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视频标签：建立函数模型,解决实际问题
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视频课题：高三数学一轮复习课A版必修一3.2.2建立函数模型解决实际问题（复习课）湖北省优课
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高中数学教A版必修一3.2.2建立函数模型解决实际问题（复习课）湖北省优课
课题：建立函数模型解决实际问题（复习课）
一、教学设计
1.教学内容解析
本节课是普通高中课程标准实验教科书·数学必修1（人民教育出版社A版），3.2.2 函数模型的应用实例.（高三复习课），属于“事实性知识”,“函数模型的应用实例”是《函数的应用》这一章的核心内容，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽．
本节课是学习完几类基本初等函数及函数图像、函数与方程的延续和发展，同时又对学习的函数的图像、性质的一个总结． 它要求学生能够对现实情境中采集的信息借助观察分析，选择恰当的函数模型，结合实际问题解模，这种建立函数模型，刻画现实问题的基本方法是学生必须掌握的，函数建模的方法与思想在现实生活中的应用是非常广泛并且及其重要的.它的出现既强化了学生应用数学的意识，提高了学生应用数学的能力又让学生感受到达到目标并不是一帆风顺的，需要我们有不怕挫折，勇于探索、不断尝试的精神及较强的团队意识．
本节考纲要求①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
教学重点：实现实际问题转化为函数模型；然后解决实际问题，达成认知结构的形成、知识要点的梳理和知识体系的建构以及与相关知识的联系．
2.学生学情诊断
（1）学生具备的认知基础：①基本初等函数的图像和性质;②数与形相结合转化的意识;③初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程．
（2）学生欠缺的实际能力：①数与形转化的意识还不够强;②从实际问题中抽象出数学问题的能力;③实际问题背景下解决数学问题的熟练程度不够．
（3）本节课为高三复习课．虽然教材内容为几种函数增长模型的比较与函数模型应用举例，但作为高三第一轮复习课，函数模型不一定局限于高一所学过的幂指对三种，其他章节也都出现过建立函数模型的应用问题．比如数列，不等式，三角函数，导数等．但一节课要想把所有的函数模型都复习到是不现实的．因此只能以一些典型模型为载体，复习建立函数模型解决实际问题的基本方法，让学生在问题情境中加深对建模应用问题的理解．
教学难点：对问题背景信息进行整合，建立最佳函数模型解决实际问题，然后通过分析对实际问题进行反馈．
3．教学标准设置
（1）通过实例探究，学生能将有关知识要点有机地联系在一起，能综合运用所学知识解决实际问题；（2）学生能根据实际问题建立恰当的数学模型，能应用数学建模的思想方法解决实际问题； （3）学生会采用题中抽知的方式梳理相关知识点，能系统地列出本节内容的特点；
（4）能根据图象和表格等提供的有关信息和数据，建立函数模型，将实际问题抽象为数学问题．
4.教学策略分析
在设定教学目标后基于对教学内容和学生情况的分析，为解决问题采用了如下教学策略．
教学理念 ①倡导积极主动、勇于探索、不怕挫折的学习精神和合作探究的学习方式;②营造一个生
动和谐充满人文关怀的教学氛围;③追求合作探究与数学课程有机整合的高效课堂;
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教学方法设计
任务驱动教学法（自主探究、合作交流、分享评价） （1）从教与学的现实出发，为了使得数学建模的开放性更大些，探究性更强些，设计了学生合作探究、提出建立解决问题的基本模型的方案． “课标”要求我们教师对待教材，不单单是课程的消费者和执行者，而应该是课程的策划者和设计者，我对课堂例题进行了精心设计，使得教学内容更加贴近学生，更显真实． （2）根据教学内容的特点和对学生情况分析，从学生原有的知识基础和实际能力出发，以任务驱动、问题引导为主线，以学生探究为载体，利用主动观察、思考、动手操作、小组合作、分享评价等形式来组织教学，努力营造一个合作学习、共同探究、展示成果、愉悦学习的舞台． （3）在教学过程中对基础较弱的同学进行指导，并请组内同学给予帮助指导．经历了整个建模过程后，给学生当堂练习的机会，及时反馈评价．并留下新的问题课后探究，让学生带着问题走进课堂，带着新的问题离开课堂．同时又给学有余力的学生提供继续学习的平台. 教学流程：
创设情境，引出课题
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例题解析，触类旁通
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归纳小结，感悟收获
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课后思考，自主探究
二、课堂实录
1．情景引入
引人：展示图片
师：我们来看屏幕，这是谁啊？ 生：莫言.
