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视频课题：部编版高中新教材优质课比赛（省赛）人教A版必修一第二章2.2基本不等式 第二课时_芜湖
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人教A版必修一第二章2.2基本不等式 第二课时_芜湖
2.2 基本不等式（2 课时，单元教学设计）
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单元学习基本信息 |
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学科 |
数学 |
实施年级 |
高一 |
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使用教材版本 |
人民教育出版社 A 版 2019 年必修第一册 |
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单元主题名称 |
2.2 基本不等式 |
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单元课时 |
2 课时 |
一、单元内容和内容解析
1. 内容
基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用.
2. 内容解析
基本不等式具有深刻的数学内涵、丰富的几何背景.从数与运算的角度，
是两个正数的“算数平均值”，
是两个正数的“几何平均值”，因此基本不等式涉及的是代数中的“基本量”与最基本的运算.从几何图形角度，“等圆中弦长的一半不大于半径”“直角三角形中斜边上的高的长度不大于斜边上的中线的长度”“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”等，都是基本不等式的几何直观理解. 因此基本不等式是代数研究的对象，又有丰富的几何内涵，是沟通几何与代数的桥梁.
结合基本不等式的代数结构和几何解释，基本不等式的证明和推导方法很多.借助分析法，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式；从几何解释的角度，借助几何直观，通过数形结合探究基本不等式；后面在学习函数知识后，也可以从函数的角度构造函数，利用函数的性质来证明基本不等式等，这也是代数推导证明和几何解释的典型.
基本不等式是一种特殊的不等关系，它的代数结构是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求一些实际问题的最大（小）值，同时在理解基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量、数形结合、数学建模等思想方法.
类比初中相等关系的学习内容和研究方法，引入了不等关系的内容，基本不等式又是一种特殊的不等关系，它是不等关系的一种延续，也为后续内容的学习作了知识和方法的铺垫.同时基本不等式在实际生活中有着广泛的应用，这也是学生学习基本不等式的必要性.初中学习的平面几何知识和学生的生活经验为基本不等式的学习和应用做了理论和方法的铺垫.掌握基本不等式的几何意义、文字叙述、符号表示，对于后面学习函数内容、不等式、解决最值问题等知识意义重大.
基本不等式内容的学习，可以帮助学生理解基本不等式的几何意义和代数意义；掌握用基本不等式解决实际问题中最值问题；提升学生的逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.
基于以上分析，确定本单元的教学重点：基本不等式的定义、证明方法、几何解释，用基本不等式解决简单实际问题中的最值问题.
二、单元目标和目标解析
1.单元目标
（1）理解基本不等式
，掌握基本不等式的主要内容、文字表述、几何解释等发展学生的数形结合、逻辑推理的能力.
（2）运用分析法证明基本不等式，理解用分析法证明不等式的格式.
（3）结合具体实例，运用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展学生的数学运算和数学建模等数学核心素养.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）知道基本不等式的内容，明确基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”，会利用不等式的性质证明基本不等式，能说明基本不等式的几何意义.
（2）学生能够掌握用分析法证明基本不等式的格式：分析法在书写过程中必须有相应的文字说明，一般每一步的推理都要用“要证...只要证...”，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然
成立”.
（3）学生能结合具体实例，明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值和最小值；在解决实际问题中，体会基本不等式的作用，提升数学运算、数学建模等数学核心素养.
三、单元教学问题诊断分析
学生缺少代数证明不等式的经验，所以基本不等式的证明是本节课得的一个难点.基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合的解释，所以这也是本节课的一个难点.
