联系本站客服加+微信号15139388181 或QQ：983228566 |
视频标签：数学史选讲,数列,章引言课
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：人教A版高中数学选修3-1数学史选讲《数列》章引言课教学-四川省 - 成都
本视频配套资料的教学设计、课件 /课堂实录及教案下载可联本站系客服
《数列》章引言课教学设计
(普通高中课程标准实验教科书数学·人教A版·必修5·第二章)
一、内容和内容解析
1. 章引言是一章学习的起源
章引言就是高中数学一个章节、一个知识板块教学的第一课时.在这一课时中，教师往往要取材于章头图、章节引言，关注数学的发展过程，把握高中数学知识的整体结构，结合学生的实际认知水平，设计合理的问题导引，带领学生建构本章的主要知识脉络，揭示本章的基本思想方法，唤起学生对本章学习的热情.章引言课是高中数学教学中必不可少，又是需要重点关注的课型之一.
2. 数列是洞开离散函数的专列
数列作为一种特殊的函数,在现实生活中有着广泛的应用,它是揭示自然规律的离散函数模型.承接函数的基本概念、性质和几个连续的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数）之后学习数列,不仅是函数概念和性质的又一次应用和深化,而且也为后续算法中的“程序框图和语句”，推理证明中的“数学归纳法”，甚至微积分中“积分”等重要概念的建立奠定了学习的基石.同时，数列作为一种离散函数模型，其规律的把握既重要又特殊.高中阶段，刻画数列规律的方式主要有三种：通项公式，递推公式和前n项和公式. 通项公式与前n项和公式都容易利用函数思想加以解释，而递推公式所包含的递推思想，以及这几种方式之间的联系与转化则是数列学习中的重点内容.
由此，本节课的教学重点是:
(1) 通过类比函数的学习,揭示本章的知识脉络和基本思想方法；
(2) 通过探讨与互动初步体会研究数列的基本方法，凸显递推关系在研究数列规律中的特殊地位.
二、目标和目标解析
数列章引言课是数列学习的第一课时，本课时的教学应立足于学生已有的认知经验和数列这一章中的重点内容，通过创设合理的情境和问题导引，让学生初步了解数列的概念和本章的主要内容,发现研究数列的基本方法,体会数列在数学自身发展中的价值和现实生活的简单应用．具体目标如下:
1．通过现实情境、图表、文本解读等形式，让学生初步了解学习数列的必要性,体验数列是反映自然规律的基本离散函数模型；
2．通过对比连续型函数的研究过程,明确数列的主要研究内容和基本研究方法;
3．通过数学史料的介绍，数学探究活动的创设，感悟数学文化，培育数学
※四川省2018年高中数学优秀课展评活动※
2
理性精神.
三、教学问题诊断分析
虽然学生在初中已接触数列，但没有系统的学习，对数列的认识片面且停留在“感性认识”的层面.在高中，学生虽然已经对“连续型函数”有着一定的认知基础和经验,并能利用这些经验解决一些典型问题,且具备一定的抽象概括、类比迁移、归纳演绎等能力,但对离散型函数缺乏认知,所以预计在本课的学习中,学生可能出现以下困难:
⑴ 独立地发现数列是一种特殊的函数比较困难；
⑵ 对比已有函数的研究过程,不能全面地认识刻画数列规律的方式有三种，有意识地思考刻画数列规律的三种方式联系与转化亦有困难．
基于以上分析，本课的教学难点设定为：
在建构知识网络、感悟思想方法的同时，对后续学习的可能困难有所提醒，使学生对即将学习的内容充满向往，激发学习热情.
针对这样的教学难点，我将采用如下的突破策略：
⑴ 基于数学发展过程，从数学内部挖掘素材；联系生活实际，创设适切情境.让学生在对比和问题探究中理解数列是一种特殊函数.
⑵ 创设数学实验探究活动，让学生在做中学、在学中悟，从而深切地体会刻画数列规律的不同途径，并有意识地尝试思考它们之间的联系.
四、教学支持条件分析
1．学情分析
本课授课对象是成都树德中学高一平行班的学生,他们已经学习了函数的概念和简单性质，具备了一定知识经验储备；另外，该班学生数学基础较扎实,思维较活跃,具有一定的探究活动经验.但是在高一的学习过程中，也明显地表现出学习中的一些不足，比如：对函数研究的基础地位认识不足，自觉利用函数思想分析解决问题的意识淡化，自觉对比已有知识结构，建构新的知识网络的能力有待较强等.
2．教学策略与教法、学法
本课将采用“问题驱动”教学基本模式,在情境中发现问题，在探究中提出问题，在独立思考与合作交流中解决问题, 在解决问题之后再提出新的问题，以问题带动学习.
