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视频标签：导数的几何意义
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视频课题：高中数学人教A版选修2-2第一章1.1.3导数的几何意义-建设
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高中数学人教A版选修2-2第一章1.1.3导数的几何意义-建设兵团
教学目标
1、知识与技能目标:
(1) 通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”,解决了平均变化率的几何意义后,明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径。
(2) 借助两个类比的动画,从圆中割线和切线的变化联系,推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线。
(3) 依据割线与切线的变化联系,数形结合探究函数 在 处的导数 的几何意义。在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法。
2、过程与方法目标:
(1) 学生通过观察感知、动手探究,培养学生的动手和感知发现的能力。
(2) 学生通过对圆的切线和割线联系的认识,再类比探索一般曲线的情况,完善对切线的认知,感受逼近的思想,体会相切是种局部性质的本质,有助于数学思维能力的提高。
(3) 结合分层的探究问题和分层练习,期望各种层次的学生都可以凭借自己的能力尽力走在教师的前面,独立解决问题和发现新知、应用新知。
3、情感、态度、价值观:
(1) 通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想,使学生了解近似与精确间的辨证关系;通过有限来认识无限,体验数学中转化思想的意义和价值;
(2) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会活动中激发学生的学习潜能,促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法,获得广泛的数学活动经验,提高综合能力,学会学习,进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。
2学情分析
考虑授课对象是高二年级理科平行班,数学的知识基础和数学思维能力的层次差异较大,所以本节课设计为探究、自主实践的活动课。巧用信息技术,展示两个类比的动画,增强直观性,期望不同层次的学生,在探索的过程中都有感知和发现,同时增加课堂容量。
3重点难点
重点:导数的几何意义,导数的实际应用,“以直代曲”数学思想方法.
难点:对导数几何意义的理解与掌握,在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解.
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】1．复习引入，温故知新，诱发思考：
1)、平均变化率
一般地,函数y=f(x)在点x0附近的平均变化率可以表示为
你能借助函数的图象说说平均变化率的几何意义吗?
平均变化率几何意义表示的是该曲线的割线的斜率。
2).导数的概念
类比平均变化率的几何意义,导数的几何意义又是什么呢?今天我们就来探究导数的几何意义。
活动2【活动】2．自主思考，参与探究
1.动画类比,得到切线的新定义
问题探究
要研究导数的几何意义,结合导数的概念,即要探究 ,割线的变化趋势,看下面的动画。
带着问题观察动画,借助熟悉的圆中的某点处的割线和切线,学生更易感知当 ,割线的变化趋势。
学生交流说出割线的变化趋势
活动3【活动】2.多媒体显示【动画1】
用逼近的方法体会割线逼近切线,消除学生对极限的神秘感。
当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线Pn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.
合作交流
割线的斜率与切线的斜率有什么呢?
活动4【活动】3.多媒体显示【动画2】
学生交流得出以下结论
即:当△x→0时,割线PQ的斜率的极限,就是曲线在点P处的切线的斜率,
学生交流得出以下结论
即:当△x→0时,割线PQ的斜率的极限,就是曲线在点P处的切线的斜率,
活动5【讲授】三、归纳小结
结合上面的研究过程,你能指出导数f‘(x0) 的几何意义吗?
函数f(x) 在x=x0 处的导数就是曲线在该点处的切线斜率 ,即:
活动6【练习】四、典例精讲
例题:如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 的图象。
说明在 t0、t1 、t2 变化情况
分析:附近:瞬时,增减:变化率,即研究函数在该点处的瞬时变化率,也就是导数。可借助切线的变化趋势得到导数的情况。
生:作出曲线在这些点处的切线,在t0 处切线平行于 x轴,即h'(t0) =0,说明在t0 时刻附近变化率为0,函数几乎没有增减;在t1、t2 作出切线,切线呈下降趋势,即 h'(t1) <0,h'(t2) <0,函数在点附近单调递减。曲线在t2 附近比在t1 附近下降得更快,则是因为│h'(t1)│<│h'(t2)│ 。
例2:
1)若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,
2)设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0平行,则a等于_______.
(3)在曲线y=x2上切线倾斜角为π/ 4的点是( )
A.(0,0) B.(2,4) C.(1/4,1/6 ) D.(1/2,1/4 )
这几道题对应检测本节课的学习重点,了解和掌握导数的几何意义。
活动7【练习】五、拓展提升：
例1:求曲线y=x2+1在点P(1,2)处 的切线方程.
例2:求曲线y=x2在点P(5/2,6) 的切线方程
设计意图:学会求切线方程,并且会判断切点在曲线与不在曲线上的两种情况
活动8【测试】六、当堂检测：
(1)若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,则f(x0) = .
(2)设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0平行,则a等于_______.
(3)在曲线y=x2上切线倾斜角为π/ 4的点是( )
A.(0,0) B.(2,4) C.(1/4,1/6 ) D.(1/2,1/4 )
活动9【讲授】七、课堂总结：
本节课重点在于讲述导数的几何意义以及利用导数的几何意义解释实际问题,运用逼近思想定义了曲线上某点的切线,再引导学生从数形结合的角度思考,获得导数的几何意义——“导数是曲线上某点处切线的斜率”。
活动10【作业】八、作业布置：
习题1.1 A组 第5、6题
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