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视频标签：函数的零点与方程的解
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视频课题：人教版A版（2019年版）高一必修1《函数的零点与方程的解》莘县
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人教版A版（2019年版）高一必修1《函数的零点与方程的解》莘县第一中学设计
《4.5.1 函数的零点与方程的解》教学设计
本课内容选自高中数学必修第一册第四章第五节新授课第一课时《函数的零点与方程的解》。
一、教学目标
（一）三维目标
-
知识与技能目标：理解函数零点的概念，体会函数的零点与方程的解及函数图象与 x 轴交点的关系；会求函数的零点；理解并掌握函数零点存在定理。
-
过程与方法目标：从已知的二次函数零点出发，得出一般函数零点的概念，并从数与形
的角度理解函数的零点、方程的解、函数图象与 x 轴交点间的等价关系；以探究的方法认识和归纳函数零点存在定理，并通过具体的实例理解定理的充分不必要性。
-
情感态度价值观：从函数与方程的联系中体验数学结合思想、从特殊到一般的归纳思想，
培养学生的思维能力以及分析问题解决问题的能力。
（二）重、难点重点：函数零点的概念；函数的零点与方程的解的关系；函数零点存在定理难点：函数零点存在定理的理解与应用
二、教学过程
（一）课题引入
历史典故：在神圣的罗马帝国时期，人们经常在公共场所举办解方程比赛，其盛大景况可与明星演唱会相媲美。当时的罗马帝国皇帝腓特烈二世也是个数学迷。有一次他举办了一
场宫廷数学竞赛，其中一道竞赛题目是求三次方程
x32
x10
x200
的根。来自比萨的大数学家斐波那契成功地获得了它的近似解，并精确到了小数点后 6 位。
最终斐波那契赢得了比赛，深受皇帝的赞赏。
师：由于当时的历史原因，斐波那契的方法并没有被记录下来，这也是数学史上的未解之谜。那么生活在高科技时代的我们，不借助计算工具能否也能像斐波那契那样求出这个三次方程的近似解吗？答案是：你可以！
设计意图：让学生了解数学史上的历史故事，引出本节课的课题，提高学生的学习兴趣，激发学生的学习欲望。
从学生已学的二次函数的零点概念入手，给出三个函数
y2
x6、
yln
x1、
yln
x2
x6，引出一般函数的零点的概念，让学生体会从特
殊到一般的数学归纳思想。
设计意图：让学生从已知到未知，从特殊到一般，提出问题，大胆创新。
（二）归纳新知
-
函数的零点的概念：对于一般函数 y f(x)，我们把使 f(x)0的实数 叫做函x
数
y
f(
x)的零点。
-
函数的零点的意义：函数 y f(x)的零点就是方程 f(x)0的实数解，也就是函数y f(x)的图象与 轴交点的横坐标。x
即方程
f(
x)0有实数解 函数
y
f(
x)有零点 函数
y
f(
x)的图象与 轴有
x 公共点。
-
对函数零点的理解：
从“数”的角度（方程
f(
x)0的实数解）和“形”的角度（函数
y
f(
x)的图象与
x轴交点的横坐标）两方面让学生体会数形结合和函数与方程两个重要思想。然后回归到本节起点快速求函数
y2
x6、
yln
x1的零点。
学生口答：练一练：1、求下列函数的零点
（ 1 ）
y2
x4 （ 2 ）
ylog
2x （3）
2、函数
f(
x)2
x23
x1的零点是（ ）
A.
,1 B.
,1 C.(
,1) D.(
,0),(1,0)
3、已知 是函数2
y
x2
ax2的零点，则
a .
