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在线播放:人教版A版（2019年版）高一必修1《4.5.1函数的零点与方程的解》费县

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视频标签：函数的零点与方程的解

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视频课题：人教版A版（2019年版）高一必修1《4.5.1函数的零点与方程的解》费县

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人教版A版（2019年版）高一必修1《4.5.1函数的零点与方程的解》费县§4.5.1 函数的零点与方程的解费县第二中学李雪
学习目标
1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.（易混点）
2.会求函数的零点.（重点）
3.掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数.（难点）
核心素养
1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养.
2.借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养.

自主探究：函数零点与方程的根的关系

问题：

方程 x² 2x 30 的解为，函数 y x² 2x 3的图象与 x 轴有个交点，坐标为．
方程 x² 2x10的解为，函数 y x² 2x1的图象与 x 轴有个交点，坐标

为．

方程 x² 2x30 的解为，函数 y x² 2x3的图象与 x 轴有个交点，坐标为．

一般结论：

判别式

2

4

b

ac

D= -



>

0



0

=



0

<

方程

)

0

(

0

2







a

c

bx

ax

的根

函数

)

0

(

2







a

c

bx

ax

y

的图象

函数的图象

与

x

轴的交点

根据以上结论，可以得到：

x

y

x

1

x

2

0

x

y

0

x

1

x

y

0

一元二次方程 ax²bx c 0(a 0) 的根就是相应二次函数 y ax²bx c(a 0) 的图象与 x 轴交点的             .
你能将结论进一步推广到 y  f (x)吗？
新知：对于函数 y  f (x)，我们把使 f x( ) = 0 的实数 x 叫做函数 y  f (x)的零点
（zero point）.
反思：
函数 y  f (x)的零点、方程 f x( ) = 0 的实数根、函数 y  f (x)的图象与 x 轴交点的横坐
标，三者有什么关系？
小试牛刀：
1．函数 y = x²- 4x + 4 的零点为              ．
2．函数 y x³的零点为              ．
3．函数 f (x) log₅(x  1)的零点是(　　) ．
A．0　　　　　 B．1           C．2           D．3
小结：方程 f x( ) = 0 有实数根 Û 函数 y = f x( ) 的图象与 x 轴有交点 Û 函数 y = f x( ) 有
零点.

合作探究一：零点存在性定理

问题：

作出 y x= ²- 4 3x+ 的图象，求 f (2), f (1), f (0) 的值，观察 f (2) 和 f (0) 的符号．
观察下面函数 y = f x( ) 的图象，

在区间[a b, ]上      零点； f (a) f (b)      0；在区间[b c, ]上      零点； f (b) f (c)      0；
在区间[c d, ] 上      零点； f (c) f (d)      0．
新知：如果函数 y = f x( ) 在区间 [a b, ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f (a) f (b)  0 ，那么，函数 y = f x( ) 在区间 (a b, )内有零点，即存
在 cÎ (a b, ) ，使得 f c( ) = 0 ，这个 c 也就是方程
f x( ) = 0 的根.
小组讨论： 1．若 f (a) f (b) 0，则 f (x) 在(a,b) 内的零点个数一定是一个吗？
2．若 f (x) 在(a,b) 内有零点，则 f (a) f (b)  0 一定成立吗？
3．在零点存在性定理的条件下，如果函数具有单调性，函数 y = f x( ) 在区间(a b, ) 内存在唯一零点吗？
判断：若函数 y  f (x)在区间[a b, ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（
）．
A．若 f (a) f (b)  0，不存在实数c(a,b)使得 f (c) 0 ；
B．若 f (a) f (b)  0，存在且只存在一个实数c(a,b)使得 f (c) 0 ；
C．若 f (a) f (b)  0，有可能存在实数c(a,b)使得 f (c) 0 ；
D．若 f (a) f (b)  0，有可能不存在实数c(a,b)使得 f (c) 0 ．
小试牛刀：
2
1.函数 f (x) ln x  的零点所在的大致区间是(　　) ．
x
A．(1,2)        B．(2,3)         C．(3,4)          D．(e,3)
2．根据表格中的数据，可以判断方程e^x x 2 0必有一个根在区间(　　) ．

x

－

1

0

1

2

3

e

x

0.37

1

2.78

7.39

20.09

x

＋

2

1

2

3

4

5

A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)

合作探究二：数形结合方法探讨方程的根的个数

求函数 f x( ) =ln x +2x - 6 的零点的个数．（你有哪些方法？你会证明这个函数的单调性吗？）
1 1 变式：分别求函数 g(x) x  ,h(x) x  的零点个数． x x
感悟：函数 y =f x( ) 的零点 Û 求两个简单函数图象的交点横坐标 Û 方程 f x( ) =0 的根．
1．已知函数(小试牛刀：) f (x) 的图象是连续不断的，有如下对应值表：

x

1

2

3

4

5

6

7

)

(

x

f

23

9

–

7

11

–

5

–

12

–

26

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（   ）个．
A．5 个      B．4 个    C．3 个       D．2 个 2.函数 f (x) ＝的零点个数为(　　) ．
A．0               B．1               C．2               D．3

当堂达标

1.函数 y 2x 1的零点是（）

A.1 B.^ ¹,0^ C.^0, ^1 D.2

2  2   2
2.函数 f x 3^x 4 的零点所在区间为（）
A.(0,1) B.(-1,0) C.(2,3) D.(1,2)

 2^{ x},x 0

3.函数 f (x)  的零点是 lg x,x  0 回顾小结
1、本节课你学到了那些知识？

函数零点的定义．
零点的存在性定理．
函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断．

2、本节课渗透了什么数学思想方法？

课后检测，自主学习

【基础检测】
1．已知函数 f (x) x² 1，则函数 f (x  1) 的零点是________．
2．若函数 f (x) ax b只有一个零点 2，那么函数 g(x) bx² ax 的零点是(　　) ．
A．0,2 B．0，－ C．0， D．2，
【能力提升】

 2x  2, x[1,), 1

3．设函数 f (x) x2  2x, x( ,1).，则函数 f (x)  4 的零点是________．

4．定义在 R 上的奇函数满足：当 x0时， f (x) 2017^xlog₂₀₁₇x ，则在 R 上方程
f (x) 0的实根个数为________．
【综合拔高】
5．设 aR ，试讨论关于 x 的方程 lg(x  1)lg(3 x) lg(a  x) 的实根个数．（选

做）
6．已知函数 f (x) log x ，求方程( ) x  f (x) 的实根个数．

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