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视频课题：人教A版高中数学必修一第三章《探究活动—基于实际问题建立函数模型》福建
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第三章《探究活动—基于实际问题建立函数模型》福建省泉州第一中学
《探究活动—基于实际问题建立函数模型》教学设计
一、教材分析
《普通高中数学课程标准(2017年版)》要求每名高中学生应具有实践创新意识,要善于发现问题和提出问题,有解决问题的兴趣和热情；要能依据特定情境和具体条件,选择制订合理的解决方案。数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程。是基本数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容。
在2017版课程标准里，必修课程的主题五和选择性必修课程的主题四中，都增加了数学建模活动与数学探究活动共10课时。
在内容上要求在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题；要求学生完成一个课题研究，可以是数学建模的课题研究，也可以是数学探究的课题研究。
在学业上学生要求经历数学建模活动与数学探究活动的全过程，整理资料，撰写研究报告或小论文，并进行报告、交流。研究报告或小论文及其评价应存入学生个人学习档案，为大学招生提供参考和依据。
本节课从实际背景出发，让学生亲自经历提出问题、建构模型、应用数学知识运算得到数学结果，反复检验得到符合实际的结果这样一个数学建模过程，培养学生数学建模素养。
GeoGebra软件、人人通空间提供了很好的探究平台，有利于提高学生的自我探究和交流合作能力。 二、目标分析 1.学情分析
从学生的心理特征来看，高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段，而且思维逐步地从感性思维过渡到理性思维，并由此向逻辑思维发展，但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱。从学生的认知结构来看，学生在初中时已经学过简单的一次函数拟合问题，在前面学习了几类不同增长的函数模型，会用给定的函数模型解决问题，但是缺乏根据实际问题建构函数模型的能力。 2.教学目标
（1）进一步学习数学建模的基本过程过程：提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型。培养学生的数学建模素养；
（2）通过小组交流汇报的形式展示数学建模过程，让学生体会数学建模思想，培养学生的数学表达能力； （3）创设问题情境、组织讨论交流提高学生参与学习的热情，通过小组合作学习方式，培养学生的合作意识和合作学习的能力，发展学生的创新意识和实践能力。 3.重点﹑难点
教学重点：函数模型的建立。
2
教学难点：函数模型的建立及解释。 三、教法与学法 1.教学方法
根据本节课的内容及学生的实际水平，尝试运用问题教学法、探究式教学法进行教学，教师在课堂中起主导作用，力图通过提出问题、思考问题、解决问题的过程，让学生积极地探究问题的解决方法，并且加入激励性的语言以提高学生的积极性，促进学生参与知识形成的全过程。 2.学习方法
根据学生的实际情况和要达到的教学目标,在教学过程中，设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，合作交流。整个过程学生处于主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中。
3.教学用具 GeoGebra软件 多媒体 人人通空间等 四．过程设计：
结合教材知识内容和教学目标，本课分为以下四个教学环节：
生成问题 设置情境
展示成果 合作探究
拓展应用
动手实践
总结提升
课堂回顾
3
教学环节 师生活动
设计意图及目标 （一） 设置情境 生成问题
幻灯片:第十八届世界中学生运动会将于2020年10月在福建晋江举
行。始办于1974年的世界中学生运动会是一场全世界中学生体育和文化交流的盛会，迄今已举办过16届。国际中体联选择晋江，既显示了对中国经济稳步发展、社会持续进步的信心，也是对中国青少
年体育事业发展一次高度肯定。目前，晋江市全力以赴筹办世中运，场馆建设总投资36亿元，预计于2020年3月完工，并将于当年6月举行测试赛。而建筑中有很多问题与数学是分不开的。 幻灯片：建筑工地为了施工需要，常常在脚手架之间搭上木板，如下图所示。为了保证工人的安全，就需要考虑木板所能承受的最大重量。
