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视频课题：部编版高中新教材优质课比赛（省赛）数学人教A版必修第一册1《集合与常用逻辑用语》小结课
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数学人教A版必修第一册1《集合与常用逻辑用语》小结课
《集合与常用逻辑用语》小结课
一、内容和内容解析
1、内容
集合的概念，集合间的基本关系，集合的基本运算，充分条件与必要条件，全称量词与存在量词
2、内容解析
学生在小学和初中已经接触过一些集合，如各种数集、不等式的解集、点集等. 以此为基础，高中阶段系统安排了集合的初步知识，包括集合的含义、关系与运算，帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象. 教科书类比数的研究，采用了“集合的含义与表示—集合的关系—集合的运算”的研究路径，加强了对“如何研究一个对象”的指引.
常用逻辑用语也是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言. 教科书从初中学过的定义和定理出发，介绍充分条件、必要条件、充要条件和量词，并将它们相联系，加强了“如何严谨准确地进行数学表述”，让学生逐渐习惯用数学的思维和符号表述和研究数学结论.
基于以上分析，确定本单元的教学重点：把各个局部知识组织成整体
二、目标和目标解析
1、目标
（1）能够在现实情境或数学情境中，概括出数学对象的一般特征，并用集合语言予以表达；初步学会用三种语言（自然语言、图形语言、符号语言）表达数学研究对象，并能进行转换；掌握集合的基本关系与基本运算.
（2）能够借助常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，体会常用逻辑用语在数学表达中的作用.
（3）能够在本章的学习中，重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
2、目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能在具体实例中，利用特殊到一般、具体到抽象的方法概括出集合的含义；能通过类比实数的关系和运算，理解集合的基本关系和基本运算；对于具体的集合运算问题，能利用集合的自然语言、符号语言和图形语言表示集合的基本关系和基本运算，并能相互转化；
（2）能举例说明充分条件、必要条件、充要条件的意义，说明判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系、数学定义与充要条件的关系；在具体情境中，能判别充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件和充要条件.
（3）能举例描述全称量词和存在量词的意义，能准确区分全称量词与存在量词的概念与符号；能正确使用全称量词与存在量词描述相关数学命题，并能将文字语言与符号语言的命题进行相互转化，会判断全称量词命题与存在量词命题的真假，能正确对全称量词命题与存在量词命题否定.
（4）能在现实情境或数学情境中，概括出数学对象的一般特征，并用集合语言与常用逻辑用语描述数学对象，进行数学推理，体会逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性，提升学生抽象概括和推理论证的能力.
三、教学问题诊断分析
相对于义务教育阶段的数学知识，高中阶段的数学知识较为抽象，所以学生不仅感到数学知识变难了，而且会有无从下手、不知如何学习的感觉. 因此，初高中的过渡，一是知识量的增加和知识难度的提高，二是学习心理的调整和学习方法的掌握.
本章内容属于“预备知识”，定位是帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 在初中，学生接触的集合与常用逻辑用语知识较为零散；在本章，学生首次系统学习表述数学内容的语言和工具——集合与常用逻辑用语，它们具有符号化，抽象化、严谨化等特点，符号较多、形式化程度高，学生在初次接触时，难以体会到它们的作用，容易产生为什么要学的困惑. 同时学生抽象概括、推理论证、运算求解、直观想象能力均较弱，不具有转化与划归、特殊与一般、分类与整合、数形结合等数学思想.
基于以上分析，本单元的教学难点是提升抽象概括、推理论证、运算求解、直观想象能力，培养转化与划归、特殊与一般、分类与整合、数形结合数学思想
四、教学过程设计
第一课时 集合
（一）知识回顾
例1、判断下列元素的全体是否组成集合；如果是集合，用恰当的方式表示它们.
（1）大于0小于6的所有整数；
（2）铜陵一中高一新生中高个子学生；
（3）二次函数
的所有函数值；
（4）大于0小于6的所有实数.
