天津精神和我校校训提出的有关诚信的要求，从而对学生进行诚信教育，树立正确的价值观和理性消费观.
例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m，则xy=100，篱笆的长为2(x+y) m.由
xyy
x2
，可得x+y≥2100，等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此这个矩形的长、宽各都为１０ m时，所用篱笆最短，最短的篱笆是４０ m.
解：设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m.则2(x+y)=36，x+y=18，矩形菜园的面积为xym2.由92
18
2
yxxy，可得xy≤81.等号当且仅
当x=y=10时成立.因此这个矩形菜园的长、宽各都为９m时，菜园的面积最大，最大面积是８１m2.
（学生完成情况很好，要注意对答的要求）
师 下面有的同学用函数也解决了这两个问题.很好，这说明同学们对所学过的知识、方法能够在不同的问题中灵活运用，解决问题的能力很强.由于时间关系，用函数解决这两个问题的方法我们就不交流了，让同学们课后去完成.
（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）[来
师生活动：建立函数模型解答问题，体会基本不等式在解题中的作用. 【设计意图】（1）使学生利用基本不等式解决简单的实际问题； （2）尝试运用数学知识解决实际问题，树立科学的节能减排意识和环保意识.体会在市场经济下，运用所学数学知识优化生活中的一些问题的重要性.
对于0,0,ab，[来源:Zxxk.Com]
（1）若,abp（定值），则当且仅当ab时，ab有最小值2p；
（2）若abS（定值），则当且仅当ab时，ab有最大值2
4
S．
概括成一句话：和定积最大, 积定和最小
练习：（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
答案：（1）,,ab设这两个正数为则36ab，
212abab（当且仅当6ab时取等号）
（2）,,ab设这两个正数为则18ab，
2
812abab
（当且仅当9ab时取等号）
（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神． ）
【设计意图】求函数的最值是本节应用的重点，它需要一个循序渐进的过程，本节课为后面学习打好基础,为学生铺路搭桥.使学生能举一反三解决问题. 5．归纳小结，反思提高
重要不等式： , aRbR，则222abab，当且仅当ab时取等号． 基本不等式：0,0,ab，则
2
ab
ab（当且仅当ab时取等号．） （1）基本不等式的代数证明，几何解释（数形结合思想）； （2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．
师生活动：先由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其指出本节课所经历的知识探究过程和数形结合的思想，强调数学文化及用不等式解决生活问题时给我们带来的启示，提出思考问题为下节课作准备.
【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识及方法纳入已有的认知结构，提升情感、态度、价值观目标.通过两个思考问题为下节课的学习埋下伏笔. 6．布置作业，课后延拓
（1）基本作业：课本P100习题A组1、2题
（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