设计意图：让学生快速应用函数的零点与方程的解的关系，题目不难，但具有代表性，既有数又有形，及时巩固新知。
（三）定理探究
问：函数
yln
x2
x6有没有零点？如果有，如何研究？
探究 1（学生口答）：观察函数
f(
x)
x22
x3的图象：
（1）在[2,0]上，
f(2)
f(0) 0（ 或 ） 函数 在
f(
x) (2,0)上 （有或无）零点；
（2）在 上，[2,4] f(2)f(4) 0（ 或 ）
函数 在 上
f(
x) (2,4) （有或无）零点. 设计意图：从学生熟知的二次函数进行探究，借助图象，初步体会函数值的取值规律与函数零点是否存在之间的关系。
探究 2（学生口答）:观察函数
y
f(
x)的图象：
-
在 上，[a,b] f(a)f(b) 0（ 或 ） 函数 在 上f(x) (a,b) （有或无）零点；
-
在 上，[b,c] f(b)f(c) 0（ 或 ） 函数 在 上f(x) (b,c) （有或无）零点；
-
在 上，[a,d] f(a)f(d) 0（ 或 ）
函数 在 上
f(
x) (
a,
d) （有或无）零点.
设计意图：让学生利用一般函数的图象再次体会函数值的取值规律与函数零点是否存在之间的关系，进一步加深学生已有的猜测。
问 1：根据以上两个探究，你能得到什么结论？设计意图：让学生大胆创新，说出自己的结论。
问 2：函数 在区间 上满足
f(
x) [
a,
b]
f(
a)
f(
b)0，则函数 在区间 上一定有
f(
x) (
a,
b)
零点吗？设计意图：让学生举出反例，重点引出函数零点存在定理的两个关键条件。
1、零点存在定理：如果函数
y
f(
x)在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，且有[
a,
b]
f(
a)
f(
b)0，那么函数
y
f(
x)在区间 内至少有一个零点，即存在(
a,
b)
c (
a,
b)。
使
f(
c)0,这个 就是方程
c f(
x)0的解.
（学生板演）练一练：判断函数
f(
x)
x33
x1在下列区间上是否有零点？
（1）(2,2) （2）(1,2)
设计意图：及时应用反馈，加深对定理的记忆和理解。
2、定理理解（小组讨论，合作交流）问：（1）若函数满足连续且
f(
a)
f(
b)0，则函数在区间 上存在零点，有几个？(
a,
b)
-
若函数满足连续且 f(a)f(b)0，且在区间 上单调，则函数在区间(a,b) (a,b) 上有几个零点？
-
若函数满足连续且 f(a)f(b)0，则函数在 上一定没有零点吗？(a,b)
-
若函数y f(x)是连续不断的函数，则“ f(a)f(b)0”是“函数y f(x)在
区间 上有零点”的(
a,
b) 条件？
设计意图：一连串的问题，层层递进，拓展学生的思维，小组合作，探索总结出函数零点唯一的条件，理解函数零点存在定理的充分不必要性。
例 1：求函数
f(
x)ln
x2
x6在区间 上的零点个数(1,3) .
变式：求函数
f(
x)ln
x2
x6的零点个数.
设计意图：例 1 是零点存在定理的再次应用。变式回扣本节课导入环节提出的问题，通过
本节课的学习让问题迎刃而解，学生有获得感和成就感。
想一想：能否用其他方法研究本题？
设计意图：拓展学生的思维，锻炼学生的逻辑能力，让学生体会数形结合思想和转化与化归思想的应用。
（四）课堂检测
1、函数
y4
x2的零点是（ ）
A.2
B.(2,0)
C.(
,0)
D.
2x4,x0 f(x)
-
函数 lgx,x0 的零点是 .
6
-
已知函数 f(x)
log2x,在下列区间中，包含函数 的零点的是（f(x) ） x
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,)
4、已知函数
y
f(
x)是连续不断地，且有如下对应值表，则函数至少存在几个零点？
（五）课堂小结：本节课你都学到了什么？
-
函数零点的概念，函数零点与方程的解的关系；
-
会求函数的零点；
-
用函数零点存在定理判断零点所在区间.
-
数形结合思想和函数与方程思想
问：历史典故中的方程
x32
x10
x200在区间 上有解吗？(1,2)
答：有。
问：那我们能否求出这个解的近似解？我们下一节课继续研究！
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