学生利用基本不等式解决最值问题时存在一定困难.在利用基本不等式求最值时容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认积或和为定值就求最值等问题，这也是学生思维不够严谨的表现.在实际应用中，学生对理解和识别实际问题中的数量关系，利用基本不等式的模型来解决实际问题的能力有待提高. 因此基本不等式的证明和利用基本不等式求最值也是本节课的难点。
四、单元教学支持条件分析
可利用信息技术制作动态图，帮助学生数形结合理解基本不等式的几何解释;在利用基本不等式解决实际问题时，可以利用视频软件播放相关视频，激发学生利用基本不等式解决实际问题的热情,并利用如希沃白板等软件的传屏功能即时展示学生的解题过程
五、课时教学过程设计
第一课时
课时教学内容
基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用.
课时教学目标
（1）通过证明基本不等式的过程，渗透分析法的证明思想，理解基本不等式
，发展逻辑推理素养，结合几何解释，提升直观想象素养.
（2）结合具体事例，用基本不等式解决简单的求最值的问题，发展数学运算和数学建模素养.
教学重点与难点
教学重点：基本不等式的定义、证明方法和几何解释、用基本不等式解决简单的最值问题，体会数形结合、转化与化归的数学思想.
教学难点：基本不等式的证明和几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题，
教学过程设计
（一）基本不等式的定义
导入语：我们知道，在代数运算中乘法公式发挥着重要的作用，那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢？今天我们就来研究这个问题.
复习：通过前面的学习，我们借助赵爽弦图得出了重要不等式
，你能对重要不等式进行证明吗？等号成立的条件是什么？你能从图形中对“等号成立”进行解释吗？
问题1：当
时，我们用
分别代替重要不等式
中的
，可以得到怎样的式子？
师生活动：学生独立计算后回答.教师总结：对于
，得到
，变形为
，当且仅当
时，等号成立，通常称其为基本不等式. 其中，
叫做两个正数
的算术平均数，
叫做两个正数
的几何平均数.
追问：用文字语言描述基本不等式，有助于加深对它的理解，现在你能用文字语言来表述一下基本不等式吗？
【设计意图】通过取前面得到的不等式
的特殊形式，得到基本不等式
，同时在两个不等式之间建立联系.通过分析基本不等式的代数结构特征，得到基本不等式的代数解释，即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，加深对基本不等式的认识.
（二）基本不等式的证明
问题2：前面，我们通过代换法获得了基本不等式，也已经学习了不等式的性质，那么能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？
师生活动：学生可能采用作差比较法证明上式.教师肯定学生的做法后，给出分析法的证明过程，同时指出，只要把上述过程倒过来就能用不等式的性质直接推出基本不等式了.
追问1：上述证明中，每一步推理的基本依据是什么？
追问2：上述证明方法叫做“分析法”，你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？
追问3：根据分析法的证明过程，说说分析法的证明格式是怎样的？
【设计意图】直接利用不等式的性质，用分析法也可以导出基本不等式，让学生体会分析法的思路实际上是寻找结论成立的一个充分条件，明确推理的逻辑顺序.同时引导学生认识分析法的证明思路和证明过程，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略.
（三）基本不等式的几何解释
问题3：如图，
是圆
的直径，点
是
上一点，
.过点
作垂直于
的弦
，连接
、
，你能用
来表示
吗？
追问：数形结合可以帮助我们更直观的理解问题，结合我们给出的图形，你能从几何角度给出基本不等式的解释吗？
师生活动：教师利用几何画板给出动态图形，展示由不等到相等再到不等的转化过程，帮助学生直观理解.
【设计意图】让学生自己寻找基本不等式的几何解释是非常困难的，因此这里直接给出了几何图形，并引导学生将
与
图中的几何元素建立起来联系，再观察这些几何元素在变化中表现的大小关系规律，从而获得基本不等式的几何解释，帮助学生进一步理解基本不等式的内涵.
（四）基本不等式的简单应用
例1 已知
，求
的最小值.
追问1：本题中要求最小值代数式有什么结构上的特点？是否可以利用基本不等式求最小值？如果能？怎么求？
追问2：若去掉条件
，最小值还是2吗？
追问3：上述解答中，是否必须说明“当且仅当
，即
时，等号成立”？
追问4：已知
，则
成立吗？1是
的最小值吗？为什么？
判断下列命题是否正确，并说明理由.