教师提问：木板的承受重量会与哪些因素有关呢？
师生一起分析得到：木板的宽度，长度,厚度，材料，所承受重量的重心位置，脚手架的牢固程度等。
教师简化问题：在这里，我们只研究承受重量P与木板的的宽度w，长度d，厚度t这三个量之间的关系。如果你是技术顾问，要指导我去收集数据，该怎么做？（引出控制变量法）。 经测试，得到以下的数据资料：
第一组数据图表：（固定d＝10，t=2）
木板的宽度w 1 2 3 4 5 6 最大承受重量P
27
53
80
107
133
160
第二组数据图表：（固定d＝10，w＝3 ）
木板的厚度t 1 2 3 4 5 6 最大承受重量P
20
80 180
320
500
720
（1）本问题情境可以激发学生
的爱国爱乡热情，体现立德树人的教育根本任务。
（2）让学生亲近数学，感受到数学就在他们的周围，强化学生的感性认识，从而达到学生对数学的理解。让学生感受到数学就在我们身边，让学生学会用数学的眼光去关注生活。
4
（二） 合作探究 展示成果
教师活动：把学生分组，教师对个别小组进行适当调节尽量使每组都有分析能力、计算能力、表达能力强及运用计算器比较熟练的学
生各一名。先解决第一组关系：最大承受重量P与木板的宽度w的关系： 学生思考以下问题：
思考1：为了获得合适的函数模型，首先要如何处理数据？
思考2：你决定采用哪一个函数模型，你的依据是什么？
思考3：你得到的函数模型的解析式是什么？
思考4：根据你获得的函数模型，请解释在木板的厚度t和长度d不
变的情况下，采取什么样的措施可以增大木板的最大承受重量P？
学生合作交流，教师巡视观察各组进展，对个别小组进行指导。
课堂预设：由散点图并比较已经学过的函数图像的图像（如图1），
学生比较容易选择一次函数模型b
mxy
图1
第二组关系：最大承受重量P与木板的厚度t的关系：
思考1：类比之前的探究过程，你得到的函数模型的解析式是什么？ 思考2：你得到的函数模型的解析式是什么？
课堂预设：让学生逐一解决问题。由散点图并比较已经学过的函数图像的图像（如图2），学生可能选择的函数模型比较多，可能会有：二次函数、指数函数、幂函数。 当学生展示完结果，教师提问：
思考2：根据同一个散点图，选择的函数模型可能不同，得到的模型解析式也就不同，那么到底谁对谁错呢？如何判断不同函数模型的优劣？
（1）本题题目较繁较难，若
学生单独完成有一定的困难，通过分组合作探究来突破难点。
（2）通过分组合作，可以培
养学生的合作交流力，符合新
课程的基本理念。
（3）通过提出问题、思考问
题、解决问题来分散难点，突
破难点。
（1）让学生感受建立函数模型的基本过程。
（2）发展学生的数学能力，特别是数学应用能力，提高学生观察与理解实际问题的能力。
（3）培养学生观察、分析、探索、合作交流的能力。
（一） 设置情境 生成问题
第三组数据图表：（固定w＝3，t＝2）
木板的长度d 1 2 3 4 5 6 最大承受重P
800
400
267
200
160
133
提出问题：根据以上数据资料，分别建立最大承受重量P与木板的宽度w的函数关系，最大承受重量P与木板的厚度t的函数关系，最大承受重量P与木板的长度d的函数关系
5
（二） 合作探究 成果展示
图2
这个问题对于学生来讲比较困难。教师引导学生进行分析。 学情预设：
采用如下的判断方法：设散点图上的点为
,相应的函数图像的点为，则表示点与点在y轴方向上的距离，即该散点在y轴方向上到函数
图象的距离（如图三），记，则越小表示散点在y轴方向上到函数图像的距离之和越小，表明拟合程度越好。 老师小结，引出相关指数2R来刻画拟合效果：
2
2
12
1
1n
i
i
in
ii
iy
yR
yy
，2R越大，拟合效果越好。
引导学生进一步算出所选函数模型对应的相关指数，从而选择最优模型。 思考3：根据获得的函数模型，请解释在木板的宽度w和长度d不变的情况下，采取什么样的措施可以增大木板的最大承受重量P？ 第三组关系：最大承受重量P与木板的长度d的关系： 由于前面问题的解决，学生依据以下问题自行合作探究：
思考1：类比之前的探究过程，你得到的函数模型的解析式是什么？
其相关指数R2
是多少？
学情预设：学生根据散点图，可能会选择指数函数，对数函数，幂函数，二次函数等函数模型。
思考2：根据获得的函数模型，请解释在木板的宽度w和厚度t不变的情况下，采取什么样的措施可以增大木板的最大承受重量P？ 学生展示成果，并选择较好的模型。
（1）让学生理解检验函数模型的重要性及如何检验。
