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人教A版高中数学必修2“2.3.1直线与平面垂直的判定(第一课时)山东省 - 青岛

视频标签:直线与平面,垂直的判定

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视频课题:人教A版高中数学必修2“2.3.1直线与平面垂直的判定(第一课时)山东省 - 青岛

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“直线与平面垂直的判定”教学设计 
一、教材内容及地位分析 
本节课为人教A版《普通高中课程标准实验教科书 数学》必修2“2.3.1直线与平面垂直的判定(第一课时)”,主要包括直线与平面垂直的定义、判定定理及初步运用,其中,如何让学生理解线面垂直的判定定理是本节课的核心内容.本节内容是直线与直线垂直的延续,又是平面与平面垂直的基础,在教材中起着承上启下的作用. 
二、课标分析 
《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《标准》)中与本课相关的要求是:通过直观感知,了解空间中直线与平面的垂直关系,归纳出判定定理;用数学语言表述有关垂直的判定;对判定定理只要求直观感知、操作确认,在选择性必修课程中将用向量方法加以论证;能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题;收集、阅读几何学发展的历史资料;重点提升直观想象、逻辑推理和数学抽象素养. 
三、学情分析 
授课对象为青岛实验高中数学最高层次教学班的学生(高一),学生的数学基础较好,数学思维能力较高,学习兴趣浓厚.在学习本课之前,学生已学习过空间中点线面的位置关系,以及直线与平面平行的判定与性质,这些知识和研究方法为本课提供了必要的学习基础.此外,学生能够从实际生活中举出丰富的线面垂直的例子,能够直观地感受到线面垂直的关系,这为本课提供了生活经验方面的基础. 
四、教学目标 
1.通过对实例的观察,抽象概括出直线与平面垂直的定义. 
2.通过类比联想、直观感知、操作确认,归纳出直线与平面垂直的判定定理. 
3.渗透空间问题平面化、无限转化为有限、线线垂直与线面垂直互相转化等思想方法,培养学生探索新知识的能力. 
4.渗透数学文化,激发学生的学习兴趣,提升学习信心. 五、教学重点与难点 
重点:直线与平面垂直的定义和判定定理的探究. 难点:归纳出直线与平面垂直的判定定理. 六、教学实施 1.情境引入 
如图1,PPT展示青岛海军节的图片. 
 
                    
             
                    
                             2 
 
问题1:从图片中可以抽象出直线与平面的位置关系吗? 
让学生回答,同时PPT演示在图片中抽象出直线和平面.引导学生,前面两种(线在面内、线面平行)已经学过,所以接下来要研究线面相交.而在线面相交的情况中,最特殊的情形是线面垂直,从而引出本节课的主题:直线与平面垂直的判定. 
问题2:你还能举出线面垂直的例子吗? 
让学生举例,并引导学生:线面垂直不仅是最特殊的线面相交,也是最常见的线面相交的情况. 
【设计意图】从学生熟悉的实际生活和学生已有的认知(直线与平面的位置关系)引入要研究的新知识,让学生体会数学来源于生活,服务于生活,培养数学抽象的能力,同时将新知纳入旧知的体系中,从“特殊”和“常见”两个角度说明研究线面垂直关系的必要性,激发认知需求. 
2.提炼定义 
运用信息技术手段,依次演示可操作的三维立体模型:路由器、木杆、圆锥. 问题3:路由器的天线与路由器表面垂直吗? 
让学生发表看法.如图2,初始界面两根天线都垂直于路由器表面,可以调节天线的角度,呈现斜交的情况,从正反两方面让学生直观地感知直线与平面的垂直关系.展示18世纪法国数学家克莱罗在《几何基础》中对线面垂直的解释“一条直线不向平面的任何一面倾斜”.  
 
问题4:直立于地面的木杆与它在地面的影子垂直吗? 
让学生发表看法.如图3,调整光源的位置,随着光源的移动,界面中出现不同位置的
图2 
图1 
 
                    
             
                    
                             3 
影子,可观察到木杆与影子始终垂直.此例体现了如果线面垂直,则线线应该要垂直.  
 
问题5:圆锥是如何形成的?在旋转过程中,什么量或者关系没有发生改变?圆锥的轴与底面垂直吗? 
让学生发表看法.如图4,在旋转过程中,直角三角形的两条直角边的垂直关系始终没有改变,所以圆锥的轴垂直于每一条半径,即直线垂直于平面内所有与它相交的直线,所以从任何一个方向上看,直线都是不倾斜的,从而导致线面垂直.此例体现了如果线线垂直,则线面垂直.  
 
