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视频标签：导数的几何意
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视频课题：高中数学人教A版选修2-2第一章1.1.3导数的几何意义-吉林省 - 长春
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高中数学人教A版选修2-2第一章1.1.3导数的几何意-吉林省 - 长春
《导数的几何意义》教学设计
课题 1.1.3导数的几何意义
课时
1课时
教学
目标
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学
重点
曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义
教学
难点
导数的几何意义
教学过程
引入新课 师：在进入到本节知识之前，老师首先请大家观看一段关于跳水的视频。 生：观看视频
师：从视频中可以看出，跳水运动员的动作优美自然，取得了不错的成绩。如果将运动员看成一个质点，从起跳到到落水的过程中高度是随时间变化的，就形成了一条曲线，如图所示。设表示曲线的函数为h(t)=-4.9t2+6.5t+10，根据图象，如何描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况呢？带着这个问题，我们进入到本节课的学习。
新知讲解
师：同学们课前已经进行了预习，老师将利用信息技术工具——几何画板演示书中图1.1-2的动态变化效果，请同学们认真观察。观察后请同学们思考讨论以下问题： 思考1：设yfx，0011,,,PxyMxy，割线MP的斜率？
思考2：当点M无限趋近于P时，割线MP的斜率即平均变化率的变化趋势是什么？此时△x的变化趋势呢？
思考3：根据函数在0xx处导数的定义00'lim
xy
fxx
和思考1,你能得出什么结论？
思考4：当点M无限趋近于P时，割线MP就有一个极限位置L,我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线，那么这条切线的斜率是什么？ 生：观察演示，讨论思考题。 师生：共同完成思考题：
思考1答案：00101000MPyyyyyy
kxxxxxx
，即01yfxxx从到的平均变化率. 思考2答案：MPk无限趋于Lk，△x趋于0，即0
0
limlimMPLxxkk
思考3答案：00
0limlim
()MPxxy
kfxx
新知讲解
思考4答案：0()Lkfx
师：由此，我们可以得到导数的几何意义：
函数yfx在0xx处的导数0'fx就是函数在该点处的切线斜率k，即：
0000()
lim()xfxxfxkfxx
由几何画板的演示可以知道，在点P附近，过点P的切线最贴近点P附近的曲线fx，因此，在点P附近曲线fx就可以用过点P的切线近似代替，这也是重要的一种思想方法——以直代曲。回答本节课开始时的问题：我们用这种思想方法对本题进行讨论。设表示曲线的函数为h(t)=-4.9t2+6.5t+10，根据图象，如何描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况呢？
我们用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况。 （1）当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以,在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有下降。
（2）当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率，即函数h(t)在t=t1附近单调递减
（3）当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0，所以,在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减。与t2相比,曲线在t1附近 下降得缓慢些。
从导数的几何意义可以知道，除了以直代曲的思想方程，它提供了求在曲线上某点切线的斜率的一种方法。既然导数的几何意义是表示在该点的切线的斜率，那么如何求曲线yfx在点
00,Pxfx处的切线方程？
生：思考，归纳
师：求在曲线上一点切线方程的步骤：
(1)求出函数fx在点
00,Pxfx处的导数0'fx
(2)根据直线的点斜式方程,得到切线方程为000()()()yfxfxxx 下面通过例题来将理论应用求切线方程
例 题 与 练 习
师：板演例题
22,3,yx例1：求曲线-1在点处的切线的斜率并写出切线方程。
生：完成练习 练习:已知曲线313yx上一点 82,3P
，求:(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程。
师生：完成变式
24
yx
变式:求在曲线上切线倾斜角为的点的坐标及切线方程。
师：刚刚我们研究的是关于过曲线上一点切线方程，那么如果点在直线外，如何求解曲线的切线方程呢？板演例2
例2:已知曲线21yx,求曲线过点2,1P的切线方程。
求过曲线外某点
11,xfx处的切线方程的基本步骤:
①设出切点的坐标
00,xfx; ②利用0'kfx及
1010
fxfxkxx
求出0x;
③利用点斜式求切线方程。
小结 师：小结：本节课我们学习了哪些内容？ 1、导数的几何意义
2、求曲线的切线方程
（1）在曲线上一点的切线方程 （2）过曲线外一点的切线方程
课后
作业
完成试卷第二练 ：导数的几何意义
板书设计
1.1.3导数的几何意义
1、导数的几何意义 例1、 例2、
函数yfx在0xx处的 导数0'fx就是函数在该点处的 切线斜率k，即：
0000()
lim
()xfxxfxkfxx
切线方程为000()()()yfxfxxx
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