师：莫言是2012年诺贝尔文学奖获得者，莫言的文学成就令人感慨，但是很多人比较关系的是什么？
生：钱．
师：诺贝尔奖金到底有多少呢？大家猜一猜． 生： „„
师：曾经传言，诺贝尔奖金高达1000万人民币，你怎么看，我们通过历史资料，可以知道，诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，要知道诺贝尔奖金有多少，就要用到我们所学过的什么问题？
生：函数.
师：这就是我们这节课要复习的函数的模型及其应用．
2．实例探究
例1：诺贝尔奖每年发放奖金的总金额是基金在一年获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保
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证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝5.42%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，„，依次类推)．(1)请写出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上传闻“莫言获奖奖金高达1000万元人民币”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.027112＝1.4)
师：请各个小组讨论下，我们该如何解决这个问题呢？ 生：建立函数模型． 小组探究 „„ 学生回答，教师板书
【评析】以实际问题为载体，给出新信息情境，要求学生联系已学过的函数模型分析和解决问题，意在培养学生的阅读理解能力和知识的迁移能力．
例2：李强大学毕业后决定自主创业，开了一家电子产品专卖店，他代理了一款苹果牌平板电脑．其进价2600元，零售价定为3000元时每月可卖出120台． 李强经过网络调查发现，定价每降低50元，月销量可增加30台．李强应该怎样定价，才可以使得利润最大？ （先让学生积极思考，再提问回答）
师：我们应该通过什么方式解决这个实际问题呢？ 生：把利润的函数表示出来，再求它的最大值． 师：也就是说，把实际问题先转化成什么？ 生：二次函数模型． 师：具体怎么操作？
生：先设降价50 x元，利润为y元．则y=(400－50x)(120＋30x)＝－1500(x－2)2＋54000. 师：完了吗？
生：还有定义域，0≤x≤8
师：这位同学通过建立二次函数模型，把实际问题转化成了一个二次函数最值问题，接下来呢？ 生：配方，求它的最值．x=2时y取最大值. 师：完了吗？
生：再求出定价．即定价为2900元时利润最大．
师：刚才这位同学设降价50x元，建立二次函数模型．有没有其他的解法呢？ 生：还可以设定价x元，一样可以得到一个二次函数模型． 生：也可以设降价x元„„
师：我们发现，即使是同一个问题，建立模型的方法可能不止一种，所以怎样设未知数怎样建模非常关键，这直接影响到模型求解的难度．
【评析】组织学生主动地探求、同伴间合作交流，有利于学生自觉地将所学的知识用于解决实际的问题，增强学生的应用意识．
例3：李强所在的城市实施了阶梯电价，具体电价表如下：
用电价格表
月用电量 （单位：千瓦时） 电价
（单位：元/千瓦时）
100及以下的部分 0.5 超过100至300的部分 0.6 超过300的部分
0.8
如果李强的专卖店8月份用电320千瓦时，则他应付电费多少元？ 师：阶梯电价是我们生活中很常见的问题，该问题如何计算？
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生：100×0.5＋200×0.6＋20×0.8＝186元
师：如果用电量记为x，电费记为y，那么它们之间是什么关系？
生：分段函数，解析式为0.5,0100500.6(100),100300501200.8(300),300xxyxxxx
变式：如果9月份李强支付了电费218元，则他9月份用电多少千瓦时？
师：如何计算用电量？怎样选择解析式？
(引导学生找出分段函数模型,并灵活运用模型解决问题)
生：令170＋0.8(x－300)＝218，解得x＝360
【评析】通过对实例的探究，让学生自主或合作勾画本章知识网络图，有效地完成了新的知识建构． 例4：李强店内某电子产品的包装盒是由一个正方形硬纸板裁剪而成．如图所示，正方形ABCD边长为60(cm),切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状.E、F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).
如果制造商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
(引导学生思考,找到三次函数模型)
师: 该问题的关键在哪里?
生:把容积V表示成x的函数,并求出最大值.设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm). 由已知得xa2
，)30(22
260xx
h
，)30(22232xxhav )300(x )20(26'xxv由0'v得x=0(舍)或x=20 当x∈(0,20)时, 0'v;当x∈(20,30)时, 0'v.