（1）
的最小值是4.
（2）
的最小值是6.
（3）
的最小值是2.
思考：你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式来求最值吗？
师生活动：学生讨论后回答.教师总结：代数式是否能转化为两个正数的积为定值，不等式中等号能否取到，即：“一正、二定、三相等”.
【设计意图】引导学生根据所求代数式的形式，判断是否能利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生解决代数式的最值问题提供示范.
问题4：通过刚才的分析和总结，现在你能尝试自己编制一道类似的求最值的问题吗？
师生活动：学生尝试并相互交流，教师请同学说说自己编的题，为什么这么编？并总结：如果两个数的积为定值，那么它们的和有最小值（积定和最小），即：如果积
等于定值P，那么当
时，和
有最小值
.
追问：类比刚才的问题，如果两个数的和为定值，那么它们的积是否有最值呢？
师生活动：学生思考并相互交流，教师总结：如果两个数的和为定值，那么它们的积有最大值（和定积最大），即：如果和
等于定值S，那么当
时，积
有最大值
.
【设计意图】在例1的基础上，学生已经初步找到求最值的数学模型，这时通过让学生自己编题，让学生主动应用所学的知识，并获得成功的喜悦. 类比思考既是数学常用的思考方法，又让学生积极参与的基本不等式的应用中，同时借这两个问题指出用基本不等式能够解决的两类问题，为用基本不等式解决实际问题创造了条件.
（五）归纳小结
本节课我们一起学习了哪些知识？用到了哪些思想方法？
（六）布置作业
必做题：教材第46页习题A组的第1,2题；
选做题：请同学们课后在网上查找基本不等式的其他代数、几何证明方法，整理并相互交流.
【设计意图】课堂作业加深学生对基本不等式的理解和应用，课后作业拓展学生思维，培养其数形结合的能力.
（七）板书设计
2.2 基本不等式
1.重要不等式 例
2.基本不等式
“一正”“二定”“三相等”
|
（八）教学反思
本节课在课堂问题设计方面，力争提问准确到位，以便于学生思考和回答.教师的一系列“设问”、“追问”与学生的递进式“作答”、“再答”，吸引学生主动思考，并引导学生尝试分析，迁移，由浅入深、层层递进地开展数学“微探究”学习. 在课堂中，能够明确教学目标，通过课堂师生活动突出重点，突破难点.设计中利用几何画板的演示，使学生感性的认识基本不等式，化解了等号成立这一难点，同时给予两个最值模型了几何解释，为学生后面主动应用基本不等式解决最值问题打下了基础. 例题的设计，来源于教材，又不拘泥于教材，刚学生感受到知识生长的自然而然.
第二课时
课时教学内容
本课时主要内容:利用基本不等式解决实际问题中的最值问题.
课时教学目标
1.掌握基本不等式的两个数学模型：
.
模型一：若
（定值），则
时，
；
模型二：若
（定值），则
时，
.
2.会运用基本不等式解决某些实际问题的最值问题.
3.在问题的解决过程中，提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力,培养数学运算和数学建模等数学核心素养.
4.在用基本不等式解决实际问题的过程中培养学生用数学的眼光看问题，用数学的眼光看世界的能力.
教学重点与难点
教学重点：结合具体实例，利用基本不等式解决某些实际问题中的最值问题.
教学难点：从实际背景中抽象出数学问题的本质，建立数学模型，利用基本不等式解决最值问题.
教学过程设计
教学流程：
（一）创设情景、构建新知
导入语：当今我们生活在一个和平时代，是幸福的!我们可以丰衣足食，无忧无虑；可以安静的坐在装备齐全的教室里接受教育，那是因为我们生活在一个和平的国家.“轻舟虽晚，终回家国”，随着我国综合实力的不断增强，世界影响力越来越大，各项产业蓬勃发展，电子产业也不例外，请看下面短片.
