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视频标签：函数模型,应用实例
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视频课题：高中数学教A版必修一3.2.2函数模型的应用实例_北京
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高中数学教A版必修一3.2.2函数模型的应用实例_北京市日坛中学
教学基本信息
课题
函数模型的应用实例
是否属于
地方课程或校本课程 否
学科 数学 学段： 高中
年级
高一
相关 领域
函数建模
教材
书名：普通高中课程标准实验教科书 数学1出版社： 人民教育出版社
指导思想与理论依据
1、 指导思想
《普通高中数学课程标准》在“课程的基本理念”部分指出：
发展学生的数学应用意识.通过三个经济问题，学生体会财经素养是最大的财富，经历“数学建模”的过程，总结函数建模的方法.
注重信息技术与数学课程的整合.本节课学生使用CASIO图形计算器进行函数拟合. 2、理论依据
本节课的理论依据是建构主义学习理论.
建构主义学习理论强调以学生为中心，认为学生是认知的主体，教学活动的积极参与者、是知识意义的主动建构者.本节课在建构主义学习理论的指导下，教师通过创设符合教学内容要求的情景和提示新旧知识之间联系的线索，帮助学生建构新知识的意义；尽可能组织协作学习，展开讨论和交流，并对协作学习过程进行引导，使之朝有利于意义建构的方向发展.
2
教学背景分析
1、学习内容分析
本节课内容出自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修(A版)》中第三章“函数的应用”3.2.2《函数模型的应用实例》.
本节课是对基本初等函数性质的延续和发展，同时总结了一些函数建模的方法：配对比较、函数拟合、构造新函数等，为以后的函数建模奠定了基础.函数拟合要求学生能够对现实情境中收集的数据进行观察分析，选择较为接近的函数模型，结合实际问题比较模型的优劣，最后应用所选择的模型解决实际问题.函数建模的方法和函数拟合的思想在现实生活中的应用非常广泛. 2、学情分析
（1）学生具备的认知基础：
①一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的图像和性质； ②数、式、形三者相互转化的初步意识；
③会利用图形计算器进行基本初等函数的函数拟合. （2）学生欠缺的知识和能力：
①专业术语：比如整存整取、基准利率、通货膨胀率等； ②判断实际问题应该选用的函数模型和解决方法. 学生能够应用图形计算器解决简单的数学问题。通过课前的问卷调查，从数据反映出来的状况如图所示：
调查发现，我所授课两个班的52名学生，35个学生（67.3%）能寻找到变量间确定的数量关系；42个学生（80.8%）第一题正确，有了初步的模型积累，能够调用已有知识和现实问题对接；17个学生（32.7%）第二题全部正确，能够比较灵活地进行三种语言的转换；30个学生（57.7%）对应用题有畏难心理. 3、前期教学状况、问题、对策
前期教学的状况是：学生积累了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数模型，但不能有效对接具体情境；学生在专业术语、抽象符号、数学公式的解释、三种语言的转换、需要归纳和类比的内容等方面存在着阅读障碍.
67.30%
80.80%
32.70%
57.70%
数量关系模型积累语言转换畏难心理
3
阅读障碍以及对策
阅读障碍
对策
专业术语 数学抽象符号 数学公式的解释 举例说明 由具体到抽象 由特殊到一般 三种语言的转换 列举、图、表 需要归纳和类比的内容
模型积累
4、教学方式：启发式.
5、教学手段：学习工作纸、ppt、图形计算器.
6、技术准备：多媒体设备、CASIO fx－CG20图形计算器.
借助图形计算器的做图功能，可以直观的反映数据之间的关系；快速计算基本初等函数拟合的残差平方和、相关系数等参数，为选择合理函数模型提供依据.
教学目标(内容框架)
根据课程标准，基于上述分析，我确定本课时教学目标如下： 知识与技能：
1、 选择合理的模型表达变量间的数量关系； 2、 会用函数拟合的方法解决实际问题；
3、 尝试根据散点图的特征构造新函数，解决实际问题.
过程与方法：经历将实际问题转化为数学问题的过程，体会配对比较、函数拟合等函数建模的方法.
情感态度与价值观：体会函数建模在经济生活中的应用价值. 根据教学内容解析和学情分析，我确定本节课的教学重点和难点如下： 教学重点：利用函数拟合的方法解决实际问题. 教学难点：构造新函数，设计相应的拟合方案. 突破难点的关键在于对散点图的图形特征的观察.
教学过程(文字描述)
教学流程图
配对比较 函数拟合
基本初等函数拟合
构造新函数拟合
总结提升
4
下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明. （一）教育储蓄
例1：你的父母为你储蓄一笔大学教育资金，第三年末取出.一年期整存整取的定期年利率为1.5%，三年期整存整取的定期年利率为2.75%.假设央行现行基准利率不变.现有二种方案供你选择：
方案一：选择一年期整存整取，每年的年末将本金和利息取出后，马上将之做为本金全部存入银行.依次类推，直至第三年末；
方案二：选择三年期整存整取． 请问哪种投资方案好？
预设学生活动1：本息合计多的方案好； 预设学生活动2：资金提取灵活的方案好.
