视频简介：

《直线与平面垂直》教学设计
壱、 学习内容分析
本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修 2（人教 A 版）》第二章 2.3.1
节。本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。
 本节课中的线面垂直定义是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体
现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直
和面面垂直的纽带。学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识
立体图形的飞跃，是非常重要的。
二、学习者分析
认知分析：本节课是高一创新班的学生，学生成绩较好。知识上，学生已经学习掌握了
线线垂直的证明，并且学习了空间中直线与平面的位置关系以及直线与平面平行。学生对于
学习线面垂直的判定定理具备了良好的学习基础。
能力分析： 创新班的学生具备一定的直观想象能力、自主探究能力以及归纳总结的能力，
但在逻辑推理能力方便稍有欠缺。
情感分析：学生通过自主探究动手操作，发现问题解决问题，体会了探索的愉悦感。在
探索线面垂直判定定理的过程中，学生又体会到了数学的严谨之美。
三、教学重点、难点
重点：直线与平面垂直的判定定理。
难点：探究得出出直线与平面垂直的判定定理及初步运用．
四、教学目标
（1）知识与技能目标：
1.描述直线与平面垂直的定义；
2.运用直线与平面垂直的判定定理证明简单的的空间位置关系问题.
（2）过程与方法目标：
1.通过对实例、图片的观察，概括定义，正确理解定义，增强观察能力；
2.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线
面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.
（3）情感态度与价值观目标：
1.通过对空间中直线与平面垂直定义的归纳，感受生活中的数学美；
2.通过经历直线与平面垂直判定定理的探究，体验探索的乐趣

五、教学过程
1．复习回顾，引入新课
问题：空间中直线与平面有哪几种位置关系？
【师生活动】学生集体可能回答：线面平行、线面相交、线在面内
【设计意图】通过复习提问直线与平面的位置关系，不仅完善了学生的知识体系，还较好地引
出了线面相交的一种特殊位置关系——线面垂直。
2．逐步探索，得出定义
请同学们观看图片，直观感受线面垂直这种位置关系。
接着提出上节课留的探究题目：
以学习小组为单位
了解与线面垂直有关的数学文化，并探究以下问题：
1.如何定义一条直线与平面垂直？
2.类比线面平行，猜想判定线面垂直的方法，并验证.
3.如何用较简洁的方法证明线面垂直的判定定理？
问题：如何定义一条直线与平面垂直？
【师生活动】找一组同学到讲台上展示小组的探究结果及过程。学生通过实物模拟的方式探寻
线面垂直的定义。
本节课是基于数学文化视角下的探究课，我会给出同学们欧几里得在《几何原本》中提
出的线面垂直定义进行辨析。
欧几里得《几何原本》：若一条直线垂直于平面上与该直线所有相交的直线，则这条直
线与平面垂直。
【师生活动】引导学生发现，直线可以通过平移的方式，平移到过交点，进而实现了相交直线
到任意直线的扩充，也了解了最初数学家给出的线面垂直的定义。
【设计意图】希望同学们可以借助于手中的实物，发现问题，进一步探究。立体几何的学习，
就是要多看、多想。给出欧几里得《几何原本》中提出的线面垂直定义，是为了更好的激发学生
的学习兴趣，并了解知识的生成过程。
让学生学会运用三种语言描述线面垂直定义。
【师生活动】找同学完成屏幕的三道辨析题目，判断过程中仍可借助身边实物。
【设计意图】一是通过概念辨析加深同学们对知识的理解，二是通过例题的方式给出线面垂直
的性质定理，可以让同学们先主动思考在被动接受，比老师直接告诉学生的效果要好一些，

