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视频标签：函数模型的应用
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视频课题：人教A版数学必修1第四章4.5.3函数模型的应用（第2课时）
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人教 A 版数学必修1第四章4.5.3函数模型的应用（第2课时）4.5.3函数模型的应用第2课时
《4.5.3 函数模型的应用（二）》教学设计
一、教材分析
本节课选自人教版普通高中教科书必修第一册第四章第五节《函数的应用（二）》的第二课时《函数模型的应用（二）》。函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。本节课是函数模型应用的第二课时，是在学生学习了函数的概念和性质，学习了幂函数、指数函数、对数函数的综合应用。结合对投资回报和选择奖励模型两个问题的分析，通过比较线性函数、指数函数、对数函数等函数模型增长速度的差异，进一步理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，并依此选择合适的函数模型构建数学模型、刻画现实问题的变化规律。
本节课的学习，从内容上看，是对前面所学习的几种基本初等函数以及函数的性质的综合应用，从思想方法上讲，是对研究函数的方法的进一步巩固和深化，同时，也在为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基础，因此本节内容，既是前面所学函数知识的延续，又是函数模型再次应用学习的基础，起着承前启后的重要作用。
二、教学目标与核心素养
课程目标：通过实例的解决，运用函数解析式、表格、图象，比较一次函数、指数函数以及对数函数模型等的增长，认识它们的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义；在经历运用和选择函数模型解决实际问题的过程中，通过恰当地运用函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），表达实际问题中的函数关系的操作，再次认识函数问题的研究方法。
学科素养：经历建立和运用函数基本模型的过程，初步体验数学建模的基本思想，体会数学的作用与价值，培养分析问题、解决问题的能力，提升学生的数学抽象、数学建模、数学运算等数学核心素养。
三、教材重难点
重点：选择合适的函数类型构建数学模型，体会建立数学模型解决实际问题的一般过程。
难点：如何选择合适的函数类型建立实际问题的数学模型。
四、学情分析
学生在学习本节课之前已经结合实例学习了几类函数的概念、图像和性质以及不同函数的增长差异，并能应用它们解决学科内的一些问题和一些简单的实际问题。但是面对较复杂的实际问题，如何将其转化为数学问题，特别是如何选择函数模型来刻画实际问题，大多数学生既缺乏这方面的经验，也缺乏数学抽象的能力，以及对对不同函数增长差异的深刻认识。
五、教学方法及支持条件
本课教学主要采用启发引导式、自主探究式的教学方法。在教学中要充分利用信息技术的计算、作图、列表等功能，处理实际数据、便捷地求解，可以鼓励学生使用信息技术进行复杂的运算求解，画图列表，多元联系的表示数学对象并分析问题。
六、教学过程
（一）导入新课，提出问题
【教师活动】我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画。本节课我们来研究面临一个实际问题，怎样根据问题的实际条件选择恰当的函数模型来刻画它。请观察图片《我要投资》，简述投资者的迷茫，鼓励学生帮其解决。
【设计意图】体现数学源于生活，用于生活，激发学生的学习兴趣。
（二）分析问题，建立模型
例1（投资回报问题）假如你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问：你会选择哪种投资方式？
问题一：请初步选择一种你认为合适的投资方案。
追问（1）假如你是投资者，当你要选择方案时首先要考虑什么？你认为选择投资方案的标准是什么？
【学生活动】小组讨论并回答：投入资金相同，回报量多者优先。
追问（2）你会如何选择这个方案呢？
【学生活动】同学之间进行讨论，相互交流，各抒己见。
甲同学：……
乙同学：……
丙同学：……
【教师活动】我们的想法是否合理呢？我们需要进一步确认。
【设计意图】直接进入问题的讨论，师生共同探讨得出本题的研究方向。
问题二：你能根据例题提供的三种投资方案的描述，分析出其中的常量、变量及其相互关系，并建立三种投资方案所对应的函数模型吗？
【师生活动】引导审题，抓住关键词“回报”，从解析法角度分析数量关系，建立函数模型。从日回报的角度引导学生根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，同时注意实际问题中函数模型的定义域。.
解：设第 天所得回报是 元，则
方案一可以用函数 进行描述；
方案二可以用函数 进行描述；
方案三可以用函数 进行描述.
【设计意图】指导学生将实际问题转化为数学问题，引发学生思考，经历建立函数模型的过程．
（三）组织探究，感性体验
问题三：三个方案的本质是三个不同的函数模型，如何来比较它们的差异？
【教师活动】三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型.要对其进行比较，先对它的增长情况进行分析. 从函数的表达方式上看：（1）用列表方法来比较；（2）画出函数图象来分析.
