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视频标签：抛物线,及其标准方程
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视频课题：人教B版高中数学选修1-1第二章2.3.1《抛物线及其标准方程》河北省 - 唐山
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《抛物线及其标准方程》
一、教材分析
本节内容是在初中以二次函数图象的形式初步探讨过，现在是在学习了椭圆、双曲线的基础上又一种圆锥曲线。本章对抛物线的安排篇幅不多，但与椭圆、双曲线的地位是一样的。利用抛物线定义推出抛物线标准方程，为以后用代数方法研究抛物线的几何性质和选学内容“三种圆锥曲线的统一极坐标”打下基础，本节起到一个承上启下的作用。 二、教学目标
1.知识目标：掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线。 2.能力目标：通过对抛物线概念和标准方程的学习，培养学生分析和概括的能力，提高建立坐标系的能力。
3.情感目标：通过抛物线概念和标准方程的学习，培养学生勇于探索、严密细致的科学态度，通过提问、讨论、思考等教学活动，调动学生积极参与教学，培养良好的学习习惯。 三、教学重点 难点
重点：（1）抛物线的定义及焦点、准线；
（2）利用坐标法求出抛物线的四种标准方程；
（3）会根据抛物线的焦点坐标，准线方程求抛物线的标准方程。 难点：（1）抛物线的四种图形及标准方程的区分；
（2）抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。 四、教学方法和手段
1、教学方法：探究式教学
2、教具准备：多媒体 五、教学过程
（一）设置情景，导入新课
（借助多媒体）先给出一张喷泉的图片。（此时学生的兴趣来啦！）
【学情预设】学生被教师设置的情景所吸引，学习的热情高涨。 （进而引出本节研究的课题：抛物线及其标准方程）
【设计意图】一个引人入胜的开头会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动，激发兴趣，陶冶情操，大大提高教学效率。
（二）引导探究，获得新知
如下图，演示抛物线的形成过程。（打开几何画板软件把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板
的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．）
师：认真观察P点的运动过程，你们有什么发现？（利用几何画板软件同步动态演示）
生：APPC和APPF等于AC，所以点P在运动时，CP始终等于PF。 师：这位同学观察很敏锐，直接抓住关键地方！ 师：那这样画出来的图象也是？ 生：抛物线！
【活动设计】利用几何画板软件演示抛物线的形成过程。
【学情预设】学生惊讶！计算机软件居然能演示抛物线形成的过程，学生学习的兴趣再次调动起来！
【设计意图】强调“在操作中促进学习”，体现数学实验在学习数学中的应用价值，同时激发学生学习计算机知识的兴趣。至此本节的难点得以突破。 师：以前我们是用描点法画出抛物线，那今天我们怎么画？ 生：教具，电脑……
师：现在变换教具的位置，那么画出的图象还是抛物线吗？ 生：是。
师：这说明了什么？ 生：画抛物线与位置无关。
师：所以今天我们就巧妙地利用几何知识和计算机等方式画出了整个图象。 师：现在你们就可以归纳一下抛物线的定义了！
生：到点F的距离和到直线L的距离相等的点的轨迹叫做拋物线。 师：这样归纳完整吗？
生:应该说，平面内到一个定点F和到一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做拋物线。
生：还要注意定点不能在定直线上。 师：为什么啊？
师：如果这样，就只能找到一个点。
师：说得很好！这里F叫做拋物线的焦点，定直线L叫做拋物线的准线。 【学情预设】学生间合作交流，完成对抛物线定义的归纳。 【设计意图】着重培养学生分析、归纳等能力。
（三）深入探索，推导方程
师：接下来你们试试推导拋物线的方程？（简单回顾求曲线方程的方法）。 一段时间后，实物投影仪展示学生探讨的结果。（分组讨论，集中探索）
1.以K为原点，定直线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，此时得方程为：
2220ypxpp