解释：整存整取、三年期整存整取.
比较：哪种方案好？若从本息合计多的角度考虑，结果如下表所示，
配对比较：
方案1对应的函数模型是指数型函数，其增长方式为指数爆炸；方案2对应的函数模型是一次函数，其增长方式为直线上升.
评价：这两种储蓄方式对现实生活的启示？
【设计意图】建立模型时，如果能够寻找到变量间的确定的数量关系，那么调用模
型积累，进行配对比较.
（二）美国宏观经济
家庭财富的增长除了合理决策之外，还和国家的宏观经济形势息息相关.市场经济发达的美国，它的宏观经济情况如何呢？
例2：美国1999—2008年的通货膨胀率和联邦基准利率如下表所示： 通货膨胀率% 4.13 4.86 1.90 2.20 1.77 1.81 4.06 3.96 4.31 1.07 美国联邦基准利率%
4.97
6.24
1.49
1.67
1.13
1.35
3.22
4.67
5.02
1.02
建立一个能基本反映这一时期内，美国联邦基准利率随美国通货膨胀率变化的函数模型. 解释：什么叫通货膨胀率上升？
本息合计
第一年末
第二年末
第三年末 方案1 1+1.5%
2
1+1.5%
3
1+1.5%1.045
方案2
1+2.75%3=1.081
5
师生交流：
学生发现，和例1相比，数据没有规律，寻找不到确定的变量间的数量关系，很难进行配对比较，因此对这个实际问题进行函数拟合.
拟合（小组合作）：
预设学生活动1：利用图形计算器画出散点图，使用三次函数进行拟合；
预设学生活动2：利用图形计算器画出散点图，使用二次函数进行拟合；
预设学生活动3：利用图形计算器画出散点图，使用指数型函数进行拟合；
对比残差平方和以及相关系数： 函数
参数
三次函数
二次函数
指数型函数
残差平方和（MSe） 0.30 0.26 0.01 相关系数2
0.94
0.94
0.96
残差平方和（MSe）：只有指数函数进行拟合时的残差平方和约为0.01，其他函数拟合的残差平方和均大于0.25；
猜想：发现在1999—2008年间，随着美国通货膨胀率增长，联邦基准利率也随之提高.这是一般的经济现象吗？
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印证：实际上这组数据经过了一定程度的美化.国家宏观调控不可能只受单一因素的影响.来看从1960年至今的情况.其中，绿线可以代表美国通货膨胀率，粉线可以代表美国联邦基准利率.
解释：你能解释美国通货膨胀率增长，联邦基准利率也随之提高这一经济现象吗？ 通货膨胀率增加→流通环节的货币增加→提高基准利率→存贷款双向控制. 迁移：这种经济现象对我们国家和家庭的有什么借鉴意义？
【设计意图】
1、根据数据画出散点图进行观察分析，选择较为接近的函数模型，比较模型的优劣，应用所选择的模型解决实际问题.
2、感受数学模型可以对国家宏观经济调控的作用.
（三）预测手机销量
若干年后, 我们从“小储蓄”发展成了“大投资”，我们拥有了自己的公司，你能用今天学到的方法解决你公司里的一个问题吗？
例3：随着通讯技术的发展和社会交流的扩大，人们对手机的需求量也与日俱增．公司在第一年的手机销售量(单位: 十万台)如下，试预测公司在第二年5月份的手机销售量. 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 0.83
0.97
0.11
0.81
2.29
2.11
1.37
2.38
3.7
3.23
2.7
3.96
尝试拟合：
预设学生活动1：利用图形计算器画出散点图，使用正弦函数进行拟合；
预设学生活动2：利用图形计算器画出散点图，使用对数函数进行拟合；
预设学生活动3：利用图形计算器画出散点图，使用一次函数进行拟合；
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做出散点图，从图中可以看出散点图呈现一种规律，一方面直线上升(一次递增函数) ，另一方面呈现波折形态(正弦函数型)，图形计算器现有的拟合函数都是基本初等函数，无法进行拟合。
构造新函数：经过讨论，巧妙地用构造了一个递增的一次函数和一个正弦型曲线的叠加. 预设学生活动1：一次函数与正弦函数的叠加； 预设学生活动2：对数函数与正弦函数的叠加. 设计方案：
第一步：对数据进行一次函数拟合，得到拟合函数1()0.300069930.08787878fxx； 第二步：做出原数据与一次函数的差，作为一组新的数据；
月份 台数（十万） 一次函数值 差值
1 0.83 0.38794871 0.44205129 2 0.97 0.68801864 0.28198136 3 0.11 0.98808857 -0.87808857 4 0.81 1.2881585 -0.4781585 5 2.29 1.58822843 0.70177157 6 2.11 1.88829836 0.22170164 7 1.37 2.18836829 -0.81836829 8 2.38 2.48843822 -0.10843822 9 3.7 2.78850815 0.91149185 10 3.23 3.08857808 0.14142192 11 2.7 3.38864801 -0.68864801 12 3.96 3.68871794 0.27128206
第三步：对新的数据利用正弦函数拟合，得到拟合函数
2()0.80169104sin(1.653562920.7917025)0.021933fxx ；
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第四步：检验新函数12()()()fxfxfx与散点图的拟合情况.