（2）让学生在对比交流中发现不足，自我完善。
)
,(),(),,(),,(332211nnyxyxyxyx)
,(),(),,(),,('
'
33'
22'
11nnyxyxyxyxn
n
yy
)
,
(nnyx)
,
('
nnyx''2
2
'
1
1n
n
y
y
y
y
yyR
R
6
（二）
合作探究 成果展示
进一步探究：
思考1：根据以上的探究过程，能否建立一个P与w、d、t的函数模型？它可能具有什么样形式的表达式？ 学情预设：（1）1(()()())
3
PPwPtPd
；
（2）3
()()()
P
PwPtPd
；
（3）()()()
P
PwPtPd；
（4）2
wtP
k
d
。
思考2：由以上函数模型及关系式，如果你是技术顾问,要保证工人的安全，增大木板的最大承受重量，你觉得可以采取哪些措施？
（1）进一步研究P与w、t、d之间的关系，进一步解释事物间的本质。
（2）进一步体会函数模型的
应用价值。
（三） 课堂回顾 总结提升
1.你能总结出建立实际问题的函数模型的一般过程吗？ 教师引导得出：
2.对函数模型的理解
（1）由于受到各种因素（比如测量过程、材料、木板制造工艺等）影响，我们的得到的函数模型不可避免的存在误差，我们只能尽量减小误差，选择最优模型。
（2）在实际生活中，影响木板最大承受重量的因素不止这三个，所以我们是在比较理想的状态下考虑这个问题的，这只是一个近似模型。
（3）目前我们可以选择的函数模型还是比较简单的，以后当我们学到更多的函数时，会有更多的考虑方向，模型的形成也就更复杂，应用也就更广泛。
（1）体会数学建模的意义：源于生活，用于生活。 （2）通过师生共同总结，使本课内容进一步深化，使学生的思维得到升化。
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（四） 动手实践 拓展应用
1、查阅资料，建立模型 党的十九大提出：
——到2020年全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标； ——到2035年基本实现社会主义现代化；
——到本世纪中叶全面建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国。
请你查阅资料，获取2010年—2018年我国GDP数据，建立一个合适的模型，预测一下2020年我国的GDP。 2、动手实践，建立模型
观察一下身边的烟道、铁门、广告牌等，是否用到各种弯管？ 制作这类弯管时，通常先在平面材料上剪裁出展开图，再合拢、 拼接出弯管。我们将要动手制作如图（1）所示的圆柱弯管。 准备好一个薯片罐，安装GeoGebra的平板。
图（1） 图（2）
斜截薯片罐一分为二，要确保斜截面是平面。可以将斜截面置于桌面来检验，若截口与桌面没有空隙则为平面。
把其中一个斜截圆柱的侧面剪开并摊平，如图（2）所示。 要画出这个斜截圆柱的侧面展开图，关键在于截口轮廓线， 也就是图（2）中的曲线 A1BCDA1'。
猜测曲线 A1BCDA1'是什么曲线？并建立其函数模型。
（1）本问题情境可以激发学生的爱国热情，体现立德树人的教育根本任务。
（2）由课堂延伸到课外，增强学生的探究能力。
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五．说明：
本节课是应用课，因此本节课的重点难点都是：根据实际问题，建构函数模型；初步掌握函数拟合的方法。这节课对培养学生解决实际问题的能力有重要作用。
本节课从生活中的实际问题引入，一下子就吸引了学生的注意力。然后，通过引导学生对问题解决的探索，使学生体会到解决实际问题的方法，学会揭示规律。本节课不但让学生大胆探索，老师也注意了适时的点拨、总结，使知识系统化、理论化，使学生对知识的理解得到深化。最后师生共同总结，并画出了根据实际问题建立函数模型的基本过程结构图，使学生对知识的掌握得到进一步的升华。
本节课充分借助了GeoGebra的数学功能，人人通空间良好的交互展示能力，灵活的学习领域，为学生提供了一个很好的探究平台。技术的介入可以为学生创设探究学习的情境，更是学生发现知识、探究知识和表达观点的有力工具。学生通过自主探究和合作交流，不断提出问题解决问题，这样的教学方式真正体现了学生的主体地位，不但可以提高教学效果，还可以增强学生学习数学的兴趣和成就感，培养他们的创新意识和能力，这在没有技术的教学中将是难以实现的。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