让学生尝试给线面垂直下一个定义.展示欧几里得《几何原本》中线面垂直的定义“若一条直线垂直于平面上与该直线相交的所有直线,则该直线与平面垂直”.引导学生,用线线垂直去定义线面垂直,体现了“平面化”、“降维”的数学思想. 
引导学生,平面内不过线面交点的直线也与该直线垂直(异面垂直),所以定义中“与该直线相交”可以去掉,实际上该直线垂直于平面内的“任意一条”直线. 
让学生在学案上用文字语言、符号语言、图形语言来表述直线与平面的垂直关系,并思考定义的作用.将学生填写的内容拍照,同步传到大屏幕上,对比显示学生之间不同的答案,对有关概念、记法、画法进行有针对性的点拨,强调定义既是判定,又是性质,渗透线线垂直与线面垂直的相互转化的思想. 
【设计意图】让学生像数学家一样经历探索定义的过程,从最初的直观感受“不歪”,一步步归结到线线的位置关系,体会空间问题平面化、降维、转化的数学思想,体会定义的双向性. 
3.探索定理 
问题6:用定义判定线面垂直,方便吗? 问题7:你认为可以如何判定? 
图4 
图3 
 
                    
             
                    
                             

引导学生,定义是“无限验证”,可否转化为“有限验证”.类比线面平行的判定定理,提出猜想. 
针对直线垂直于平面内的“一条”直线即判定线面垂直的猜想,由学生举出反例,让学生用教学用具大三角板或大圆规上台操作演示.如,让大圆规的两条腿成直角,代表两条垂直的直线,让其中一条在桌面内,另一条可以呈现与桌面的斜交或在面内的情况. 
如图5,PPT上呈现三角板的长直角边垂直于短直角边(在平面内),而长直角边所在直线与平面不垂直的反例,在此基础上,推翻“两条”、“三条”至“无数条”的猜想.引导学生,无数条平行线其实等效于同一个方向,显然直线垂直于这一个方向的直线保证不了垂直于平面,所以需要增加方向(变平行为相交). 
如图6,PPT演示增加一个方向后,三角板的长直角边所在直线与平面的关系从斜交变为垂直,再结合长方体中的反例(线在面内、线面平行)和正例(线面垂直),如图7所示,从而提出猜想:如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,则该直线与此平面垂直. 
  
 
问题8:(操作实验)如图8,过    的顶点 翻折纸片,得到折痕 ,将翻折后的纸片竖起放置在桌面(  、  与桌面接触).如何翻折才能使折痕  与桌面所在的平面垂直? 
 
让学生用教师课前准备好的标记了顶点 、 、 的三角形卡片进行操作实验,教师实时录像学生活动,同步显示到大屏幕上,让学生可以看见其他组同学的活动. 
让学生展示自己的模型(折痕与桌面垂直的和不垂直的两种),并引导学生利用刚学习的定义去分析,不沿着高线折的模型不符合线面垂直的定义,那么,沿着高线折的模型是否符合定义,从而引出问题9. 
问题9:如何操作能够验证  与平面内的所有直线都垂直? 
先让学生上台操作演示(旋转模型),然后运用信息技术手段动态演示,如图9所示:将  、  在平面内绕 点旋转,显示转过的痕迹.引导学生,旋转过程中  与  、  的垂直关系始终没变,每一条转过的痕迹就代表了平面内的一条直线,而  始终没动,说明  垂直于每一条痕迹,符合线面垂直的定义(欧几里得定义),可见  垂直于桌面. 
图8 
  
  
  
图7 
图6 
图5 
 
                    
             
                    
                             

 
引导学生,两条直线相交即可,至于过不过线面的交点是无关紧要的.让学生在学案上用文字语言、符号语言、图形语言来表述直线与平面垂直的判定定理,并思考定理的作用.将学生填写的内容拍照,同步传到大屏幕上,对比显示学生之间不同的答案,有针对性地进行点拨,强调五个条件缺一不可. 
问题10:定义与判定定理的联系和区别? 
引导学生,二者都体现了线线垂直与线面垂直的转化,区别在于,定义中的“线”是任意一条,而定理中的“线”的相交的两条. 
问题11:为什么两条相交直线可以“代表”平面内的所有直线? 引导学生回忆向量的知识,从而想到基底的概念. 
【设计意图】通过对用定义判定线面垂直的思考,引发“无限验证”向“有限验证”的转化.通过类比线面平行的判定定理,提出猜想,并最终归结到两条相交直线的猜想上.通过折纸试验,对猜想进行直观的验证.通过旋转,将静态的试验动态化,直观地验证了符合定义.通过对定义和定理的比较,引导学生思考为什么两条相交直线可以“代表”平面内的所有直线. 
4.应用巩固 
如图10,运用信息技术手段,演示可操作的三维立体模型:门. 
 