教师的教法则注重活动的安排和问题的引导,通过问题引导学生观察、分析、类比、归纳演绎．
相应地，学生的学法则注重独立探究、合作交流、实验发现． 教具:多媒体（投影仪）、PPT课件、翻页笔、几何画板. 学具:教材、草稿本、直尺、铅笔、画图和演示用的A4纸.
※四川省2018年高中数学优秀课展评活动※
3
五、教学过程设计
结合以上分析,本课的教学环节拟分为“启、感、探、践、炼”五环节，五个环节的教学流程及大致时间分配如下:
“以情境为载体，以活动为主线”
教学内容
师生活动（预设）
设计意图 一、经典引述,承前启后
9月24日,菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主迈克尔阿蒂亚爵士在海德堡宣讲了久负盛名的黎曼猜想的证明，期间费马有如下的猜测：
（1） 221nnF,由于125,17,
FF34257,65537,FF故费马认为:当n取
自然数时,nF都是质数.
（2）黎曼猜想:函数
111111234ssssssn
Re()1,*snN 的所有非平凡零点很有可能全部位于实部等于1
2 的直线上. 师:9月24日数学界发生了一场“大地震”,不知大家觉察到“震感”没有？
生（齐）:黎曼猜想得到证明了. 师:震源在哪里？在海德堡菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主迈克尔
阿蒂亚爵士身上.这个让无数数
学家如痴如醉且寝食难安的猜想到底说了什么呢？这还要从自然
数中的质数的分布规律谈起.一直以来许多数学家都致力于寻求
一个质数列的通项公式,遗憾的是至今无果.期间也曾有数学家转换思路,试图找一个产生质数
的公式,比如当时的费马就给出了这样一个公式:221nnF,并
验证了当1,2,3,4n时,nF都成
立,也许5n时,数字比较大,他
还没来得及验证,半个多世纪以后,天才数学家欧拉给出了5n的反例,虽然费马猜错了,但他却成就了欧拉,三年后欧拉乘积公式揭开了质数循规蹈矩的一面,在欧拉开辟的战场基础之上,数学王子高斯和数学大师勒让德各自独立提出了石破天惊的质数定理,给出了质数在自然数中分布的大致概率,但是预测的结果时好时坏,这引起了黎曼的注意,也
以数学界的“地震”为切入点吸引学生的注意力,调动了学生学习的积极性,为引入数列的必要性铺垫了良好的氛围 ．
融入质数规律的认识历程,使学生感受数学发展的坎坷,自然的引导学生认识到数列的学习中观察、猜想这一方法的缺陷,这对发展学生的思维有着重要的意义.
经典引述
承前启后
（3min
） 聆听故事
初步感悟 （7min） 类比探究 规律初露 （13min） 动手实验 交流实践 （9min） 课堂赏析深化提炼 （8min）
※四川省2018年高中数学优秀课展评活动※
4
问题1:初中我们也常用观察、猜想的办法研究规律,这样的方法有欠缺吗？
问题2:承接函数学习数列,数列与函数有没有联系呢？
就有了黎曼猜想.你们现在或许很难理解它的内容,不知道他在说什么.但现在，我要告诉大家的是：如今在承认黎曼猜想正确的前提下,数学家们已经建立了1000多条定理,就如同原子构成物质世界一样,黎曼猜想就是数论大厦的基石.
师:初中我们也常用观察、猜想的办法研究规律,这样的方法有欠缺吗？
生1:猜测的规律不一定成立,需要证明.
师:如果结论是错误的,只需要怎么样就可以了？
生（齐）:举一个反例即可. 师:承接函数学习数列,数列与函数有没有联系呢？学完了这节内容我们便会有个清晰的认识.
通过问题使学生反思自己的已有经验 ,训练学生通过构造反例否定命题,发展学生的批判性思维.
二、聆听故事,初步感悟
情境1:八戒与悟空的故事.
什么是数列呢？我们先来听个故事.
师:八戒与悟空相会在纪念“西天取经”十周年庆典上,两人推杯换盏、促膝相谈,且在子时签订了一个令人费解的合约.合约的内容是悟空将在整整30天内,第一天支付给八戒一万元且以后每天支付的钱数都比前一天多一万,而八戒则需要第一天付给悟空一分钱,且以后每天给悟空的钱数都是前一天的两倍.次日,合约便开始生效了,八戒欣喜若狂.第一天,八戒支出1分钱,就收入1万元.第二天,八戒支出2分钱,收入2万元.第三天,八戒支出4分钱,收入3万元,…… 到了第10天,八戒共得55万元,而总共才支出10元2角3分.到了第20天,八戒轻轻松松就得到210万元,而悟空才得1048575分(1万元多点).八戒想:要是合同订两个月、三个月该多好!可从第25天起,情况发生了变化,八戒支出16万多,收入25万.到第28天,八戒支出
通过多媒体动态演示故事,使学生注意力转移到所学的内容上来,为数列概念的了解和进一步研究问题作铺垫,并设置悬念,激发学生学习的热情,培育学生的理性精神.
