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视频标签：二次函数的图像,抛物线
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：人教A版高二数学选修2-1第二章《为什么二次函数的图像是抛物线》天津市 - 滨海新区
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《为什么二次函数的图像是抛物线》教学设计
一、教学背景分析 （1）教学内容分析:
本节课是普通高中课程标准实验教科书数学人教A版选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》中的探究与发现，主要内容是探究、发现、说明为什么二次函数的图像是抛物线。 （2）教学对象分析：
授课班级是普通高中校的高二学生，从知识方面来说，在高一时已初步接触了解析几何初步，学习了直线与圆，在高二又学习了椭圆、双曲线与抛物线这三种圆锥曲线的定义、标准方程及其几何性质，对解析几何的基本思想方法有了一定的认识，基本掌握了求曲线方程的一般方法，对图像的平移变换规律也有一定的了解和应用；从能力方面来说，具备了一定的知识迁移、归纳概括和分析问题、解决问题的能力，并对数形结合、化归等数学思想方法有一定的感悟。 （3）环境分析：
根据本节课教学内容的特点，为了更直观、动态的展示图像平移变换及曲线上任意点的数学特征，我借助了几何画板这一软件；为了快速大容量的呈现教学内容与学生作品反馈，我借助了PPT、投影机，通过将信息技术与数学课堂教学有机的融合，使本节课达到了较好的教学效果，突破了本节课的难点。 二、教学目标、教学重难点 （1）教学目标：
①在教师引导下，让学生自主探究“二次函数的图像与抛物线的区别与联系”从中寻求适当的方法来说明“为什么二次函数的图像是抛物线”，进而揭示二者之间的本质联系。
②引导学生经历观察、分析、操作、论证、归纳的认知过程，让学生在经历的过程中体会知识之间的内在联系，理解知识的本质；学会运用化抽象为具体、由特殊到一般等数学的思维来思考问题的方式；体会其中所蕴含的数形结合，转化与化归等数学思想方法，逐步提高学生的数学思维能力与分析问题解决问题的能力，进而提升学生的数学核心素养。
③通过回顾高一物理学科的抛体运动以及生活中的抛物线的应用实例，让学生感受数学的应用价值，数学家名言的引入，再次让学生体会数学就在我身边，激发学生学习数学的兴趣。 （2）教学重点：
“为什么二次函数的图像是抛物线”的探究、发现与证明。 （3）教学难点：
如何寻求适当的方法来说明“为什么二次函数的图像是抛物线”。 三、教学过程 环节 教学内容
师生活动
设计意图
（一） 复习回顾
问题导入 [问题一]
我们在初中数学与高中数
学的学习中多次提到了抛物线，你能回顾一下与抛物线相关的学习吗？
[问题二]
这两个抛物线之间到底有什么区别,又有什么联系呢？
[问题三]
我们从以上三方面说明了
二者之间的区别，那么二者
学生回忆抛物线
的学习经历，并做出回答：初中首次接触抛物线，是二次函数的图像，高中真正的学习了
抛物线的定义、标准方程及几何性质。
教师引导学生寻找问题的切入点,学生独立思考,获得二者在开口方
向、顶点坐标、对称轴方面的不同。
新课标理念提倡：
注重联系、提高对
数学整体的认识。意在让学生用联系的观点分析思考问题，为更好的
体会知识之间的内在联系作准备。
意在同中求异，为之后二者之间的合理转化作铺垫。
的本质是一样的吗？为什么二次函数的图像是抛物线呢？这是我们本节课所探究的问题。
教师板书题目
导入课题
（二）
自主探究 初得方法 [问题四]
为什么二次函数的图像是抛物线呢？如何来证明
呢？你能想到从什么角度来说明这个问题吗？
[问题五]
如果我们能用适当的方法将二次函数的解析式转化为抛物线标准方程的某种
形式的话，就可以说明为什么二次函数的图像是抛物
线了。那可以用哪种方法进行转化呢？
学生自主探究，交流讨论。教师引导启发学生的思维。 学生获得思考角度：从解析式出发。
①教师引导学生由解析式分析图
形的特点，再由图形的合理转化分析得到解析式的
转化方法——图像的平移变换。
②学生任意给出一个具体的二次
函数解析式，教师借助几何画板展示图像的平移变
化过程，并由学生
逻辑结构的熏陶是中学数学的“灵魂”，是培养学生理性精神的特有载体。意在激发学生的理性思维，寻求合适的推理方法与推理依据。
由数思形、由形想数。意在让学生化
抽象为具体，学会
用数学的思维思考问题。
几何画板直观动态演示图像的平
移变化过程及其相应的解析式的变化，意在让学生
亲身经历观察、分
观察图像变化过程中解析式的变化情况。
③学生总结归纳得出任意的一个二次函数的解析式转化为抛物线标准方程的形式
的过程。学生板书结果。
析、操作的过程，并在解决问题的过程中，体会其中所蕴含的数形结合的思想方法。
由特殊到一般，由具体到抽象，归纳得出结论，意在让学生在经历的过程中，领会用数学
的思维解决问题的方法。 （三）
结论延伸 再获新法 [问题六]
既然二次函数的图像是抛
物线，那么二次函数的图像是不是也有所谓的焦点和准线呢？
[问题七]
那此时你们是否想到用别的方法来说明为什么二次函数的图像是抛物线呢？
教师给出一具体
的二次函数解析
式，学生独立思
考，获得方法，并进行计算。教师巡回指导。
学生回答定义法，并阐述了具体的