预测：当17x的函数值(17)f，从而为公司的扩大生产提供依据.可以利用这个模型和方法解决实际问题中的有关季节性的产品销售问题.
【设计意图】
1、根据散点图呈现的特征构造新函数，设计方案进行函数拟合. 2、体会函数拟合对生产生活的预测作用.
（四）总结提升
回顾这节课的研究方法？今天学习的的研究方法能解决哪些身边的实际问题？
函数建模
配对比较
构造新函数 函数拟合
式
形
数
函数表示
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函数拟合的基本过程
【设计意图】让学生回顾本节课所学内容以及研究方法，有利于学生系统地掌握所学内容，有利于体会各种研究数学的方法之间的区别和联系.
结束语：
有人测算过，在2004年1月投资1元国库券，那么逐月翻滚，到2014年12月，这1元将变成1.5元.如果把这1元投资股市，例如，购买深证指数，那么逐月翻滚11年，这1元将变成2.9元.但是如果有人掌握这11年的完全信息，而对这两种证券逐月作最优组合，那么这1元将变成多少? 答案是了1251643，超过100万元！从1元到100万元是正确的决策可能活动的广阔天地，这也是数学模型的广阔天地！ （五）作业
从下列两个实习任务中任选一个：
1、记录一周的天气预报，列出每天的最高气温，建立一个能基本反映这一时期内最高气温的函数模型.
2、测量自己一周内每天中午12:16的影子长度，你能发现什么？并建立一个能基本反映影子长度的函数模型.
【设计意图】
作业采用开放性的问题，学生通过这节课的学习能够应用所学到的知识发现和解决
实际的问题，发展学生的数学应用意识，激发学生学习数学的兴趣，也有利于扩展学生
是 否
收集数据
画散点图 选择函数模型
拟合 检验
解决问题
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的视野，提高实践能力.
学习效果评价设计
评价方式
通过观察，对学生学习过程进行评价，包括学习态度、参与小组合作学习的积极程度（是否能积极进行思考、表达自己的想法、倾听别人的想法并提出意见和建议）、能否理解并有条理地表达数学内容. 评价量规: 评价标准 评价内容
非常好 比较好 一般 不太好 不好
学习态度
注意力非常集
中，非常主动、积极地参与到教学活动中 注意力比较集中，很主动、
积极地参与到教学活动中 注意力基本能集中，能主动、积极地参与到教学活动中 注意力不太集中，被动地参与任何教学活动
注意力不集中，不参与任何教学活动
独立思考
对于老师提出的问题积极进行思考，并表
达自己的想法，还能提出问题 对于老师提出的问题积极进行思考，并愿意表达自己的想法
对于老师提出的问题进行思考，但不愿表达自己的想法
对于老师提出的问题进行思
考，没有想法 对于老师提出的问题不进行
思考
参与小组讨论 非常积极地组
织并主动参与
小组讨论 主动参与小组讨论
能参与小组讨论
在小组讨论中只听被人说，自己不思考
不参与小组讨论
表达数学内容 理解并有条理
地表达数学内
容
理解并能用自己的语言表达数学内容 明白数学内容但表达的不清晰
对数学内容不十分清楚，表达不出 不愿表达数学内容
自我反思
习惯对自己的
学习中的情况进行反思
经常对自己的学习中的情况进行反思
对自己的学习中的情况能进行反思
很少对自己的学习中的情况进行反思
不对自己的学习中的情况进行反思
教学设计特色说明与教学反思(300-500字数)
教学设计特色说明
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（1）感受数学模型的应用价值
学生感受到函数的广泛应用，真实体验到数学模型对实际生活的作用：小到家庭储蓄，大到宏观调控，近到国内市场，远到美国通胀，使得建模的结果有一定的实际意义，体现新课程的问题性、应用性特点，提升学生的财经素养.
（2）关注学生发展
创设了自主探索、动手实践、小组合作交流等多种学习活动方式，使学生获得比较完整的学习经历，培养学生“能表达”、“会表达”，发展学生“做数学”、“用数学”的意识，关注了学生的发展，拓展学生数学活动的空间.
教学反思
本节课利用问题引领思维，充分暴露学生的思维过程，采用了抓住关键词展开联想进行转化，借助直观图像帮助思考等思维策略.每个题目都以数据和现象→研究→结论→借鉴的线索贯穿.总结了函数建模的常见方法，归纳了函数拟合的一般步骤，尝试利用数、式、形三种不同的形式进行数学表达.数学建模是高中阶段重要的数学素养，仍需要学生不断感悟和积累才能逐步提升的.如何帮助学生更好提升数学建模能力将是我继续思考和探索的方向.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