三是辨析线线垂直、线面垂直的“稳定性”，不仅体现了知识的联系性，还帮助同学们做好区分，
更能交代垂线段以及线到面的距离这个概念。
3. 动手操作，猜想定理
问题：类比线面平行，猜想判定线面垂直的方法，并验证.
【师生活动】继续找一个小组的同学到讲台展示自己的探究结果及过程。探究方法依然是借助
手中的实物。
【设计意图】： 培养学生自主探究的能力。创新班的孩子具备一定的自主探究能力，大胆放手
让孩子们去探究，一定会有不一样的收获。
环节一：在孩子们展示的过程中，重点引导观察一条直线是与平面内的两条相交直线
垂直，并思考：为什么两条相交直线就可以，两条平行直线不可以？再通过 PPT 的
展示，加深学生的直观感知。
环节二：让学生通过动手操作验证自己的猜想。
18 世纪法国数学家克莱罗通过矩形纸片折痕给出了定理的直观解释，由此称赞同学
们的探究能力。
问题：你能用准确的语言给出线面垂直的判定定理吗？
【设计意图】让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否
 找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无
 关紧要的。
【师生活动】教师引导学生根据试验给出直线与平面垂直的判定方法。引导学生从文字语言、符
号语言、图形语言三个方面表述直线和平面垂直的判定定理．
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
强调：两条相交直线，必须满足，不可忽略.
图形语言：

m ,n ,m  n 
B
符号语言：  l  a

l  m,l  n

【 教师归纳】“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学
思想.
4.逻辑推理，证明定理
问题：通过你们查阅资料，了解到了哪些证明判定定理的方法，从中学到了什么？你
们又有什么简洁的方法呢？
【设计意图】创新班的学生，就要不仅知道知识是这样，还要知道为什么是这样。要对追根溯
 源。并且通过同学们自主查阅资料，可以对解决任意性的几何法有更多的了解，帮助孩子么
 了解线面垂直判定定理证明的全过程，提高学生对知识的学习兴趣。然而西方几何学记载的
 方法，大多冗杂繁长，可以借助向量的知识以数代证，引发学生多角度思考，培养学生的发
 散思维。
从最初定义的不完善，到定理证明过程的不断被优化，展现了整个线面垂直的发展过程，让
学生很好的了解了线面垂直的数学史。
5.运用定理，证明问题
例题 1.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为菱
P
形．
A D

证明：BD⊥平面 PAC；

B C

【师生活动】引导学生用直线与平面的性质定理，判定定理证明，并形成完整规范的证明步骤。
【设计意图】通过教师板书证明过程，让学生能有一个严谨的答题思路，注意答题的规范性。
例 2.如图，在三棱锥 P-ABC 中，AB＝BC，PA＝PC，O 为 AC 的中点．
证明:AC⊥平面 POB.
P
C A O
B

【师生活动】有了例 1 的例子，这道题目选择让同学们独立完成，并找学生爬黑板，已做纠正。
例 3：求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个
平面。
【师生活动】引导学生先将其转化为符号语言，然后分别用直线与平面垂直的判定定理、直线
与平面垂直的定义证明。
【教师归纳】：这个问题给出了判断直线和平面垂直的又一个方法，间接判定直线与平面垂直．
 这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系．
思考：垂直于同一直线的两平面是否平行?
既然线面垂直绕道而行换线可以，换面是否可以呢？留一道思考题，让同学们课下思考。 深入思考： A'
D'
B' 1 A B C D - ABCD
.如图，直四棱柱中，底面四边形
' ' ' '
C'
满足什么条件时， A
AC ^B D ?
' ' '
 D
B
C
【设计意图】不良结构题目，受到新高考的青睐。一方面契合高考，另一方面检验学生的转化
问题的能力。
6.回顾总结 ，作业布置
【师生活动】教师引导学生从知识和方法两个方面进行总结．
知识方面：线面垂直的定义、线面垂直的判定定理．
方法方面：转化思想．
 总之，素质教育的课堂关键在于教师能否根据学科特点和学生的心理特征，以恰当的教学
方法诱发学生学习；以生动的直观形象推动学生学习；以融洽的情感和氛围掀起学生学习；
以巧妙的语言去激发学生学习；以丰富的数学美刺激学生学习；以人性解放式的教学组织形
式和多媒体现代技术在课堂上的运用实施学生学习。只有把这些课前、课上和课后的工作做扎
实了，才能使课堂教学高潮迭起、效率倍增。

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