高中数学人教A版选修2-2-1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则-长春实验

5.通过本节课，培养学生对问题的认知能力，由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了八个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则，学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中也加深学生对学习数学的兴趣，激发学生对所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。

2学情分析

学生已用定义求函数的导数，教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可。在教学中，适量的联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联系。

3重点难点

1.熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2.掌握导数的四则运算法则。

4教学过程

4.1第一学时

4.1.1教学活动

活动1【导入】知识链接

几个常用函数的导数

1.函数 ƒ (x)=c 的导数为____________

2.函数 ƒ (x)=x 的导数为____________

3. 函数 ƒ (x)=x2 的导数为__________

4. 函数 ƒ (x)=1x 的导数为___________

5. 函数 ƒ (x)=√x 的导数为__________

活动2【活动】自主学习

知识点一：基本初等函数的导数公式

下面的导数公式是要记住的，请阅读教材第14页后填写。

1.若 ƒ (x)=c ，则 ƒ ′(x)= _______

2.若 ƒ (x)=xα(α∈Q∗) ，则 ƒ ′(x)= _______

3. 若 ƒ (x)=sinx ，则 ƒ ′(x)= _______

4. 若 ƒ (x)=cosx ，则 ƒ ′(x)= _______

5. 若 ƒ (x)=ax ，则 ƒ ′(x)= _______（ a>0 ）

6. 若 ƒ (x)=ex ，则 ƒ ′(x)= _______

7. 若 ƒ (x)=logax ，则 ƒ ′(x)= _______（ a>0 且 a≠1 ）

8. 若 ƒ (x)=lnx ，则 ƒ ′(x)= _______

知识二：导数运算法则

下面的导数运算法则是要记住的，请阅读教材第15页后填写。

（1） [ƒ (x)±g(x)]′= =_____________

(2) [cƒ (x)]′= =__________

(3) [ƒ (x)g(x)]′= =_______

(4) [ƒ (x)g(x) ]′= =____________

活动3【活动】合作探究

你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗？

公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例．

活动4【讲授】典型例题

例1　求下列函数的导数：

(1)y＝sin Π3 ；(2)y＝ 5x ；(3)y＝ 1x3 ；(4)y＝ 4√x3

(5)y＝ log3x .

【设计意图】对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin Π3 ＝ √32 是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现 (sin Π3 )′＝cos Π3 ，这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，利用公式2求导．

变式训练1 求下列函数的导数；

（1） y=x8

（2） y=(12 )x

（3） y=x√x

（4） y=log13 x

例2 判断下列计算是否正确．求y＝cos x在x＝ Π3 处的导数，过程如下：

y′ | x=Π3 =(cosΠ3 )′=−sinΠ3 =−√32

【设计意图】函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x＝ x0 处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将 x0 代入导函数求解，不能先代入后求导．

变式训练2 求函数 ƒ (x)=13√x 在 x=1 处的导数。

按照基本初等函数的导数公式，我们可以解决两类问题： (1)可求基本初等函数图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程． (2)知切线斜率可求切点坐标．

例3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线 y=x2 相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大．

【设计意图】利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．

变式训练3 点P是曲线y＝ y=ex 上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离

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