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视频课题：高中数学人教A版选修2-2第一章1.1.3导数的几何意义-重庆
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高中数学人教A版选修2-2第一章1.1.3导数的几何意义-重庆复旦中学
教学目标
1.通过引导学生回顾圆的切线的概念，发现圆的切线的定义的局限性，引发探究欲望，初步训练学生发现问题、提出问题、分析解决问题的能力；
2.通过导数概念的复习，经过学生自己作图和教师动画演示割线“逼近”成切线的过程，让学生感受函数图像的切线的“形成”过程，获得函数图像的切线的意义，体会由“量变”到“质变”的心路历程；
3.经历割线“逼近”成切线的过程，获得一般曲线的切线定义，感知并初步理解函数 在 处的导数 的几何意义就是函数 的图像在 处的切线的斜率，即 =切线的斜率；
4.通过分析导数的几何意义，研究在实际生活问题中，用区间较小的范围的平均变化率，来解决实际问题的瞬时变化率，体会“以直代曲”的近似替代的方法，养成学生分析问题、解决问题的方法，初步体会发现问题的乐趣；
5.通过对高台跳水模型的研究，初步体会如何利用导数的几何意义来描述比较 在 ， ， 处的变化情况的方法，达到梳理新知的目的，增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心。
2学情分析
从知识上看，学生通过学习平均变化率，特别是函数的瞬时变化率及导数的概念的学习，学生对导数概念有了一定的理解和认识，导数是对变化率的一种“度量”，同时也在积极思考导数的另一种体现形式——“形”。在此之前，学生对曲线(尤其是圆和圆锥曲线)的切线有了一定的认识，特别是在学习圆锥曲线与直线关系时，对抛物线和双曲线的切线的有一定的了解与认识。从学习能力上看，通过一年多的学习实践，学生已经掌握了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力。从学习心理上看，学生已经掌握了圆的切线及圆锥曲线的切线，只是它的含义是从公共点的个数方面来了解的，当然在思维方面，形成了定势：直线与曲线相切，直线与曲线只有一个公共点。本节课切线的含义要在思维层次方面获得上升，不是从公共点的个数上来定义切线，而是由 “割线”的“逼近”来定义曲线的切线，把曲线的切线上升到新的思维层面上。通过概念的建立，概念的辨析，问题的探究来激动学生的好奇和兴趣。
本节课的内容蕴含着导数的“数”和“形”两种体现形式，“逼近”和“以直代曲”的思想和用已知探究未知的思考方法。在教学过程中应重视并体现这些数学思想方法。根据本节课的内容特点，教学过程中可充分借用信息技术这一辅助手段，利用几何画板的动态作图这一优势平台为学生的问题探究，概念形成，思维过程提供支持。
3重点难点
重点：导数的几何意义，导数的实际应用，“逼近”和“以直代曲”数学思想方法。
难点：对导数几何意义的理解与掌握，在每点处“附近”的变化率与瞬时变化率的近似关系的理解。
关键：由割线 “逼近”切线的动态变化效果，体现“量”与“质”的转化与相互替代。
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】提出问题－－－引入课题
【创设情境，诱发思考】
问题1：初中平面几何中，我们是怎样判断一条直线是否是圆的切线或割线？ 在高中选修2-1中，我们又学习了椭圆，以上判断方法对椭圆的切线还适用吗？
学生（预设）：通过公共点的个数来判断。直线和圆有惟一公共点时，直线叫做圆的切线，惟一公共点叫做切点．直线和圆有两个公共点时，直线叫做圆的割线，两个公共点叫做交点．
问题2：上述圆与椭圆的切线的判断方法是否适用于抛物线、双曲线，甚至更一般的曲线呢？请思考下图中的几条直线，哪些是切线？
图1
A
图2
结论: 圆是一种特殊的曲线，圆的切线的定义并不能适用于一般曲线的切线，如图2中的l5虽然与曲线有唯一的公共点A，但我们不能认为它与曲线相切。而另一条直线l4，虽然与曲线有两个公共点，我们还是认为它是曲线在点D处的切线。
问题3：圆的切线除了直接用公共点的个数来定义外，实际上也可以由割线通过平移或绕点旋转而得到。
学生活动1：试在图3、图4中作出过点A的切线，并思考这条切线与割线l1的关系。（图3中过A的直径垂直于l1）
l1
教师：引导学生用平移和旋转两种观点来认识圆的切线，为定义一般曲线的定义作铺垫。
l1
图3
图4
O
y=f(x)
x
y
Δx
Δy
P
P1
β
图5
设计意图：以上3个问题旨在帮助学生反思圆的切线的定义的局限性，引发学生的思考，带着问题走进课堂，从而为寻找更加科学的方法来定义曲线的切线作铺垫，引导学生将数学知识进行推广和迁移。
提问：对于一般的曲线，是否可以用这种旋转的方式来定义曲线的切线呢？(为了回答这个问题，让我们回顾一下导数的知识，并从导数的角度来探究割线与切线之间的关系。)
问题4：导数的定义是什么？
问题5：求导数的方法步骤
第一步：求平均变化率
第二步：取极限，得导数
问题6：你能借助图像说说平均变化率 表示什么吗？请在图5中画出来。
设计意图：（1）通过提问，学生复习，实现类比迁移，为探寻导数的几何意义做准备；
（2）培养学生观察图像，归纳总结的能力.