问题1：判断例1中每一小题元素的全体是否组成集合.
师生活动：学生判断例题中四个小题是否组成集合，教师根据学生答案追问.
追问：（1）你判断能否构成集合是依据集合中元素的哪一条特性？
（2）元素还有哪些特性？
（3）对于例题中的集合，除了自然语言外，还可以用什么方式表示它们？
（4）结合同学用描述法表示的集合，请说一下描述法的结构特征.
师生活动：学生独立思考追问中问题，回答问题.
教师指出，确定性是集合概念中体现的元素特性之一，也说明了数学概念的重要性.并且这里大家也体会到了表达数学对象的方式具有多样性.
【设计意图】
通过具体实例，回顾集合的含义、元素特性、集合的表示方法，体会数学概念的重要性和表达数学对象的方式具有多样性.
例2、集合
，集合
（1）若集合
，求实数m的取值构成的集合；
（2）若
，求实数m的取值构成的集合；
（3）若
，求实数m的取值构成的集合；
（4）若
，求实数m的取值构成的集合.
问题2：（1）本题中涉及到集合的哪些基本运算？
（2）本题中涉及到集合间哪种基本关系？
师生活动：学生回忆所学知识，回答问题，老师根据学生的回答可追问
追问：（1）题目中哪里涉及补运算？
（2）哪一个小题中涉及到了集合间的包含关系？
师生活动：学生独立思考，回答问题.
【设计意图】
通过数学例子，回顾集合的基本运算和集合的基本关系，培养学生转化与划归的数学思想.
问题3：根据黑板上的磁贴，请搭建集合的知识框架图.
师生活动：学生交流讨论，请两位同学上黑板合作展示讨论结果.
【设计意图】
通过搭建知识框架图可以帮助学生理解和掌握集合部分的知识.
问题4：例题2每一小题中如何求实数取值构成的集合
师生活动：学生独立思考，第一小题请同学口述答案，第二小题学生独立完成，请一位同学上黑板展示.教师根据学生的作答j进行归纳总结.
教师指出，数形结合、分类与整合以及划归与转化是非常重要的数学思想，在我们后面的学习中也会经常使用到.
【设计意图】
通过具体的例子，让学生掌握先将题干条件转化为集合基本关系，再利用集合基本关系求解的做题方法，同时了解划归与转化、数形结合、分类与整合这三个数学思想.
问题5：请同学们独立完成例题2中的第三、四小题.
师生活动：学生解题，教师进行订正.
【设计意图】
通过练习熟练划归与转化、数形结合、分类与整合这三个数学思想的应用，并且体会到补集的应用.
（二）知识拓展
问题6：学习集合知识时，我们多次使用到了“类比”这个推理方法，比如实数有大小关系和相等关系，类比得集合有哪两种关系？实数有加法运算，类比得集合的哪种运算？
师生活动：学生独立思考，回答问题.
问题7：你能类比实数的减法运算给出集合的减法运算吗？
师生活动：学生分小组讨论，小组代表上黑板展示讨论结果.
教师指出，集合
称为集合A与集合B的差集，记作
（读作“A减B”）即 
.
练习：若记号“*”表示两个实数a与b的算术平均的运算，即
，类比实数加法对乘法分配律写出两边均含运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a,b,c都成立的一个等式可以是_____
师生活动：学生分小组讨论，请小组代表展示讨论结果并证明.
【设计意图】
通过回顾实数大小、相等关系类比得集合包含、相等关系，由实数加法运算类比得集合并运算，复习类比推理，通过问题7和练习，加深学生对类比推理的理解.
（三）课时小结，布置作业
通过本节课的学习，我们一起搭建集合这部分知识的框架图，一起学习了三种重要的数学思想，分别是转化与划归、分类与整合、数形结合，还学习了一个重要的推理方法即类比推理.
【设计意图】
梳理、总结本节课的核心内容.
