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视频标签：函数的零点与方程的解
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视频课题：人教版A版（2019年版）高一必修1《4.5.1函数的零点与方程的解》山东省淄博
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人教版A版（2019年版）高一必修1《4.5.1函数的零点与方程的解》山东省淄博
方程的根与函数的零点第一课时
【教学设计】一、教材分析
本节内容为人教版《普通高中教科书》A 版必修第一册第四章《指数函数与对数函数》第 5 节《函数的应用（二）》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理。这是一节概念课。
函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程联系在一起。方程本身就是函数的一部分，用函数的观点来研究方程，就是将局部放入整体中研究，进而对整体和局部都有一个更深层次的理解。
本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和今后进一步学习函数奠定基础.因此本节课内容具有承前启后的作用，地位至关重要，从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台．二、学生分析：
学生在学习本节内容之前已经学习了函数的图象和性质,理解了函数图象与性质之间的关系,尤其熟悉二次函数,并且已经具有一定的数形结合思想,这为理解函数的零点提供了直观认识,并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持;学生有一定的方程知识的基础,熟悉从特殊到一般的归纳方法,这为深入理解函数的零点及方程的根与函数零点的联系提供了依据.但学生对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生在联系函数与方程，发现函数零点的存在性事造成了一定的难度。又加上函数零点存在性的判定方法表述较为抽象难以概括。因此教学中尽可能提供学生动手实践的机会，让学生亲身体验中掌握知识与方法，充分利用学生熟悉的二次函数图象和一元二次方程通过直观感受发现并归纳出函数零点的概念；在函数零点存在性的判定方法的教学时应该为学生创设适当的问题情境，激发学生的思维引导学生通过观察、计算、作图、思考理解问题的本质。
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教学重点难点：教学重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。
教学难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。
1.理解函数零点的概念，领会函数零点与相应方程的关系.理解并会用零点的存在性定理判定某区间上是否存在零点以及解决零点的个数问题.
2.体会方程与函数、数形结合、化归等数学思想.学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。
3.在愉悦的学习氛围中，通过理解“方程的根与零点的关系”，感受数学内在美，激发学习热情。
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数学思想：方程与函数思想、数形结合、化归思想
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数学素养：数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理素养三、教学方法:类比启发探究的数学方法四、教学手段:媒体呈现生活素材辅助课堂教学五、教学过程
写出下列方程的根：（1）2x
2－3x－3=0 （2）
2x 3x7 0
设计意图及要点:从学生较为熟悉的方程（一元一次、一元二次方程）出发，再提出稍微难一点的方程符合学生的认知规律，进而使学生认识到有些复杂的方程用以前的解题方法求解很不方便,需要寻求新的解决方法，让学生带着问题学习，激发学生的求知欲．
【探究一】方程与函数的关系.
1.完成下表
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方 程 |
x2 2x3 0 |
x2 2x1 0 |
x2 2x3 0 |
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函 数 |
y x2 2x3 |
y x2 2x1 |
yx2 2x3 |
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函数的图象 |
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方程的实数根 |
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函数图象与 x 轴的交点坐标 |
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问题：上表中方程与相应的函数有怎样的关系?__________________
2.推广到一般的一元二次方程与相应的二次函数：
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判别式b24ac |
0 |
0 |
0 |
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方程ax2bxc0(a0)根的情况 |
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函数yax2bxc(a0)的图象 |
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函数图象与 x 轴的交点坐标 |
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我们发现，方程有根即函数图象______,方程的根就是函数图象_______.
设计意图及要点:结合一次、二次函数图象，判断方程根的存在性及根的个数，为理解函数的零点，了解函数的零点与方程根的联系作准备，充分发挥学生的主观能动性。把具体的结论推广到一般情况,向学生渗透“从最简单、最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的思维方法,培养学生的归纳能力．由此的出结论: 二次函数图象与 x 轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。
【探究二】函数的零点.
1.函数 y=f(x)的零点概念：
2.关系：方程 f(x)=0 有实数根Û ___________Û ___________
设计意图及要点：让学生从熟悉的环境中发现新知识，并与原有的知识形成联系，利用方程与函数的联系，培养学生观察、归纳的能力，并渗透数形结合的数学思想。
1
x
设计意图及要点：利用辨析练习，来加深学生对概念的理解．目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点.