活动2【导入】探索问题－－－合情推理
【实验探究，思维辨析】
问题7：在图6中作出过点P2、P3、P4、P5的割线，并注意观察在点P1沿曲线逐渐向点P靠近的过程中，割线PPn的运动情况。
探究1：在Pn无限逼近P的过程中，你能描述一下割线PPn的变化情况吗？用这种方式得到的切线具有一般性吗？你认为如何定义曲线的切线呢？
（通过PPT课件向学生演示 向 逐步逼近的动态过程，结合图形向学生引出切线的定义．）
设计意图：让学生通过作图来参与曲线的切的“逼近”的发现过程，初步体会曲线的切线的逼近定义。教师用PPT课件演示割线的动态变化，为学生观察、思考提供平台，引导学生共同分析，直观获得切线定义；学生通过曲线的切线的定义解决了切线推广的问题，体验到数学的严谨和数形结合的直观。
活动3【讲授】解决问题－－－获取新知
【归纳提炼，得出新知】
（板书）1.曲线的切线的定义：当 时，割线 （确定位置） ，PT叫做曲线在点P处的切线．
问题8：切线 的斜率与割线 变化过程中的斜率有什么关系呢？
学生活动3：学生自主思考，小组讨论.
平均变化率
瞬时变化率
割线的斜率
切线的斜率
得出结论：割线斜率的极限是切线的斜率，即：切线的斜率k=
设计意图：这个环节是整个教学过程中的难点，引导学生在直观认识基础上，学会用数学语言归纳概括；另一方面使学生体会“由量变到质变”的哲学思想。
教师引导学生对比导数定义表达式 与切线斜率 得出导数的几何意义。
设计意图：导数几何意义的得出是整个教学活动的重点，引导学生将数与形结合，将切线斜率和导数相联系，观察、思考获得导数的几何意义.
(板书)2.函数f(x)在x=x0处的导数的几何意义
函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即
探究2:解决“问题2”
结论: 这种通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线，适用于各种曲线。所以这种定义才真正反映了切线的直观本质。
问题9:研究导数的几何意义有什么作用？ 请思考图7中三幅图的含义。
结论：以“直代曲”是微积分中的重要的思想方法，即以简单的对象(切线)来刻画复杂的对象(曲线)。大多数的曲线就一小范围来看，大致可看成直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”。
设计意图：通过对点P附近图像的逐步放大，让学生体会到“某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替”这一“以直代曲”的数学思想方法，这种思想是微积分学中的重要思想方法．
（板书）3．数学思想方法：“以直代曲”思想方法．即曲线上某点的切线近似代替这一点附近的曲线.
活动4【练习】新知应用－－－及时巩固
【学而习之，牛刀小试】
[练习] 求曲线y=f(x)=x2在点P(1,2)处的切线方程.
[文本框: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:先利用切线斜率的定义求出切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.]
因此，切线方程为y-2=2(x-1)，即y=2x.
设计意图：回顾重点，突出导数的几何意义及应用，学会利用导数的切线的关系解题。此练习让学生独立动手完成，检测学生对知识的掌握情况。
【游刃有余，提升能力】
[例1] 观察跳水运动高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象，请描述曲线在t0,t1,t2附近的变化情况。以及t1,t2附近的增（减）快慢情况。
解：可用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线来描述曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．
(1)当t=t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；
(2)当t=t1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h/(t1)<0，所以，在t=t1附近曲线下降，即函数h(t)在t1附近单调递减；
(3)当t=t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h/(t2)<0，所以，在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t2附近单调递减；
另外，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢。
讲析要点：根据导数的几何意义，当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；当某点处导数等于零时，说明是函数的最大值点．
设计意图：此例先由学生交流讨论后，由学生回答，教师归纳结论。引领学生对问题进行定性分析，在某点处由切线的“走向”分析曲线的“走向”，渗透“以直代曲”的数学思想。
【归纳小结，规律提炼】
问题10：通过观察跳水问题中导数的变化情况,你得到了哪些结论?
(1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的切线近似代替；
(2)函数的单调性与其导数正负的关系；
(3)曲线的变化快慢与切线的倾斜程度的内在联系.
【课堂练习，巩固新知】
如果曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0，那么 ( )
A.f/(x0)>0 B.f/(x0)<0 C.f/(x0)=0 D.f/(x0)不存在
活动5【讲授】课堂小结－－－回味悠长
1.本节课你学到了哪些知识？
(1)曲线的切线的定义；
(2)导数的几何意义：
(3)求曲线在某点处的切线的方法步骤。
2.通过本节课的学习，你了解了哪些方法？
(1)求曲线在某点处的切线的方法步骤。
(2)利用函数导数的正负来判断函数的单调性；
(3)利用切线的倾斜程度来判断曲线的变化快慢.
3.通过本节课的学习，你了解了哪些数学思想？
(1)“以直代曲”； (2)“逼近”； (3)“数形结合”；
4.通过本节课的学习，你还想继续探究什么？
设计意图：总结知识，加深学生对知识的理解和记忆。同时，问题4的设计是让学生“带着问题走进课堂，带着思考走出课堂”
活动6【作业】课后思考－－－努力前行
课后思考：已知导函数f/(x)的下列信息：
当1<x<4时，f/(x)>0，当x>4或x<1时，f/(x)<0，当x=4或x=1时，f/(x)=0
试画出函数f(x)的大致形状。
【课后作业】
1.阅读教材P6-8
2.P10习题A4-6。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
