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视频标签：抛物线及其标准方程
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视频课题：数学人教A版高中选修1-1《抛物线及其标准方程》四川省成都
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数学人教A版高中选修1-1《抛物线及其标准方程》四川省成都
人教A版 数学选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程
2.4.1 《抛物线及其标准方程》 教学设计
一、教学内容分析
本节是学生学习抛物线的第一课时,通过本节的学习，进一步渗透直角坐标系内几何要素代数化的过程和意义，应用解析几何的基本思想和基本研究方法——用代数方法研究几何问题，这也是贯穿本节、本章知识的大概念。同时在课堂中进一步培养学生对数形结合、类比思想的应用意识。同时渗透数学文化，了解数学发展史，培养学生用“联系的观点看数学”的良好思维习惯。
二、教学目标设计
1．理解抛物线的几何特征、定义及其标准方程；
2．熟悉四种形式的标准方程，能够运用待定系数法知“一”求“二”（标准方程、焦点坐标、准线方程）。
3．引导学生认识事物间联系的本质，体会生活问题与数学问题间的联系，渗透数学文化。
三、教学重点、难点
教学重点：抛物线概念的形成，抛物线标准方程的建立，标准方程与图形的对应关系
教学难点：1．抛物线几何特征的分析，探求抛物线标准方程的过程
2．体会数形结合及分类讨论思在概念形成及公式推导中的作用.
四、教学流程设计
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情境引入
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合作探究
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知识生成
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应用深化
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归纳提高
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变式训练
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课堂小结
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数学文化
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| 教学环节 | 教学内容 | 设计意图 |
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知识背景 |
我们知道，圆锥是由平面截圆锥所得到的曲线，我们已经学习了圆、椭圆、双曲线，那么什么是抛物线？ 今天我们就类比椭圆、双曲线来探究抛物线及其标准方程！ |
让学生了解圆锥曲线的知识框架和解析几何研究内容，进一步渗透类比的思想。 |
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情 景 导 入 |
1、列举抛物线在建筑、卫星、生活、工业生产中的应用。 激发学生的探索欲望，并由此提出问题。 2.数学、物理中的抛物线 物理：将物体抛出后在空中运动形成的曲线 数学：回顾二次函数 的图象---抛物线。 【问题1】： 到底什么样的曲线才可以称做是抛物线呢？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容。 |
让学生了解数学与生产生活密切相关，让学生体会数学的美，激发对数学的热情和探究欲望。 让学生了解数学是有大用处的，生活生产离不开数学，欢迎同学们报考数学系。 |
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探 究 生 成 |
1.活动探究，描绘图形 学生动手在下图中，按步骤找出相应点并描绘图形轮廓。 图形说明： 是定点， 是定直线， ，在直线 上一次取出点 ，过 做 的垂线如图： 作图步骤： 1.连接 2.作 的中垂线交相应的垂线 于点 ，并用光滑的曲线将 点连接起来。 学生作图完成后，用几何画板展示成图过程。 2、师生互动，生成定义 （1）特征分析，尝试定义 【问题】： （1）曲线是由哪个点运动产生的？ （2）点 运动过程中，哪些几何图形没有发生变化？ （3）怎么用等量关系刻画点 的运动？ （4） 位置始终在变化，但它与直线始终保持怎样的位置关系？ （5） 实际上就是动点 到定直线 的 ？ 动点 满足的几何特征是：满足集合 ， 为点 到直线 的距离。 由学生尝试概括抛物线的“定义”： 我们把平面内与一个定点 和一条定直线 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 （2）问题探究，完善定义 我们把平面内与一个定点 和一条定直线 （ 不经过点 ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点 叫做抛物线的焦点；直线 叫做抛物线的准线； 定点 到和定直线 的距离用字母 来表示，即 。 |
通过作图和几何画板展示，体会抛物线的生成过程，理解抛物线所具备的几何特征，为几何问题代数化，研究抛物线方程及性质做好铺垫 |
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推 导 抛物线的 标 准 方 程 |
类比探究，推导方程 1.小组讨论，拟定方案 【问题】： （1）求曲线方程的基本步骤是什么？ 建系设点——列式——代换——化简——检验 （2）求抛物线的方程，首先涉及到怎么建系的问题。借鉴椭圆、双曲线的建系方案，坐标系应该怎样选择呢？ 学生容易提出如下三种方案（预案）： 方案一：以 所在的直线为 轴，以 为原点建立直角坐标系（其优点是“好想”） 方案二：以 所在直线为 轴，以 为原点建立直角坐标系（其优点是“好算”） 方案三：以 所在直线为 轴，以中点为原点建立直角坐标系（其优点是结果简洁） 2.分工合作，推导方程 学生在以上三种方案下得出三个不同的方程： 方案一： ； 方案二： ； 方案三： ； 3.师生共议，确定标准 对比研究，确定标准方程： 特征：开口向右，焦点坐标为 ，准线方程为 。 |
通过探讨合理建系，理解什么是抛物线的标准方程，并且强化求轨迹方程的方法。 和学生一起探讨方程的特征和几何量，让学生明确“之一求二”的思想。 |
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合 作 探 究 |
类比探究，完成建构 【问题】： 类比一下，椭圆和双曲线的标准方程有几种形式？是由什么决定的？抛物线的标准方程应该有几种形式？哪几种？ 用类比的方法分别快速写出开口向左、向上、向下，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程。 【问题】： （1）四种标准方程的左边和右边次数是怎样的？ （2）如何由方程确定抛物线的焦点位置及开口方向？ |
让学生从“数”和“形”两个角度深刻认识抛物线的标准方程，再次强化“之一求二”的思想。 |
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知 识 应 用 归 纳 提 升 |
例．（1）已知抛物线的标准方程是 ，求它的焦点坐标和准线方程；（画出抛物线草图） （2）已知抛物线的焦点坐标是 ，求它的标准方程和准线方程。（画出抛物线草图） |
对已探究新知的应用， 归纳和总结抛物线四种方程及焦点、准线方程的求法，渗透数形结合思想。 |
| 变式训练 |
变式训练求 抛物线2y2+5x=0的焦点坐标和准线方程。 |
当堂巩固， 学以致用， 学练并重. |
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课堂小结 |
通过本节课的学习，谈谈你有哪些收获？ 一个定义：平面内与一个定点 和一条定直线 （ 不经过点 ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 两种思想：数形结合思想；分类讨论思想。 三项注意：① 的几何意义是焦点到准线的距离； ②抛物线有四种形式的标准方程； ③求抛物线焦点坐标、准线方程、标准方程时应“先定位，再定量”。 课后作业 1、教材73页A组1,2,3,4题。 2.思考题 你能说明二次函数 的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标和准线方程。 |
引导学生归纳所探究的新知，形成知识结构；并进一步体会几何问题向代数问题转化的解析几何思想.自我肯定，激发探索热情. 设置一个深化提高题，激发学生挑战欲望，进一步理解什么是标准方程。 |
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数学文化 |
了解一位数学家，介绍一本书 他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地。我们现在初等数学所讨论的圆锥曲线，这位大神在洪荒时期就捣鼓得差不多了。 直到1000年后笛卡尔横空出世，发明了直角坐标系， 给几何插上了代数的翅膀，创立了解析几何。 |
让学生了解圆锥曲线的发展及解析几何的创立，了解数学史上著名的数学家，激发学生的兴趣与探索热情. |
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
