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视频课题：部编版高中新教材优质课比赛（省赛）5.2.1三角函数的概念第一课时_青阳
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5.2.1 三角函数的概念第一课时_青阳
5.2.1 三角函数的概念第一课时
（一）课时教学内容
三角函数的概念．
（二）课时教学目标
经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养．
（三）教学重点与难点
重点：三角函数的定义．难点：对三角函数概念的抽象过程及定义的理解．
（四）教学过程设计
1．创设情境，明确背景
引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，比如钟摆运动，日出日落，风景区內的水车，圆周运动，而圆周运动是这类现象的代表．从前面的知识知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
如图5.2-1，⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的匀速旋转．在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角
的大小变化刻画点P的位置变化．又由于根据弧度制的定义，角的大小与⊙O的半径无关，因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动．现在的任务是：
如图5.2-1，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况．
2．分析具体事例，归纳共同特征
引导语：下面我们利用直角坐标系来研究上述问题．如图5.2-2，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为
轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为
，点P的坐标为
．射线OA从轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角，终止位置为OP．
问题1：若角终边与单位圆交于点
，如何求点的坐标呢？
追问1：如何研究一般性问题？
当
时，点的坐标是什么？
当
或
时，点P的坐标又是什么？
追问2：任意给定一个角，点的坐标唯一确定吗？
一般地，任意给定一个角a ，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论，如果学生能回答出使|OP|=1，教师在此给出单位圆的定义，若学生想不到，教师可引导学生分析表达式的比值形式，看怎样能更简洁．
追问：（1）求点P的坐标要用到什么知识？（直角三角形的性质）
（2）求点P的坐标的步骤是什么？点P的坐标唯一确定吗（画出
的终边OP，过点P作轴的垂线交轴于点M，在
中，利用直角三角形的性质可得点P的坐标是
）.
（3）如何利用上述经验求
时点P的坐标？（可以发现，
，而点P在第二象限，可得点P的坐标
）
（4）利用信息技术，任意画一个角a，观察它的终边OP与单位圆交点P的坐标，你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？（对于R中的任意一个角a，它的终边OP与单位圆交点为
，无论是横坐标还是纵坐标
，都是唯一确定的．这里有两个对应关系：
：实数a（弧度）对应于点P的纵坐标，
：实数a（弧度）对应于点P的横坐标．
根据上述分析，
和
都是从集合R到集合
的函数．）
设计意图：以函数的对应关系为定向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角a（弧度）的函数，为给出三角函数的定义做好准备．
3．任意角三角函数的定义与辨析
问题2：请同学们先阅读教科书第177~178页，再回答如下问题：
（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？
（2）符号
，
和
分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？
（3）任意角三角函数的定义是否符合高中函数的定义？
师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题．
设计意图：在问题引导下，通过阅读教科书、辨析关键词等，使学生明确三角函数的概念．
4．任意角三角函数与锐角三角函数的联系
问题3：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．设
，把按锐角三角函数定义求得的锐角的正弦记为
，并把按本节三角函数定义求得的的正弦记为
．与相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
师生活动：教师引导学生作出
，其中
，再将它放入直角坐标系中，使点A与原点重合，AC在轴的正半轴上，得出
的结论．
设计意图：建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定义的和谐性．
5．任意角三角函数概念的理解
例1利用三角函数的定义求
的正弦、余弦和正切值．
师生活动：先由学生发言，再总结出从定义出发求三角函数值的基本步骤，并得出答案．
设计意图：通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵．
解答：在直角坐标系中，作
．易知
的终边与单位圆的交点坐标为
．
所以， 
，
，
.
例2设a 是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为，点P与原点的距离为
．求证：
, 
, 
．
师生活动：给出问题后，教师可以引导学生思考如下问题，再让学生给出证明：
（1）你能根据三角函数的定义作图表示出，吗？图5.2-4
（2）在你所作出的图形中，
各表示什么，你能找到它们与任意角的三角函数的关系吗？
设计意图：通过问题引导，使学生找到
，
，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明．
追问：例2实际上给出了任意角三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的．你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗？
师生活动：可以由几个学生分别给出定义的表述，在交流的基础上得出准确的定义．
设计意图：加深学生对三角函数定义的理解．
解答：
分析：观察右图，由∽，根据三角函数的定义可以得到证明．
证明：如图，设角 a 的终边与单位圆交于点
.分别过点，
作轴的垂线
，
，垂足分别为
，
，
则 
, 
，∽，
于是
，即
.
因为y0与y同号，所以
，即.
同理可得, .
6．目标检测设计（一）
练习1：
（1）利用三角函数定义，求
，
的三个三角函数值．
（2）说出几个使
的的值．
设计意图：检验学生对定义的理解情况．
练习2：
（3）已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s．求2 s时点P所在的位置．
设计意图：三角函数是刻画匀速圆周运动的数学模型，通过练习使学生从另一个角度理解三角函数的定义．
练习3：
（4）利用三角函数定义，求
的三个三角函数值．
（5）已知角
的终边过点
，求角的三个三角函数值．
设计意图：考查学生对三角函数定义的理解情况．
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
