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视频课题：部编版高中新教材优质课比赛（省赛）数学人教A版必修第一册1.4充分条件与必要条件（第1课时）
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高中数学人教A版必修第一册1.4充分条件与必要条件（第1课时）
1．4 充分条件与必要条件（2课时）
铜陵市第一中学 吴安琪
一、单元内容和内容解析
1、内容
充分条件、必要条件以及充要条件的意义；判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，数学定义与充要条件的关系．
2、内容解析
(1) 知识产生的背景：命题由条件和结论两部分组成，研究命题必然需要研究条件和结论之间的关系．就数学学习而言，学生需要在更一般的意义上更加清晰地认识数学定义、判定定理、性质定理中条件与结论的关系．
(2) 知识生长的过程和阶段：本节课知识的形成过程经历了四个阶段：①感知条件和结论之间存在某种内在逻辑关系；②通过归纳、抽象、分析，得出条件与结论之间的四种关系（充分不必要、必要不充分、充要条件，即不充分也不必要）；③建构严谨的数学概念刻画命题条件与结论之间的关系；④运用这些概念合理论证和准确表达数学结论．
(3) 知识构建的策略和方法：①归纳与抽象，即通过归纳与抽象发现条件与结论之间的推出关系；②逻辑分析，即通过逻辑分析获得辨析充分条件、必要条件的方法；③集合思想与方法，即借助集合来思考与表达条件与结论之间的关系．
(4) 知识间的联系与结构：从本单元知识的内部看，充分调条件、必要条件、充要条件刻画的都是命题条件与结论的关系，是一个统一的整体；从本单元与前后单元的联系看，集合的概念为深度理解命题条件与结论的关系提供了工具，全称量词、存在量词有助于更准确、严谨的表达命题的条件与结论．
(5) 知识的要点与本质：充分条件、必要条件、充要条件的实质是对命题条件与结论关系的数学刻画，是命题条件与命题结论所对应集合之间存在包含与被包含的关系．
(6) 知识的学科意义与教学价值：在数学知识体系中，数学定义、数学判定定理和性质定理是重要的组成部分，它们都可以用逻辑用语表达．每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件，每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．它们既是学生正确理解数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容的基础，也是培养学生数学抽象素养和逻辑推理素养的极好素材．
基于以上分析，确定本单元的教学重点：充分条件、必要条件、充要条件的概念．
二、单元目标和目标解析
1、目标
(1) 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，理解充分条件与判定定理的关系、必要条件与性质定理的关系、充要条件与数学定义的关系；
(2) 理解推断符号“ ” “ ”的含义，能判断两个简单命题作为条件与结论是否具有充分性、必要性及等价性；
(3) 初步使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养．
2、目标解析
达成上述目标的标志是：
(1) 通过梳理典型的数学命题，知道“命题真假”、“条件和结论之间的关系”、“充分条件”三者之间的关系，能将判断“p是q的充分条件”的问题转化为判断命题“若p，则q”的真假问题，能说明充分条件的意义；建立判定定理与充分条件的联系，能举例说明每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(2) 通过梳理典型的数学命题，知道“命题真假”、“条件和结论之间的关系”、“必要条件”三者之间的关系，能将判断“p是q的必要条件”的问题转化为判断命题“若p，则q”的真假问题，能说明必要条件的意义；建立性质定理与必要条件的联系，能举例说明每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
(3) 通过梳理典型的数学命题，知道“命题真假”、“条件和结论之间的关系”、“充要条件”三者之间的关系，能将判断“p是q的充要条件”的问题转化为判断命题“若p，则q”及其逆命题的真假问题，能说明充要条件的意义；建立数学定义与充要条件的联系，能举例说明每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件．
(4) 能例举数学命题并说明p是q的充分（必要、充要）条件，能从条件与结论关系的视角理解数学命题的内在逻辑，对“言必有据”、“表达的严谨性与准确性”等有新的感悟．
三、教学问题诊断分析
学生在生产生活中对条件的充分性与必要性有一定的感性认识，对数学命题的构成、命题的真假判断也有一定的认识，他们有通过充分条件给出判定定理、通过必要条件给出性质定理的经验，但对其中蕴含的条件与结论之间的关系认识是模糊的．尽管学生容易从字面理解充分条件、必要条件的含义，但具体运用时还是容易混淆．考虑到数学意义上的充分条件、必要条件与日常生活中的“充分”“必要”意义相近，因此应该引导学生从字面理解和把握这两种条件的特征．
学生往往难以理解“若 ，则q是p的必要条件”，因为他们觉得q是结论而不是条件．对此，应揭示条件与结论的相对性，使学生认识到：条件q是结论p成立的必不可少的条件；如果q不成立，则p也不可能成立．
本节课的教学难点是对必要条件的理解．
四、教学过程分析
1.4.1 充分条件与必要条件
(一) 概念引入
引例：若我生活在铜陵，则我生活在安徽．请思考以下问题：
(1) 这个命题的条件和结论分别是什么？
(2) 这个命题的真假？
(3) 请同学们再例举几个命题，并判断其真假？
师生活动：学生独立思考，讨论交流．
教师梳理学生答案，讲解并板书“ ”的含义．
【设计意图】