操作方法：求平面内到该定点与定直线距离相等的点的轨迹方程是否恰好为该二次
既是对平移知识的再次应用，同时也为寻求新的证
明方法作好铺垫。
意在锻炼学生的发散性思维，获得
新的证明方法。
函数的解析式，如何是就能说明这个二次函数的图像是抛物线了。
学生利用曲线与
方程的知识，用求曲线方程的一般
方法获得结果，证明了结论。投影仪投影学生作品，并讲解主要过程。
教师再次借助几何画板演示二次函数图像上的点是否满足抛物线的定义。
意在规范学生步
骤，锻炼学生的语言表达能力和现
场表现力。
意在直观验证、再次证明结论。
（四）
知识拓展 注重联系 [问题八]
通过以上探究，我们用两种方法证明了为什么二次函
数的图像是抛物线，那你们有没有想过为什么把具有这种几何特征的曲线命名为抛物线呢？让我们一起来回顾高中物理中的抛体运动。
PPT 呈现物理课本上的抛体运动
的定义及其运动规律。师生共同获得抛物线这个名称的由来。
新课标提倡：在高中数学的教学中，不仅要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，也要注重数学与其它学科的联系。意在通过知识的迁移，理解知识
的本质。
（五） 课堂小结
高度概括 [问题九]
本节课同学们都学到了什
么？
学生概括所学内容。
教师再度深化：其实二次函数的图像与抛物线本质是一样的，只是由研究问题的所需建系方法不同而已。
意在提高学生的
概括能力，并深化理解本质所在。
（六） 走进生活
体会应用 [问题十]
抛物线在生活、生产中都有着广泛的应用。你们能举出实例吗？最后让我们一起走进生活中的抛物线吧。
以数学家的名言结束本节内容。
学生举实例。
教师也举出一些
实例，比如汽车前照灯、聚光太阳灶等。
注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识，
激发学生的学习兴趣。
（七）
作业布置 类比可想，初中我们学习了反比例函数的图像双曲线，
你能利用高中所学的双曲线知识来说明为什么反比例函数的图像是双曲线吗？
意在通过类比，迁移获得新的问题的求解途径，提高学生的数学思维能力。
四、教学反思与自我评价
（1）本节课位于普通高中数学人教A版选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》中的探究与发现栏目，是一个不足以引起我们高度重视的栏目。但经过较长时间的学习和思考，发现本节内容的教学无论是对知识的本质理解还是对基本的数学思
维方法的掌握，还是对数学思想方法的渗透，还是对数学的应用价值的体会都有着非常重要的作用，根据新课标理念及数学核心素养的要求，我确定了如下的教学目标：
①在教师引导下，让学生自主探究“二次函数的图像与抛物线的区别与联系”从中寻求适当的方法来说明“为什么二次函数的图像是抛物线”，进而揭示二者之间的本质联系。
②引导学生经历观察、分析、操作、论证、归纳的认知过程，让学生在经历的过程中体会知识之间的内在联系，理解知识的本质；学会运用化抽象为具体、由特殊到一般等数学的思维来研究问题的方法；体会其中所蕴含的数形结合，转化与化归等数学思想方法，逐步提高学生的数学思维能力与分析问题解决问题的能力，进而提升学生的数学核心素养。
③通过回顾高一物理学科的抛体运动以及生活中的抛物线的应用实例，让学生感受数学的应用价值，数学家名言的引入，再次让学生体会数学就在我身边，激发学生学习数学的兴趣。
为落实教学目标，结合学情我采用了“教师启发、学生探究”的互动生成的教学法，设计了如下的六个教学环节：
复习回顾 问题导入——自主探究 初得方法——结论延伸 再获新法—— 知识拓展 注重联系——课堂小结 高度概括——走进生活 体会应用。 （2）课后反思——收获
① 本节课依据新课程理念，结合学生的知识与能力基础展开教学，教学环节环环相扣，教学中力争让学生在教师的引导下自主探究、合作交流，并在探究活动的过程中揭示知识之间的内在联系，理解知识的本质；学会运用化抽象为具体、由特殊到一般等数学的思维来研究问题的方法；体会其中所蕴含的数形结合，转化与化归等数学思想方法，逐步提高学生的数学思维能力与分析问题解决问题的能力，进而提升学生的数学核心素养。较好的完成了本节课的教学任务。 ②本节课注重数学教学与信息技术的整合，在引导学生由数思形、由形想数，将抽象问题化具体的基础上，借助几何画板直观、动态演示二次函数的图像的平移变化过程及其相应的解析式的实时跟踪变化，让学生在亲身经历观察、分析、操作的过程中获得解决问题的方法的同时，也让学生身临其境的体会其中所蕴含的
数形结合的思想方法，而这是传统的手工绘图无法实现的。信息技术的应用为更好的突破本节课的难点起到不可替代的作用。 （2）课后反思——不足
①在用定义法证明为什么二次函数的图像是抛物线这一问题时，只是证明了一个具体的二次函数的图像是满足抛物线的定义，那么对于任意一个二次函数的图像是否也满足呢,严格的讲这是需要证明的，但由于授课时间的限制，教学过程中没有作过多的证明。是否需要留为作业让学生去完善证明呢?
②在作业的选取上，授课前是有过犹豫的，对于本节课的课后作业应该是注重所学知识的巩固、内容的理解，还是应该注重知识的类比与思想方法的迁移呢？ 以上两点是需要我继续思考的地方，也是需要通过实践再去改进的地方。希望各位专家与同仁提出宝贵的意见。
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