课后作业:（1）课本34页复习参考题1中1，2，3，8，9
（2）阅读课本15页《集合中元素的个数》 ，完成35页练习11
第二课时 常用逻辑用语
（一）知识回顾
例1：在下列各题中，判断
是不是
的充分条件.
（1）p：两个三角形三边对应成比例； q：两个三角形相似；
（2）p：两个三角形三个角对应相等； q：两个三角形全等；
（3）p：四边形是正方形； q：四边形是平行四边形.
问题1：如何判断是不是的充分条件？
师生活动：学生独立思考，归纳判断方法，教师追问，
追问：（1）例题1中三道题是不是的充分条件？
（2）第二小题p推不出q，说明理由.
师生活动：学生独立思考，回答追问中的问题.
【设计意图】
复习充分条件的概念，归纳判断充分条件的方法.再通过具体实例练习，熟练判断充分条件的方法.
问题2：对于例题1中三小题，我们先重点分析第一小题，第一小题等价于判断了哪个命题是真命题？
师生活动：学生独立思考，请同学回答，教师根据学生的答案追问
追问：这是三角形相似的判定定理还是性质定理？
师生活动：学生独立思考，回答问题，教师归纳总结.
教师指出，三角形相似的这个判定定理给出了三角形相似的一个充分条件，也可以认为用含有逻辑用语“充分条件”的语句表达了这个判定定理。事实上，数学中每一条判定定理都给出了相应数学结论的一个充分条件，那么也就可以用含有逻辑用语“充分条件”的语句表达判定定理.
练习：用含有逻辑用语“充分条件”的语句表达下列两个判定定理.
① 同位角相等，两直线平行；
② 三边对应相等的两个三角形全等.
师生活动：学生独立思考并作答.
【设计意图】
通过例题1（1）再分析，进一步理解p是q的充分条件就是“若，则”是真命题，同时引出充分条件和判定定理的关系.通过练习加深对两者关系的理解.
例2：在下列各题中，判断是不是的必要条件.
（1）p：两个三角形三边对应成比例； q：两个三角形相似；
（2）p：两个三角形三个角对应相等； q：两个三角形全等；
（3）p：四边形是正方形； q：四边形是平行四边形.
问题3：如何判断是不是的必要条件？
师生活动：学生独立思考，回答问题，教师根据学生情况追问
追问：（1）对于例题1中三个小题，是不是的必要条件？
（2）对于第三小题，不是的必要条件，请说明理由.
师生活动：学生独立思考，回答问题.
【设计意图】
复习必要条件的概念，归纳判断必要条件的方法.再通过具体实例练习，熟练判断必要条件的方法.
问题4：对于例题2中三个小题，我们先分析第一和第二小题，这两题相当于判断了哪两个命题是真命题？
师生活动：学生独立思考，回答问题，教师根据学生回答追问
追问：它们分别是三角形相似和三角形全等的判定定理还是性质定理？
师生活动：学生根据初中知识回答问题，教师归纳总结.
教师指出，三角形相似性质定理给出了三角形相似的一个必要条件，也就是说如果三角形三边对应不成比例，三角形一定不相似；要想三角形相似，三边对应成比例必须成立.也可以认为用含有逻辑用语“必要条件”的语句表达了该性质定理.数学中每一个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件，那么就可以用含有逻辑用语“必要条件”的语句表达性质定理.
练习：用含有逻辑用语“必要条件”的语句表达下列两个性质定理.
① 矩形的对角线相等；
② 菱形的对角线互相垂直.
师生活动：学生独立思考，回答问题.
【设计意图】
通过例题2（1）（2）再分析，进一步理解p是q的必要条件就是“若，则
”是真命题，同时引出必要条件和性质定理的关系.通过练习加深对两者关系的理解.
问题5：综合例题1和例题2，三小题中是的什么条件？
师生活动：学生思考问题，集体回答.
教师指出，三角形相似的充要条件实际上就是给出了三角形相似的等价定义.