【短片主要内容是随着改革开放以来我们电子屏技术有了突飞猛进的发展，比如：早期CRT电脑显示器（阴极射线显像管,)—新生代 LCD电脑显示器—现役主流 LED电脑显示器—未来OLED电脑显示器】
这些变化离不开党的正确领导和科研人员的攻坚克难，未来电子屏技术将取得怎样的突破还需要我们的不懈努力.本节课我们也充当一次设计师的角色，解决以下问题：
问题1：视频中我们观察到的显示屏是什么形状的？
问题2：为了便于携带，如果要使观看面积不变的条件下，
周长最短，应该怎样设计显示屏的长和宽呢？最短周长是多少？
师生活动：学生思考后回答.教师引导指出：这里可以以
常用的全面屏PAD为例，不妨假设面积是100 cm²，这就是我们
的例3(1).
例3(1)：如图1要设计一面积为100 cm²的全面屏矩形显示屏，
则这个显示屏的边长为多少时，周长最短.最短的周长是多少？
【设计意图】长方形等周问题是均值不等式的源头之一，这里通过展现改革开放以来我国电子信息方面发生的翻天覆地变化，让学生感受到国家的强大，体会民族自豪感,同时抛出问题1、问题2引出例3（1）激发学生的学习动机.让学生去思考建模，从而引入基本不等式的应用，发挥学生学习主动性,渗透课程思政的教育思想！
追问1：上述问题的数学本质是什么？
师生活动：教师引导学生用数学语言叙述例3(1)，并用数学符号表达出来,从而把实际问题转化成数学问题.学生思考后回答：例3(1)可以转化为：已知矩形面积，求边长多长时周长最短的问题.实际上是已知两个正数积为定值，求当两个正数取什么值时和有最小值的问题.如果显视屏相邻两条边长分别为
cm,
cm,那么例3(1)中的问题可以转化为：已知
求
的最小值.
追问2：对于上述问题我们可以用什么知识来解决？
师生活动：学生回答：基本不等式.教师：基本不等式是解决最值问题的有力工具，为了用好这把工具，下面我们来回顾基本不等式的基本内容.引导学生作答，教师总结如下：
1.本章知识结构图
2.基本不等式：
，当且仅当
时取等号.
前提条件：“一正、二定、三相等”.
3.两类模型：
.
模型一：若
（定值），则
时，
；
模型二：若
（定值），则
时，
.
【设计意图】与第一章一样，本章也是高中数学的预备知识，通过带领学生观看本章知识结构图，让学生体会到知识的整体性和联系性.同时引导学生复习基本不等式及其两种数学模型.为进一步利用基本不等式解决实际问题做好铺垫与过渡.
追问3：例3(1)中的问题可以用基本不等式的哪类模型求解？
师生活动：学生思考后回答：例3(1)对应模型一.学生完善解答过程，教师予以规范，并板书.
预设答案：
解(1)：设矩形显示屏的相邻两条边的长分别为
cm，
cm，则
，篱笆长为
cm.
由
可得
，当且仅当
cm时，上式等号成立.
答：当这个矩形显示屏是边长为10 cm的正方形时，所用周长最短，最短周长是40 cm.
【设计意图】通过例3（1)帮助学生理解如何利用基本不等式模型理解和识别实际问题，从而用基本不等式解决问题，进一步发展学生的模型思想.
追问4：例3(1)中我们计算的结果是设计成边长为10cm的正方形，但是我们的PAD或者常用的电脑屏通常不是正方形，你知道原因吗？
师生活动：学生思考后回答，为了便于携带、美观等.教师总结：除了美观外主要还是因为我们眼睛的横纵向视角不同，横向视角大概160°，而纵向视角只有80°左右,所以为了满足视角需要常常把屏设计成长方形的.在实际问题中，影响最终方案确定的因素往往不唯一.