所以当x=20时, v取得极大值，也是最大值，此时
2
1ah，即包装盒的高与底面边长的比值为21
【评析】学生在谈收获的同时，加深了对本章知识的理解和思想方法的掌握程度，从而形成了自觉内
化的意识．
3．课堂小结
常见的几种函数模型：
(1)一次函数模型y= kx+b(k≠0)
(2)二次函数模型y= ax2+bx+c(a≠0) (3)指数型函数模型y= a·bx+c(b＞0,b≠1,a≠0) (4)对数型函数模型y= mlogax+n(a＞0,a≠1,m≠0) (5)幂函数型模型y= a·xn+b(a≠0) (6)对勾函数模型y=)0(ax
a
x (7)分段函数模型 (8)三角函数模型
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师：生活中处处有数学，刚才我们用所学的知识解决了生活中的一些热点问题，这就是数学的魅力．在探究过程中我们运用到了本章所学的哪些数学知识或技能方法呢？请大家结合刚才两位同学的发言回答建立函数模型解决实际问题的时候需要哪些步骤呢，能不能再精炼些？
生：四步八字：审题，建模，解模，还原． 师：建立函数模型解决实际问题的基本步骤：
（1）审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质； （2）建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题； （3）求模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；
（4）还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论.
4．课后提升
思考题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某测观点的车辆数，单位：辆/小时) f (x)＝xv(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
【评析】通过思考题，进一步内化学生的认知结构，并弄清知识和方法上的易混点、易错点；培养学生的动手实践、合作探究能力，让学生进一步体会数学的科学价值和应用价值，增强学生学习数学的兴趣．
三、课后反思
教学思路清晰，各个环节过渡比较自然，课堂教学设计得比较紧凑．教学设计符合学生认知的基本规律．符合探究的一般方法，在自主学习中由学生比较关注的诺奖问题，当年份取正整数，容易入手，作为本节课内容的切入口．指导学生从具体事例中抽象出函数模型，从数学的角度去认识问题，解决问题．
在每个例题的处理上都让学生先合作探究，目的是让学生主动参与建立函数模型解决实际问题，对解决问题的步骤能够很好的体会出来．
在回顾总结中体现“教师为主导，学生为主体”的思想．且通过小结使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，能抓住重点进行课后复习．
教学设计独到而又新颖，打破常规，不走寻常路，利用四个实例的探究完成本节课的教学标准，突出以学生为主体，教师以引导者的身份帮助他们完成知识结构体系的建构；教态自然得体，亲和力强，能很好地驾驭课堂，积极调动学生思考问题，课堂气氛活跃；多媒体课件的内容丰富而又简洁．
改进之处：由于时间关系，在这堂课中完成了知识结构体系的建构后，没有时间去梳理本章知识方法上的易混点、易错点，若时间充裕，可考虑布置一定数量的小题让学生在解题的过程中加以区分．
四、教学点评
本节课既较好地兼顾了认识结构的形成和知识要点的梳理，又突出体现了学生如何建立函数模型解决实际问题的能力提升，有效地突破了难点，两者有机匹配，相得益彰．高效地完成了教学任务的同时，体现了如下特色：
1．悉心把握教材脉络，巧妙创设新颖别致的问题情境 教师在对教材内容深层次的理解的基础上，对教材进行“二次加工”，选用学生熟知的社会生活中的热点问题切入，学生仿佛不是在学数学，而是在研究实际问题、承担经济学家的任务．通过本节课的学习，既增强了学生学习数学的兴趣，领悟到学习数学的价值，又培养了学生创新意识，体现了学以致用，发展了学生的数学应用意识．
2．积极倡导探究教学，动态实现知识体系的有效构建
本节课中充分体了教师的主导性、学生的主体性．整个课堂教学活动有条不紊，凡是学生自己能解决
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的事情，教师都没有包办代替，坚决让学生自己做，学生在自主、合作、探究学习的过程中，不仅完成了本节课的教学标准，而且尝到了学习数学的乐趣，处处感受到成功的喜悦和数学文化的魅力．
3．有效渗透数学思想，恰当体现信息技术的有机融合
本节课从问题的引入、重点的突出、难点的突破，都恰时恰当地利用多媒体课件展示，课堂中黑板、多媒体、计算器交互使用，显示了教师现代信息技术的纯熟地操作能力；重点内容的板书和解题示范，既留给了学生充分思考与探索的时间，又让留在黑板上的一副静态的本章知识结构图演变成动态知识网络图，培养了学生的分析概括能力，培养了学生如读图、分析已知数据等诸多方面的能力．通过思考题进一步达到巩固提高的目的．
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
