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视频课题：部编版高中新教材优质课比赛（省赛）数学人教A版必修第一册1.2集合间的基本关系教学
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数学人教A版必修第一册1.2集合间的基本关系教学
1.2集合间的基本关系
一、内容和内容解析
1.内容
集合之间的包含与相等的含义；子集、真子集与空集的概念；集合的Venn图表示．
2.内容解析
本节课是人教版《普通高中教科书数学必修第一册》第一章第2节的内容，是第1节内容的延续，也是第3节学习内容的先行课。集合语言是高中数学的基础语言，通过对集合子集的集合语言描述、符号语言描述和图形语言描述，以及三者之间的转化，学生可以为后续学习函数并用集合语言描述函数提供依据，而子集概念的提出，为函数研究局部（即在函数定义域内的某个子集上）性质，提供了合理而规范的描述。
集合的基本关系涵盖了集合的包含和相等两个重要关系。在判断这两个关系时，回归到了对集合内元素的理解，判断集合的关系，其实就是去判断集合内元素的关系，对于学生深刻理解、辨析属于和包含关系，是有一定帮助的。
符号化是数学语言的基本特质，图形化又可以让语言变得形象和直观，对于本节课，学生不仅要理解包含关系和相等关系的自然语言描述，符号语言描述和图形语言描述，还需要在这三者之间进行相互的转化和贯通，这样不仅有利于数学问题的描述，同时也能不断提高学生概括和抽象素养。
结合以上分析，确定本节课的教学重点：集合间包含与相等的含义和相关语言描述．
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解集合之间的包含与相等的含义；
（2）能识别给定集合的子集，了解空集含义；
（3）能进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言间的转换．
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）会通过观察，得到本节课所要研究的主要问题；能从元素与集合间关系的角度，分析两个集合之间的包含与相等关系，并用自然语言、符号语言、图形语言表示这些关系；
（2）对于具体的集合，能写出集合的子集；能判断一个集合是否是另一个集合的子集；
（3）了解空集的概念，知道空集也是一个集合，以及空集与其他集合的关系．
（4）在具体问题情景中（比如在例题分析和解答过程中），能根据需求进行自然语言、符号语言和图形语言（Venn图）的转换.
三、教学问题诊断分析
学生在初中数学学习中，已经接触过实体的集合，对于数集、点集等有了一定的感性认识.但是从实体集合中抽象出两个集合的概念，对于初学者来说，还是有一定难度的.对于本节课中对于——元素与集合、集合与集合之间关系的符号语言描述的区别，在初学阶段还是需要学生细致对待的.
让学生根据已有的知识，去描述相关的抽象概念，在本节课的内容中的具体体现还是比较多的，尤其是符号语言和图像语言的相互转化，在教学时还是应该过多关注的。再者就是对于空集的理解.本身空集的概念中“不含任何元素”，对于刚学会用列举法和描述法表示集合的学生来说，就是比较抽象的，同时也容易和我们所学习的集合{0}等产生混淆.另外规定空集和其他集合的关系,在理解上，不能一时被学生接受.
本节课的教学难点是集合基本关系的符号语言描述、图形语言描述及转化；对空集的了解．
四、教学过程设计
（一）创设情境，引入概念
创设情境：开学伊始，立德中学的高一新生迎来了自己的高中新生活。学校学生会也在这一个时间点开展了社团的高一学生招新活动。文学社招新初始的报名人数有6人，经过筛选，最终有3位同学获得入选。
思考以下问题：
（1）初始报名的6人能组成集合吗？入选的3位同学是否可以组成集合？
（2）入选的同学记为集合
,初始报名的同学记为
，这两个集合是否有关系？如何研究？
师生活动：学生集体回答教师多媒体上显示的问题（1），再由教师引导学生回答问题（2），有目的的让学生了解研究这个问题的方向。
【设计意图】：通过开学社团招新引入课题，有助于学生把学习知识和生活实际相互联系，同时也容易引起学生的共鸣，提升课堂教学的趣味性，有利于课堂的展开。在过程中，教师手书集合内的元素，有利于学生思考和发现研究集合间基本关系的途径。
问题1：怎样描述刚才两个集合内元素的关系？
问题2：集合
B中的元素都在
A中吗？
知识点1．子集的含义： 一般地，对于两个集合
A,B, 如果集合
A中任意一个元素都是集合
B中的元素，就称集合
A为集合
B的子集，记作
（或“
”），
读作“
A包含于
B”（或“
B包含
A”）．
活动1：学生试着用图形语言描述集合的包含关系,并上黑板展示.
Venn图法描述：
师生活动：教师引导学生从集合中包含的元素角度梳理观察、讨论、分析的结果，抽象概括成数学定义，介绍包含关系，让学生类比用数轴表示数的方式，思考能否用图形表示集合之间的包含关系，并形成结论，最后由教师引入Venn图。
【设计意图】：让学生通过观察，在教师的引导下独立思考，完成对包含关系的理解，自主完成知识点的发现过程，有助于培养学生数学抽象和概括的能力。
（二）深入探究，形成结论
随堂练习1：
在下列各题中，判断集合
A是否是集合
B的子集.
（1）
（2）
（3）
（4）
师生活动：（1）学生自主完成习题，教师请学生回答相应结果，并让学生能够说出自己判断的依据；（2）教师由练习4，让学生回顾在第1节学习时理解的集合相等，让学生思考集合相等和包含关系的联系，让学生试着用符号语言描述集合相等.
