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视频标签：基本不等式
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视频课题：人教A版高中数学选修4-5第一讲《基本不等式》浙江省优课
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《基本不等式》教学设计
一、教材分析
1. 地位与作用
本节课是人教版（A版）普通高中课程标准试验教科书选修4-5不等式选讲第一讲《不等式与绝对值不等式》的第二节内容。本节内容教材共分两课时，第一课时主要证明两个定理，理解它们的几何意义，简单应用不等式解决函数的最值问题，第二课时主要应用两个定理证明不等式以及求一些复杂函数的最值问题，解决一些生活中的实际问题。本节课是第一课时，是前面学习内容的延续，同时又为求更复杂的函数最值问题，以及证明不等式作铺垫。 2. 学情分析
学生已经学过了必修5的基本不等式 ，因此通过提问的形式让学生回忆前面学过的重要不等式，然后为了学习方便，将它以定理的形式给出，既让学生回忆起了不等式又从代数的角度证明了定理，然后通过一个折纸实验，让学生从形的角度理解了定理1，体现了数形结合的数学基本思想。
二、教学目标
1. 知识与技能
理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。提升了数学抽象、逻辑推理素养。
2.过程与方法
按照创设情景，提出问题→ 代数验证→ 几何解释→ 应用的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数形结合的思想方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。提升了数学抽象、直观想象、数学运算、数据分析的数学素养。
3.情感态度与价值观
通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
三、教学重难点
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式)0,0(2
bab
aab。 难点：基本不等式成立时的三个限制条件。
四、教法分析
本节课采用启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。
五、教学准备
多媒体课件、正方形纸片。
教学过程
一、设置问题，新课引入
在必修5我们已经学习了不等式，在此基础上继续学习不等式，前面我们学习了基本不等式的性质，掌握了利用作差法比较两个数的大小，现在请同学们比一比2
2
ba和ab2的大小，既回顾了上一节的内容，又给出了重要不等式，同时也证明了不等式，为了方便同学们学习，我们将它以定理的形式给出，引出新课。
【设计意图】通过学生熟悉的问题，自然的给出了重要不等式，引出了新课，提升逻辑推理素养。
二、新知建构，形成体系
定理1 如果Rba,，那么abba22
2，当且仅当ba时，等号成立。
接下来我们通过一个实验，从几何图形的角度验证定理1 折纸游戏：准备两张大小不同的正方形纸片
步骤1：将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形；
步骤2：用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）；
步骤3：假设两个正方形的面积分别为 2a和2
b（ba），考察两个直角三角形的面
积之和与矩形面积的大小关系，我们可以直观的得出
)0,0(2
2
2baabba
【设计意图】通过实验，锻炼了学生分析、观察、总结问题的能力，又体现了数形结合的数学思想。
问题1：如果我们将上述式子中的a用a，b用b来代替，那么会得出什么结论呢？ 定理2（基本不等式）如果,0,ba那么abb
a2
，当且仅当ba时等号成立 问题2：ba,可以取其它值吗？
问题3：你能用作差法证明这个定理吗？ 如果ba,都是正数，我们就称
2
b
a为ba,的算术平均，ab为ba,的几何平均，于是，基本不等式可以表述为：两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
问题4：下面我们讨论基本不等式的几何意义，我们看下面的几何图形，得出几何意义
,,,,900bBDaADABCDACB____________
CDOC 基本不等式的几何意义：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高 问题5：你还能得出基本不等式几何意义的不同解释吗？ 三、小试牛刀 练一练
的最大值
求、已知的最小值求、已知xybyxyxyxaxyyx,,0,02,,0,01
注意 四、综合应用，能力提升 例1、（1）已知1x，求1
1
xxy的最小值； （2）已知2
3
0
x，求)23(xxy的最大值。 分析完（1）之后，请学生对它进行变式，可以改条件，可以改问题，并解出来。 例2、已知0,0yx且
19
1y
x，求yx的最小值 变式：1.已知,1yx求
19
1y
x的最小值。 C
A O D
B “ :使用定理的前提条件以及等号成立的要求。
2. 已知10x，求
x
x191的最小值。 【设计意图】通过对题目的变式，加深对应用不等式解决最值问题的理解 高考题欣赏
____2),2,1()0,0(12017(1的最小值为则过点年山东卷文）若直线
、babab
y
ax
_____
8
1
2,063,,2018(2的最小值为则且年天津卷文）已知、babaRba
思考题：
.
_________,,3,122的最小值为的最大值为则满足、若实数ababbababa)0,0(22112
222bababaabb
a、证明
【设计意图】通过这个思考题对定理1有进一步的认识
五、课堂总结，经验升华
1.两个定理
2、基本方法：利用基本不等式求最值； 3、数学思想：数形结合思想、归纳类比思想
六、布置作业，巩固提高
习题1.1：5,6,7,8,9,10,13,14
七、板书设计
基本不等式
定理1
定理2（基本不等式）
例1 例2 高考题 课堂总结
八、教学反思
课堂中充分调动了学生利用已有知识和技能去探究新知，学生的综合思维能力得到了培养。其次，突出学生的主体地位，整节课堂始终以学生为主体，教师始终是参与者、引导着、
解答疑惑者。让学生充分的展示自己的学习成果，培养了学生分析问题、解决问题的能力以及语言表达能力。但是在学生变题活动中，由于时间有限探究还不够充分，需要今后进一步改进。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