【
探究三】函数零点的存在性定理.
问题 1：方程2
x3
x70的根的问题转化为函数______________.
问 题 2 ： 函 数 f(x)2
x3
x7在 区 间 [1,2] 上 ， f(1)=_______, f(2)=_______,
f(1)·f(2) ____0(<或>),因此函数在区间(1,2)内___（有或无）零点.
问题 3：
图 1 图 2
观察函数yf(x) 的图象（图 1），并回答:
f（a）·f（b）_____0（＜或＞），区间[a，b]上______(有/无)零点； 观察函数yf(x) 的图象（图 2），并回答:
f（a）·f（b）_____0（＜或＞），区间[a，b]上______(有/无)零点；由前面三个问题,函数 y＝f（x）在区间[a，b]上满足什么条件，才能使函数 y＝f（x）在区间（a，b）内一定存在零点？
函数零点的存在性定理：如果函数 y＝f（x） ，那么函数 y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在 c ∈（a，b），使得 f
（c）=0，这个 c 也就是方程 f（x）＝0 的根.
设计意图及要点：三个问题从不同角度让学生总结函数零点的存在与否与函数的图像的关系；函数零点的个数与函数图像的关系，为下面的函数零点存在性定理的归纳做好铺垫。同时，对定理中的注意事项用实际例子加以强调。
练习 2：
-
f(x)=x3+x-1 在下列哪个区间上一定有零点( )
A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
2 f(x)lnx
-
函数 x 的零点所在的大致区间是（ ）
A.1,2 B.2,3 C.3,4 D.e,3
设计意图及要点：利用辨析练习，来加深学生对概念的理解，对定理中易错易混淆的知识点进行辨析。
【
探究四】定理的深化.
辨析 1． 若函数 y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有 f（a）·f（b）<0 时，则函数在区间（a，b）内有零点，但是否只有一个零点？画图说明.
辨析 2． 若函数 y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有 f（a）·f（b）<0 时，且 ，则函数在区间（a，b）内只有一个零点.画图说明.
辨析 3．如果函数 y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间（a，b）内有零点时一定有 f（a）·f（b）<0 吗？画图说明.
注意：1.
___________; 2.
___________; 3.
___________.
设计意图及要点：引导学生进一步对定理进行深入挖掘，理解定理的内涵，并对定理中的特别注意事项进行辨析，已达到对定理的透彻掌握。
x
例 1：求函数 f(x)2 3
x7的零点的个数.
法一： 法二：
练习 3：求函数 f(x)lnx2x6 的零点的个数.
设计意图及要点：回扣本节开篇提出的疑问，同时升华零点存在性定理的灵活应用；一题多法既巩固了本节课的内容，又拓展了学生的知识面，对提高学生的解题能力有极大的帮助。
通过这节课的学习，你有哪些收获?
我学会了__________________________________________; 我能解决__________________________________________; 我领悟的数学思想是________________________________.
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作业布置：课本 155 页习题 4.5 Ａ组 第 1、2、3 题设计意图及要点：1、自主小结，使学生充分思考，结合自身情况对本节课的学习进行梳理，比教师小结，学生被动接受效果要好.
2、作业的布置，尤其是思考作业的设置，使学生在完成过程中加深对本节课所学知识的理解.
设计意图及要点：数学科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，其概念和方法更具有延续性，比如古代文明中形成的十进位值制记数法和四则运算法则，我们今天仍在使用，数学传统与数学史材料可以在现实的数学研究中获得发展。数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富的知识体系。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。因而数学史是从一个侧面反映的人类文化史，又是人类文明史的最重要的组成部分。作为数学史研究的基本方法与手段，常有历史考证、数理分析、比较研究等方法。
数学史研究既要遵循史学规律，又要遵循数理科学的规律。根据这一特点，可以将数理分析作为数学史研究的特殊的辅助手段，在缺乏史料或史料真伪莫辨的情况下，站在现代数学的高度，对古代数学与方法进行数学原理分析，以达到正本清源、理论概括以及提出历史假说的目的。数理分析实际上是“古”与“今”间的一种联系。
主题：基本概念：
注意事项： |
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例 1、
例 2、 |
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