通过一个严谨但不失生活常识的例子，让学生熟悉命题的构成，并且会通过逻辑推理得出命题的真假，获得命题“若p，则q”为真的等价说法“p q”；问题(3)的设置是为了解学生对初中已有知识的理解程度，以达到指导下面的教学流程的作用．
师生活动：教师展示地图，引导学生初步感受条件与结论间蕴含的集合关系．
【设计意图】
通过地图展示，将命题的“条件”与“结论”视为集合，借助集合来思考与表达条件与结论之间的关系，让学生直观感知．
追问：(1) 生活在铜陵一定生活在安徽吗？
(2) 不在安徽生活能不能在铜陵生活？
师生活动：学生独立思考，讨论交流．教师引导获得上述命题的等价说法，引入“充分条件”“必要条件”概念．
【设计意图】
问题(1)的追问意在让学生了解真命题中条件足以保证结论成立，初步感受到“充分性”；问题(2)让学生感知条件对结论的依赖，从而获得“生活在安徽”是“生活在铜陵”必须具备的条件这一感悟，在数学上我们称之为必要条件，有效突破教学难点，即学生对“必要条件”的理解．
概念教学必须重视生成过程，本节课引入环节预计10分钟，确保学生多角度正确认知“充分条件”“必要条件”，为接下来顺利抽象出概念打下坚实基础．
(二) 概念生成
通过对引例的分析，抽象出“充分条件”“必要条件”的概念．大致流程如下：
师生活动：已有实例作为铺垫，采用提问学生的方式进行．
【设计意图】通过提问带领学生回顾梳理引例中的思考过程，明确“命题‘若p，则q’为真”与“由p推出q”的关系，抽象并生成充分条件、必要条件的概念．用生活化且不失严谨性的语言概括知识点，便于学生理解记忆．
(三) 概念应用
例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1) 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
(2) 若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
(3) 若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4) 若 为无理数，则 为无理数；
(5) 若 ，则 ；
(6) 若 ，则 ．
师生活动：学生判断，教师进行订正给出解答示范．根据解答情况进行以下追问．
追问：(1) 通过命题(1)我们知道“四边形的两组对角分别相等”是“四边形是平行四边形”的一个充分条件．这样的充分条件是否唯一？若不唯一，你能再给出几个不同的充分条件吗？
(2) 这些充分条件都是初中学习的平行四边形的什么定理？
师生活动：学生独立思考，讨论交流．
【设计意图】(1)通过练习熟练掌握利用判定命题真假来判断充分条件的方法；(2)通过典型的数学命题，说明充分条件并不唯一，并初步感受判定定理与充分条件的关系．
例2：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1) 若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
(2) 若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
(3) 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形；
(4) 若 为无理数，则 为无理数；
(5) 若 ，则 ；
(6) 若 ，则 ．
师生活动：同例1．
【设计意图】(1)通过练习熟练掌握利用判定命题真假来判断必要条件的方法；(2)通过典型的数学命题，说明必要条件并不唯一，并初步感受性质定理与必要条件的关系．
(四) 概念深化
对例题中部分命题再次研究，在例1中，教师梳理学生列举的充分条件，点明要点：每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．学生自主从例2中讨论发现，每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
课堂练习：判断下列命题的真假：
1) 两个三角形全等是这两个三角形的面积相等的充分条件；
2) 两个角相等是两个角是对顶角的充分条件；
3) 两个角相等是两个角是对顶角的必要条件．
【设计意图】检验学生对概念的理解情况．
(五) 课堂小结
教师引导学生回顾本节课所学知识，并引导学生回答下面问题：
1) 初步理解充分条件、必要条件的含义；
2) 体会判定定理与充分条件，性质定理与必要条件的联系；
3) 在新的语境下，梳理初中重要的数学知识，提升逻辑推理的学科素养.
【设计意图】梳理、归纳本节课的核心内容和方法．
作业布置：
(1) 课本P20 练习1，2，3；P23综合运用4；
(2) 思考：用“充分条件”或“必要条件”填空
“四边形对角线互相垂直且平分”是“四边形为菱形”的___________________．
【设计意图】作业(1)加深学生对本节课知识的理解；作业(2)通过思考得出不同答案，让学生初步体会p与q的双向推导，为下节课的学习铺垫．
（六）板书设计
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1.4.1 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题，等价于 ， 并称p是q的充分条件， q是p的必要条件． |
多媒体投影区域 |
例1、—————— —————— 每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 例2、—————— —————— 每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 |
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1.4.2 充要条件 如果“p q”，且“q p”， 则称p与q互为充要条件 |
多媒体投影区域 |
学生板演区 |
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