问题3：在例3(1)中我们是保证矩形显示屏的面积不变，求周长的最小值，那么如果我们固定矩形显示屏的周长，不妨假设周长是36cm,你会求其面积的最大值吗？这就是我们的例3(2).
例3(2)：如图2要设计一周长为36cm的全面屏矩形显示屏，问
这个矩形的边长为多少时，观看面积最大.最大面积是多少？
追问1：上述问题的数学本质是什么？
师生活动：教师引导学生用数学语言叙述例3(2)，并用数学
符号表达出来,从而把实际问题转化成数学问题.学生思考后回答：
例3(2)可以转化为：已知矩形周长，求边长多长时面积最大的问题.实际上是已知两个正数和为定值，求当两个正数取什么值时积有最大值的问题.如果显视屏相邻两条边长分别为
cm,
cm,那么例3(2)中的问题可以转化为：已知
求
的最大值.
追问2：对于上述问题我们可以用什么知识来解决？
师生活动：学生回答：基本不等式.
追问3：上述问题对应基本不等式的哪类模型？
师生活动：学生回答：基本不等式对应的模型二.并由学生完善解答过程，教师予以规范并板书.
预设答案：
解(2)：设矩形显示屏相邻两条边长分别为
cm，
cm，则
，
即：
，矩形显示屏的面积为
cm
2.
由
可得
，当且仅当
cm时，上式等号成立.
答：当这个矩形显示屏是边长为9 cm的正方形时，最大面积是81 cm
2.
追问4： 通过例3，你能总结利用基本不等式解决实际问题的步骤是什么？
师生活动：教师引导学生回顾在例3的解题过程中回答的层层追问，由学生给出具体步骤，教师总结如下：1. 寻找实际问题的数学本质；2. 选择合适的数学模型；3. 解决数学问题；4.回答实际问题的结果.这就是我们常说的“数学来源于生活，又服务于生活”.
【设计意图】通过例3(2)进一步帮助学生理解如何利用基本不等式模型理解和识别实际问题，从而用基本不等式解决问题，发展学生的模型思想.并帮助学生总结利用基本不等式的两种数学模型解决实际问题时的具体步骤.
（二）巩固强化、学以致用
问题4：除了例3，你能否列举出我们生活中可以利用基本不等式求最值问题的实例？
师生活动：学生思考后列举，教师总结.
我们身边这种例子很多,除了我们刚刚观看的PAD屏，手机屏，电脑，电视屏等小屏，还会出现很多大屏，比如：大型超市、商场等外墙一般会悬挂大型显示屏(如图3、图4），用来展示当天的商品信息.我们知道这种大屏易碎，所以一般是用框架固定的.
图3 图4 图5
练习：要用一段长为10 m的材料围成一个一边靠墙的矩形框镶嵌超市外墙显示屏（图5），则这个矩形框边长为多少时，可镶嵌的显示屏面积最大.最大面积是多少？
师生活动：教师引导学生按照利用基本不等式解决实际问题的步骤分析如上练习，学生思考后作答，教师利用希沃白板投屏展示学生的解答过程，并予以规范.
追问1：如果练习中原有条件和问题不变，加“墙长4 m”这一条件，又该如何解答？
师生活动：教师引导学生发现利用基本不等式无法解决这一问题，因为等号无法取到.学生思考后回答：可以利用二次函数解答,并在课下完成.
【设计意图】练习的设计引导学生自主发现问题，提出问题，分析问题，并解决问题，充分发挥学生的主动性和能动性，真正让学生成为课堂的主人.同时追问1的设计旨在帮助学生深刻体会应用基本不等式时应注意“一正，二定，三相等”等条件,同时为了不冲淡本节课的主题，所以让学生课下完成二次函数解题.