【设计意图】
强调充要条件和数学定义的关系，明确判断“充要条件”、“充分不必要条件”和“必要不充分条件”时可将问题分成两步判断.
问题6：对于例题中第三小题，判断出
是的充分不必要条件，相当于判断了
哪两个命题的真假性？
师生活动：学生独立思考，回答问题.
追问：（1）能不能用含有量词的命题来解释.
（2）“所有的”“有一些”分别属于哪种类型的量词？
（3）含有“所有的”“有一些”的命题属于哪种类型的命题？
师生活动：学生独立思考回答问题.
练习1：将下列定理表示成含有量词的命题：
① 勾股定理； ② 三角形内角和定理.
师生活动：学生独立思考，回答问题.
【设计意图】
引导学生用含有量词的命题可以用来表达数学内容，帮助学生认识到常用逻辑用语在数学表达中的作用.
问题7：对于以上四个含有量词的命题，你会写出它们的否定吗？
师生活动：学生独立思考，回答问题，教师根据学生回答情况追问
追问：（1）全称量词命题的否定是什么类型的命题？
（2）存在量词命题的否定是什么类型的命题？
（3）命题和它的否定真假性有什么联系？
师生活动：学生集体回答
【设计意图】
复习全称量词命题和存在量词命题的否定，以及原命题和它的否定的真假性的关系.
问题8：结合黑板上的词条，请同学们搭建常用逻辑用语这部分内容的知识框架图.
师生活动：学生小组讨论，请两个同学上黑板展示讨论结果.
【设计意图】
通过搭建知识框架图，再一次帮助学生理解和掌握常用逻辑用语这部分的内容.
（二）知识拓展
问题9：在新课中，我们用了这样一个引例，得出“我生活在铜陵”是“我生活在安徽”的充分条件，结合地图，你还能找到“我生活在安徽”的充分条件吗？
“我生活在____”是“我生活在安徽”的充分条件
师生活动：学生独立思考，回答问题，教师追问.
追问：（1）填在空格上的城市在地图上所对应的区域与安徽
这个区域有什么关系？
（2）这种关系与我们前面学习过的哪一种图形类似？
师生活动：学生独立思考，回答问题.
练习2：用“
”，“
”，“
”填空：
（1）_______是________的充分条件 （2）_______是________的必要条件
师生活动：学生小组讨论，回答问题.
【设计意图】
通过问题9和练习，引导学生关注到充分条件、必要条件以及充要条件和集合包含关系、相等关系之间的联系，从而得到新的判断充分条件、必要条件和充要条件的方法
集合法总结：集合
（1）若
，则p是q的______条件；
（2）若
，则p是q的______条件；
（3）若
，则p是q的______条件；
（4）若p是q的充分不必要条件，则_________；
（5）若p是q的必要不充分条件，则_________；
（6）若p是q的既不充分也不必要条件，则___________________.
师生活动：学生小组讨论，回答问题，教师归纳总结
教师指出，判断充分条件、必要条件、充要条件也可以用集合法.
【设计意图】
将充分条件、必要条件、充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件与集合的基本关系对应起来，便于学生理解和应用.
问题10：将判断充分条件、必要条件、充要条件的方法汇总到表格中.
| p是q的充分条件，q是的p必要条件 |
p是q的 充分不必要条件 |
p是q的 必要不充分条件 |
p是的q 充要条件 |
p是q的 充分不必要条件 |
| “若p，则q”真 | ||||
 |
||||
|
|
一元二次方程
有实数根 
”是真命题，求实数
的取值范围.
”是假命题，求实数的取值范围.
的垂直平分线.
，且
表示平面内的动点，指出属于集合
的点是什么.
若
，则a的取值范围是_____
，两边均含运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a,b,c都成立的一个等式可以是_____
，q:
；
（1）
中，
与
分别为
与边上的高，则
与
所在的直线交于一点
.|
课题 知识框架图 |
PPT | 例题（学生练习题） |
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