2.以F为原点，过F且垂直于定直线F的直线为x轴建立平面直角坐标系，此时
得方程：22
20ypxpp
3.以垂线段KF的中点为原点，KF所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，此
时得方程：2
20ypxp
师：哪个好呢？
生：方案3所得的方程更简洁！
师：我们就把它叫做拋物线的标准方程，注意这里标准的规范是顶点在原点，图象关于x轴对称。
【活动设计】以原来的四人小组为单位，讨论建立直角坐标系的方案，一段时间后，各组交流，对可行的方案进行验证。
【学情预设】可能出现的情况如上。若只出现第一种和第二种方案，教师要适时引导出现第三种方案；若直接出现第三种方案，教师就引导学生归纳抛物线的标准方程。
【设计意图】通过有启发性的活动设计和层层深入的问题设置，使学生在分析、探究、反思和归纳中，不断获得解决问题的方法。
F
K L 图1
x
y
F
K L
图2
x
y
F K
L
图3
x
y
师：现在请同学们增大点F到直尺L的距离，重复刚才的实验，比较一下，抛物线有什么变化？再缩小这个距离试一试。
生：点F到直尺L的距离发生变化，抛物线开口也发生变化。 师：观察很准确！这说明了什么？
生：焦点到准线的距离是抛物线的一个重要的几何特征。 师：说得非常好！
师：接下来看课本的一条拋物线，试将你们的课本逆时针旋转90再观察，会有什么发现？
生：x轴和y轴对调了。 生：还有开口向上了！
师：同学观察得很仔细！那么你们能推出它的方程吗？ 生：将22ypx中的x和y对调就行了，就是22xpy！ 师：大家在等式两边同除2p看看！ 生：2
12yxp
，哦，是二次函数形式！ 师：对了！这就是我们熟悉的二次函数了！ 师：那再逆时针旋转90，怎么求？
生：和22ypx图象关于y轴对称，将x替换x就行，就是22ypx！ 师：再逆时针旋转90呢？
生：和22xpy图象关于x轴对称，将y替换y就行，就是22xpy！ （打开计算机里的表格，学生迅速完成表格内容！）
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
220ypx
p
,02p
2p
x
220ypx
p
,02p 2p
x
220xpy
p
0,2p
2p
y
220xpy
p
0,2p
2p
y
师：你们完成的过程有没什么发现？
生：从2
20ypxp的形式上，方程的一次项决定焦点的位置。
生：还有一次项系数符号决定开口方向，而且可以迅速算出焦点坐标为,02p
和
准线方程为2
px。 师：还有吗？
生：抛物线标准方程和椭圆、双曲线的标准方程不同的是：确定抛物线只要一个自由量p，而确定椭圆和双曲线则需要两个自由量。 师：观察很敏锐，分析很透彻，很好！
【学情预设】通过老师的层层引导，学生自主完成计算机中的表格的内容，认清抛物线和二次函数图象的联系，认清抛物线标准方程的各种形式。
【设计意图】引导学生透过现象看本质，不断提升分析、总结与归纳等能力，也为分析例题和解决实际应用问题奠定理论基础。
（四）指导应用，鼓励创新
师：接下来我们运用上述所学到的知识来解决一些问题： 自主练习
已知抛物线的方程，求其焦点坐标和准线方程.
2y =20x 2
0yaxa
例题导航
（1）已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程 。 （2）求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程。
【设计意图】巩固四种方程的形式及曲线特征，熟悉相关公式。强调解决抛物线方程问题时要先转化为标准方程。
（五）小结概括，深化认识
师：今天我们学习了什么内容？
生：可以巧妙地利用几何知识画出抛物线。
22yx26yx0
生：知道了抛物线的标准方程，它的顶点在原点，焦点落在对称轴上，有四种形式。
师：这是知识方面的。我们还学到了哪些数学思想方法？
生：转化思想，求解抛物线方程问题时要特别注意先化成标准方程。
师：很好！今天我们学习的内容虽然不多，但是从知识、能力、思想与应用等方面都理解和体验了数学的奥秘！
【学情预设】学生总结出在知识、数学思想等方面的收获。
【设计意图】摆脱传统教学中教师小结的做法，让学生自己总结，加深对本节课内容的认识。 六．布置作业 课时作业十六 七、板书设计
拋物线及其标准方程
2．拋物线的标准方程 1．拋物线的定义 3．应用与小结
建系方案三
建系方案二
建系方案一
例题 练习
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