【设计意图】：（1）让学生把自行理解的包含关系用于集合包含关系的判断，学以致用；（2）学生通过练习，发现集合的相等关系其实是可以用包含关系来进行描述的，为相等知识点的介绍埋下伏笔.
知识点2．集合相等：
一般地，如果集合
A的任何一个元素都是集合
B中的元素，同时集合
B中的任何一个元素都是集合
A中的元素，那么集合
A和集合
B相等，记作
A=B.
问题3：能否用符号语言描述集合相等？
若
且
，则
.
问题4：能否用Venn图表示集合相等？
师生活动：学生根据提问，自行解决问题，教师从旁引导.
【设计意图】：让学生深刻理解不同语言在数学问题描述中的重要作用，同时学会在这些语言之间进行相互的转化，形成自主探索的能力，培养学生的概括能力和抽象的数学素养.
随堂练习 2
判断下列两个集合中是否相等.
（1）
（2）
师生活动：学生自主完成习题，教师请学生回答相应结果，并让学生能够说出自己判断的依据；
【设计意图】：让学生把自行理解的相等关系用于集合相等的判断，学以致用.
追问：通过集合相等，我们知道一个集合是其本身的子集，那么一个集合的子集只有它本身吗？如果不是，那么这些子集应该是怎样的一种存在呢？
活动2：文学社预备从新社员组成的集合
中挑选社员，组成代表队（用集合表示）参加区作文比赛，不限人数，请同学们提供一份详细的选派方案。
选派方案：
选派一人：
选派两人：
选派三人：
问题5：如果主办方因为人力不可控因素（如突发自然灾害），而取消比赛，则不需要选派选手参加比赛，怎样表示这种情况下的选派集合呢？
知识点3.空集：
一般的，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记为
.
并规定：空集是任何集合的子集.
新选派方案：
不派人：
选派一人：
选派两人：
选派三人：
师生活动：（1）学生通过提示写出相应的选派方案，教师在旁提示：是否可以从选派人员的数目上加以调控;（2）在问题5中，让学生理解空集的相关概念.
【设计意图】：（1）让学生理解写出的选派方案其实就是集合
A的子集，从而学会非空可数集合子集的寻找方式；（2）通过问题5，既可以让学生理解空集的概念，又可以让学生理解空集是任何集合的子集这一个规定.
问题6：这些选派方案中的集合，和原集合
是什么关系？
问题7：在上述所有的子集中如果去掉集合
，剩余的子集和原集合在元素数目上有什么区别？
知识点4.真子集的定义
如果集合
，但存在元素
，且
，就称集合
A是集合
B 的真子集.记作:
⊊B（或
B⊋
A）.读作：
A真包含于
B（
B真包含
A）.
师生活动：学生观察新选派方案，概括出自己看到的集合内元素的特点，总结出对应集合的关系.
【设计意图】：让学生理解真子集的概念，提高抽象素养.
问题8：如果集合
且集合
,能否得到
？
知识点5.子集的性质：
(1)
(2)
师生活动：学生根据提示，和之前学习的集合相等，得到相关结论.
【设计意图】：让学生了解子集的性质.
（三）概念的巩固应用
例1 判断下列各题中的符号使用是否正确.
(1)
(2)
(3)
(4)
师生活动：学生判断，教师给出解答示范．
【设计意图】：检验学生对子集概念的掌握情况，进一步明确判断符号语言在集合表示和关系判断中的作用。
例2.已知集合
，
（1）试一试用数轴表示集合
B；
（2）集合
A可以为空集吗？
（3）若
，求实数
的取值范围．
师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范．
【设计意图】：巩固符号语言和图形语言之间的互相转化．
（四）目标检测：
1．集合
A=｛
x|(
x-3)(
x+2)
=0｝，
B=｛
x|
=0｝，则
A与
B的关系是（ ）．
A．
A⊆
B B．
A=
B C．
A⫋
B D．
B⫋
A
【答案】D
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．
【设计意图】：检验学生对集合和子集的理解．
2．已知集合
A=｛
x|-5＜
x＜2｝，
B=｛
x|2
a-3＜
x＜
a-2｝．
（1）若
a=-1，试判断集合
A，
B之间是否存在子集关系；
（2）若
A⊇
B，求实数
a的取值范围．
【答案】（1）
B是
A的真子集．
（2）
a≥-1．
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．
【设计意图】：这题相对有一定难度，考察学生对于空集的理解，估计很多学生会忽略空集的情况，这也是今后学习时一个重要的考虑情况．
（五）归纳总结、布置作业
教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：
（1）两个集合间的基本关系有哪些？如何判断两个集合间的关系？
（2）你是如何研究集合间基本关系的？
（3）包含关系与属于关系有什么区别？比如{
a}⊆
A与
a∈
A？
【设计意图】：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结．
布置作业：教科书习题1.2第1，2，3，4．
（六）板书设计
（七）教学反思
本节课是在完成集合概念教学的第二节课，主要是研究集合间的基本关系：包含关系和集合相等.在教学过程中，通过对实际生活中例子的讲解和分析，学生通过自主探求，生成了相关知识点，并且能够通过所学，能识别集合间的包含与集合相等关系，也可以用符号语言和图形语言对相关知识点进行精确的描述，达到了预期的教育教学目标.
集合语言是高中的基本语言，通过本节课的学习，为后续学生精确描述教学内容起到了很好的铺垫作用。
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