【教师活动】为了减轻比较过程中的运算量，教师利用信息技术给出表格和图像。
【学生活动】学生小组分工，合作探究，利用数据表格、函数图象对三种模型进行比较、分析，初步感受直线上升和指数爆炸的意义，初步体验研究函数增长差异的方法．
先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.
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x/天 |
方案一 |
方案二 |
方案三 |
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y/元 |
增加量/元 |
y/元 |
增加量/元 |
y/元 |
增加量/元 |
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1 |
40 |
|
10 |
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0.4 |
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2 |
40 |
0 |
20 |
10 |
0.8 |
0.4 |
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3 |
40 |
0 |
30 |
10 |
1.6 |
0.8 |
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4 |
40 |
0 |
40 |
10 |
3.2 |
1.6 |
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5 |
40 |
0 |
50 |
10 |
6.4 |
3.2 |
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6 |
40 |
0 |
60 |
10 |
12.8 |
6.4 |
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7 |
40 |
0 |
70 |
10 |
25.6 |
12.8 |
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8 |
40 |
0 |
80 |
10 |
51.2 |
25.6 |
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9 |
40 |
0 |
90 |
10 |
102.4 |
51.2 |
|
10 |
40 |
0 |
100 |
10 |
204.8 |
102.4 |
|
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
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30 |
40 |
0 |
300 |
10 |
214748364.8 |
107374182.4 |
追问（1）根据表格中提供的数据，你对三种投资方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
【设计意图】引导学生利用数表对三种模型的增长情况进行分析，借助增加量初步发现当自变量变得很大时，三种模型增长速度的快慢。
追问（2）你能根据图像描述一下这三种方案的特点吗？
作出三个函数的图象.
【设计意图】借助图像直观理解 “直线上升”、“指数爆炸”的实际含义。
【学生活动】学生小组讨论，合作交流。由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的.
从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天方案二最多;第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.
【设计意图】结合表格和图像，通过描述三种方案的特点，为下一个问题埋下伏笔。
（四）深入思考，继续探究
问题四：仅分析每天的回报数就能准确做出选择吗？
追问 根据投资天数作出不同方案的选择，划分天数的标准是什么？这种划分正确吗？
【师生活动】教师可以根据学生的答案，指出要具体到投资的天数，回报的增加量还不足以作为选择投资方案的依据，然后引导学生认识到要做出正确选择，除了考虑每天的收益外，还要考虑一段时间内的累计回报，最后借助计算工具，得出总收益并做出判断。
【学生活动】结合累计回报表，作出投资的选择。
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
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一 |
40 |
80 |
120 |
160 |
200 |
240 |
280 |
320 |
360 |
400 |
440 |
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二 |
10 |
30 |
60 |
100 |
150 |
210 |
180 |
360 |
450 |
550 |
660 |
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三 |
0.4 |
1.2 |
2.8 |
6 |
12.4 |
25.2 |
50.8 |
102 |
204.4 |
409.2 |
818.8 |
投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三.
【注意】累计回报的本质是数列求和问题，由于学生目前的知识储备还不够，现在仅限于通过对函数模型通过列表计算、图象观察来作出判断和选择.
（五）小组交流，阶段小结
1.学生小结，教师概括，增强学生对增长差异的认识．
常数函数（没有增长），直线上升（匀速增长），指数爆炸（急剧增长）。
2.上述问题的解决，是通过考虑其中的数量关系，把它抽象概括成一个函数问题，用解析式、数据表格、图象这三种函数的表达形式来研究的。
【设计意图】分享学生成果，帮助学生总结不同增长的函数模型的增长差异，使学生初步体验数学建模的基本思想，认识函数问题的研究方法。
（六）模型再探，理性分析
例2（选择奖励模型）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 （单位：万元）随销售利润 （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型： ，其中哪个模型能符合公司的要求？
问题一：根据题目条件，你认为应该选择哪个奖励模型才符合公司的要求？
追问（1）公司给出的奖励模型涉及哪几类函数模型？
追问（2）公司提出的要求与函数的什么性质有关？这对选择函数模型有什么帮助？
【学生活动】学生小组讨论，回答问题。教师引导学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况．
追问（3）公司提出的奖励方案有什么要求？
【学生活动】小组讨论，并将实际条件用数学语言进行表达。
【教师活动】引导学生明确问题的目标，使学生得出：在利润位于区间［10,1 000］上，要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过利润的25%进行分析，才能做出正确选择。
【设计意图】意在引导学生关注实际问题的变化规律，并建立与函数性质的联系，为选择合适的模型做好准备。
问题二：函数图像能直观反映函数的性质特征，从而可以直观判断函数模型是否符合公司的要求。为此，你能否作出函数图像，并通过观察作出初步的判断？
【师生活动】类比上题，寻求解决问题的方法。
1.通过信息技术作图，发现增长差异；
2.结合限制条件，初步作出选择；
3.通过计算，进一步确认，验证所得结论；
4.体会对数增长模型的增长特征；
5.揭示函数问题的研究方法（观察—归纳—猜想—证明）。
【教师活动】请结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较。
【学生活动】小组交流，讨论探究。结合图象，进一步认识三个函数模型的增长差异，对问题作出解答．
解：借助信息技术作出函数 的图象.