问题12:门轴与地面垂直吗? 
转动门即可验证(动态演示),体现定义或判定定理的简单运用.  
问题13:与门轴平行的另一条边与地面垂直吗?由此你可以得出什么猜想? 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. 
让学生写出已知、求证(符号语言),画出图形(图形语言),并给出证明.将学生的解答过程拍照,同步传到大屏幕上,对比显示学生之间不同的解法(定义法和定理法),引
图10 
图9 
 
                    
             
                    
                             

导学生要交代辅助线的作法,注意步骤的严谨性,渗透线线垂直与线面垂直互相转化的思想方法. 
【设计意图】通过演示门的模型,既对刚刚学习的线面垂直的定义和判定定理进行了一个简单的应用,又引出了推论.在证明过程中,让学生练习将文字语言转化为符号语言和图形语言,注意证明过程的规范性,体会转化的思想方法. 
5.自我评价 
问题14:通过本节课的学习,你有哪些收获? 
问题15:你认为本节课你的学习目标完成的(A.很好  B.一般  C.不好) 【设计意图】通过让学生总结反思,检验教学的效果. 6.课后作业 
(1)课本67页第1题. 
(2)查阅资料,了解欧几里得与《几何原本》. 
【设计意图】第一项作业为巩固性作业,让学生体会用线面垂直的判定定理和定义去解决问题的一般方法.第二项作业为研究性作业,呼应课堂上呈现的数学史,渗透数学文化. 
七、教学评价 
课堂上教师随时对学生的表现进行评价,学生总结收获、对照学习目标进行自我评价,课后再通过作业反馈、测试、访谈等形式进行评价. 
八、教学反思 
数学知识的发生发展只有符合逻辑、符合认知规律,才是自然的、科学的.对于直线与平面垂直关系的认知,应该是从直观感受到数学本质,从无限验证到有限验证的过程.在教学设计时,力图做到立足于学生已有的认知基础,立足于学生的认知需求和认知特点,结合数学史,结合生活实际,让学生经历与数学家相似的探究过程,让数学知识的发生发展更加的自然,回归数学理解的本质.在判定定理不加证明的情况下,力图让折纸试验的作用发挥到极致,动态地、直观地验证符合定义. 
信息技术的创新使用是本课得以完成以上设想的最重要的保障.本课共设计了五个三维立体模型,在课堂上进行动态的操作演示,为学生理解直线与平面的垂直关系提供直观,提高了学生的观察能力和空间想象能力.路由器、木杆、圆锥的模型,从直观感受到数学本质,让“直观感知”的过程更加全面、有效;折纸的模型,将静态的折纸试验动态化,让“操作确认”的过程更加符合逻辑;门的模型,承上启下,让学生自然而然地提出数学结论. 
定义、判定定理的三种语言表述,以及例1的解答,都完全交给学生自主完成,学生的答案不一定是标准答案,但这恰恰是课堂上宝贵的教学资源,而利用手机与大屏的同屏功能可以充分地暴露学生的思维,并进行对比讲解,便捷高效.实时录像也引起学生的兴趣,能够展示全班同学的实验过程. 
但是,本课也有很多遗憾.虽然课堂上力图做到充分尊重学生的主体地位,也让学生进
 
                    
             
                    
                             7 
行了操作演示、动手实验等活动,但是缺乏需要学生深度思考的问题和深度探究的活动,所以今后的教学中可以再大胆一些,问题再开放一些,提示性再少一些,让学生的探究活动更独立完整一些.在对学生的作答情况进行点评时,应该先让学生说说他的想法,做到更加尊重和信任学生,给学生更多的展示机会.教学语言还可以更加精炼,教学方式还可以更加多样化,信息化手段还可以更加丰富,今后应更加注重信息技术与数学课程的深度融合. 
总之,教学中需要反思的地方还有很多,教学是一门遗憾的艺术,这些遗憾只能在以后的教学中多加注意,不断反思、不断总结、不断改进、不断提升,这样教育教学理念和教学能力才能与时俱进. 
参考文献: 
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018:27-30. 
[2]人民教育出版社课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 数学2 必修 A版[M].北京:人民教育出版,2007:64-66. 
[3]沈中宇.数学史融入立体几何教学的行动研究[D].上海:华东师范大学,2017:50-51. [4]高振严,何伟淋.“线面垂直判定定理”:从历史看证明、找模型[J].教育研究与评论(中学教育教学),2018(7):35-40. 

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