（三）创设情境、构建新知
我们的日常生活中除了常用的小显示屏，常见的大显示屏，其实在一些科技馆、展览馆还会见到用显示屏搭建的长方体视频屋（图6、图7）：
图6 图7
问题5：这样的长方体大屏一般价格不菲，在保证清晰度、高、容积不变的前提下，搭建费用是商家最为关心的问题，怎样设计才能使得搭建费用最少呢？
师生活动：教师引导指出：因为问题5中视频屋的容积，高，每平方米的造价是固定的，所以我们不妨给出具体值，这就是我们的例4.
例4：某大型展厅，要建造一个长方体视频屋（图7），容积为48m³，高为3m.如果视频屋上下底每平方米的造价为1500元，墙壁每平方米的造价为1200元（门的面积是2m
2），那么怎样设计视频屋能使总造价最低？最低造价是多少？
追问1：长方体的体积公式是怎样的？本题中哪些量是不变的，哪些量是变化的？
师生活动：学生思考后回答
:
长方体体积：
；
不变的量：体积，高，底面积；
变化的量：底面边长和侧面积.
追问2：显示屏的总费用是由哪个量来决定的？若设地面
相邻的两边分别为
m和
m，你能写出显示屏总费用z的表达
式吗？
师生活动：学生思考后回答，教师总结：
上下底造价：
侧面造价：
总造价：
最后由学生完善解题过程.
预设答案：
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为
m，
m，水池的总造价为
元，根据题意有：
由容积为48 m³，可得
，因此
，
所以
，当且仅当
时，上式等号成立．
答：贮水池的池底设计成边长为4 m的正方形时总造价最低，最低总造价为103200元．
【设计意图】例4的背景更加复杂，设计追问1和追问2旨在引导学生探索例4这个实际问题的数学本质，并用数学的符号表达出来，最后选择基本不等式适用的数学模型求解，本问题在前面例题的基础上，进一步培养学生用数学的眼光看问题的能力，提升他们的数学建模素养.
（四）归纳小结
通过本节课的学习，能说说你学到了哪些知识和方法？有什么体会？
师生活动：学生思考后回答，教师总结：
1.复习了基本不等式的内容：
2.利用基本不等式的两种数学模型解决了，例3，练习，例4等实际问题.
3.总结了解决实际问题的具体步骤：（1）寻找实际问题的数学本质，(2)选择合适的数学模型，(3)解决数学问题，(4）回答实际问题的结果.
4.我们要习惯于用：用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界!
【设计意图】引导学生回顾本节课的学习内容和方法，注意引导学生体会数学建模的思想.
（五）作业设计
1.书面作业：教科书习题2.2 : 第3 ,6题.
2.思考作业：
某体育场需建造隔热层(如图8），并要求隔热层的使
用年限为15年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，
设每年的能源消耗费用是C万元，隔热层的厚度是x厘米，
两者满足关系式：
，若无隔热 图8
层，则每年的能源消耗费用为6万元.15年的总维修费用为10万元，记y为15年的总费用.(总费用=隔热层的建造成本费用+使用15年的能源消耗费用+15年的总维修费用）.
（1）求15年的总费用y的表达式；
（2）请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y最小，并求出最小值.
【设计意图】进一步培养学生利用基本不等式解决实际问题的能力.
（六）板书设计
2.2 基本不等式（第二课时）
知识点回顾：
例3：
一. 基本不等式 变式：
二. 两种模型 例4：
三．基本不等式的应用 |
（七）教学反思
本节课利用电子屏飞速发展的视频引入课题，使学生经历从生活中常用的小显示屏—大显示屏—立体屏的尺寸设计过程，感受解决这一实际问题的必要性，逐步构造例3—练习—例4，并引导学生选择基本不等式模型解决实际问题，最终总结出了利用基本不等式的模型解决实际问题的步骤.
通过本节课的学习，学生进一步理解了基本不等式的内容，明确了基本不等式的使用条件：“一正，二定，三相等”，初步掌握了如何选择基本不等式模型解决实际问题.提高了学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养了学生数学运算、数学建模等数学核心素养.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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