观察函数图象，在区间［10,1000］上，模型 的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型 的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型 进行奖励时才能符合公司的要求.
【设计意图】意在引导结合函数图像、结合函数性质作出初步判断，再次感受图像的直观作用。
问题三：你能说明选择模型的理由，并给出本题解答吗？
追问（1）函数图像的直观作用一目了然，仅仅通过图像是否可以直接进行判断？你能找出判断的依据吗？
【师生活动】首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万。
对于模型 ，它在区间［10,1000］上递增，而且当 时， ,因此,当 时, ，所以该模型不符合要求；
对于模型 ，由函数图象并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点 满足 ,由于它在区间［10,1 000］上递增，因此当 时， ，所以该模型也不符合要求；
对于模型 ，它在区间［10,1000］上递增，而且当x=1 000时, ，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
【设计意图】通过计算，进一步确认，验证所得结论。
追问（2）对数函数模型是否符合公司奖励方案的第二个要求？
【师生活动】再计算按模型 奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈［10,1 000］时，是否有 成立.
令 ,x∈［10,1000］.利用信息技术作出函数图象，由函数图象可知它是递减的，因此
,即 .
所以当x∈［10,1 000］时，
说明按模型 奖励，奖金不超过利润的25%.
综上所述，模型 确实能符合公司的要求.
【设计意图】让学生在观察和探究的过程中，学会理性分析，能应用函数性质，采用函数观点来解决问题，同时体会对数增长模型的特点：当自变量变得很大时，平缓增长．
【注意】对判断模型 是否满足限制条件“ ”，考虑到学生现在知识储备和接受水平，只能采用了直观教学，通过构造新函数，观察新函数的图象来解决（因为该函数单调性的判定，超出了现阶段学生的认知水平。）
（七）归纳总结，提炼升华
问题：通过本节课的学习，你有哪些收获？
1.知识方面：对函数的性质有了进一步的了解，我们体会到同是增长型函数，但其增长差异却很大：常数函数（没有增长）；一次函数（直线上升）；指数函数（爆炸增长）；对数函数（平缓增长）．
2.方法方面：函数有三种表示方法（解析法、列表法、图象法）；函数问题的一般研究方法（观察—归纳—猜想—证明）
3.思想方面：两个例题都体现了数学建模的思想，即把实际问题数学化。
【设计意图】理解几类不同增长的函数模型的增长差异，提炼数学思想方法，认识数学的应用价值。
（八）布置作业，巩固提高
必做题：习题4.5 第11、12题；
选做题：探究选择奖励模型的最优方案—上述奖励方案实施以后，立刻调动了员工的积极性，但随着时间的推移，又出现了新的问题，员工缺乏创造高销售额的积极性.这个奖励方案有什么弊端？请设计出更合理的奖励模型。
探究题：习题4.5 第14题.
【设计意图】进一步体会函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述，体会数学的应用价值。
（九）板书设计
信息技术演示
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4.5.3函数模型的应用（二）
一、几种常见函数的增长差异
二、数学建模的基本过程
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七、教学反思
本课是《函数模型的应用》第二课时，在导入本课时，利用过渡的语言很好的衔接了上一课的内容，为本课的展开作好了准备，显得自然流畅。本课设计由学生感兴趣的实际问题入手，由此使学生产生浓厚的学习兴趣，投资回报与选择奖励两个问题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异，可以让学生充分认识数学问题来源于实践，提升学生应用数学的能力，在这一过程中感受数学的应用价值，激发他们学习的兴趣和主动性．在教学中，通过学生间互动、师生间互动解决了一个个教学重难点，由于数据繁多复杂，不好处理，因此本节课充分利用信息技术的优势，方便完成了各项计算，尽可能发挥学生的主观能动性，对函数模型作了深入的探究和分析。本课教学学生参与度高，课堂氛围浓厚，学生积极性很高。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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