※四川省2018年高中数学优秀课展评活动※
5
活动一:（数列及其符号的初步认知）
思考1:情境1中的有两列数:
1,2,3,4,,29,30; 28291,2,4,8,,2,2. 每列数中的任意两个数之间能否调换顺序,为什么？
PPT展示数列的概念：
我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.
思考2：数学中有三种语言,我们用自然语言描述了数列的概念,还可以用其它方式描述数列吗?
数列一般写成123,,,,,
,naaaa简
记为{.}na
思考3:写出函数79fxx与
12x
gx
,当x依次取1,2,3,,,.
n
*nN时,其函数值构成的数列,观察这
两个数列分别有什么特点？
134万多,收入28万. 结果,八戒在一个月内得到465万元的同时,共付给悟空1073741823分,也就是1000多万元,最后八戒为了还债,不得不把高老庄抵押给悟空了!
为什么八戒会破产？一个很显然的原因就是没有学好在生活中有着广泛应用的这一章———数列.
师:能不能调换呢？
生2:不可以,调换顺序数字所表示的意义就不一样了.
师:不错,大家言之凿凿.这样的一列数就是我们要研究的数列.
我们就把按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.
师:数学中有三种语言:自然语言、符号语言、图形语言,我们用自然语言描述了数列的概念, 还可以用其它方式描述数列吗? 生3：符号语言. 师:数列一般写成
123,,,,,,naaaa简记为{.}na 右下角的角标代表数列的序号,序号是几就是第几项,所以1a是数列的第一项,也叫数列的首项,2a呢？na呢？
生（齐）:第2项,第n项.
师:了解了数列的概念,我们来写两个数列吧.请看思考3. 生（齐）:16,23,30,37,,79,.
n23311111,,,,,,.22222n
师:第一个数列有什么特点？ 生（齐）:差是7. 师: 3016是7?
生（齐）:后一项减前一项？ 师:那16减去谁呢？
通过设问,让学生初步感知数列的概念.
通过回顾数学中的三种语言,自然过渡到数列符号的认识上.
初步体会函数可以产生数列,数列是特殊的函数,初步了解等差数列和等比数列,为研究递推关系埋下伏笔.
※四川省2018年高中数学优秀课展评活动※
6
生（齐）:从第二项起,后一项减前一项都等于7
师:这样的数列初中见过没有？ 生（齐）:见过 师:叫什么呢？ 生（齐）:等差数列 师:第二个数列呢？ 生（齐）:等比数列.
师:这两个数列就是这一章我们要学习的两种重要模型，我们可以用这两种模型解决一般数列的问题.这个例子我们感受到了,当自变量取正整数集时,一次函数产生了等差数列,第二个函数也就是指数函数,产生了等比数列.所以说这两个数列是特殊的函数,对于一般的数列有没有这样的结论呢？
三、类比研究,规律初露 ⑴数列na中各项ka与各项序号k之间存在着如下的对应关系:
这种关系是函数关系吗,为什么？
⑵函数的研究历程:函数的概念及性质 一次函数、指数函数等特殊的函数 函数的应用.类比函数,数列的研究历程是什么呢,与函数相比，数列的研究有无特殊之处？ 师:请看活动二,请大家思考,然后小组内交流讨论,最后小组代
表分享. 师:哪个小组代表分享一下（1）？ 生4:是函数关系,因为对于每一个序号都有唯一的项与之对应. 师:很好！那谁是自变量,谁是因变量呢？ 生5:n是自变量,na因变量. 师:所以na是n的函数,如果na可以用一个含n的表达式表示的话,这个式子就叫数列{}na的通项公式.下一个问题. 生:数列的概念及性质等差数列与等比数列等特殊的数列数列的应用
师:数列有哪些性质呢？ 生6:定义域、值域、单调性、最
值 师:定义域，值域应该是函数的概念所探讨的吧？数列的定义域是什么呢？ 生7:定义域是正整数集 师:如果数列只有几项,定义域是正整数集吗？ 生8:不是,是正整数集的子集.
在学生的最近发展区设置问题,类比函数,初步认识数列是特殊的函数,自然认识到数列的研究历程,为研究数列的一般方法做铺垫.通过层层设问、课堂追问,体会数列相对函数而言有其特殊之处,自然有特殊的研究方法.以问题为引领,引导学生用类比的思想学习本章内容.
123,,,,,.n
aaaa1,2,3,,,.n
※四川省2018年高中数学优秀课展评活动※
7
(3)与函数相比数列的研究有无特殊之处呢?
(4)类比函数,数列的表示方法有哪些？
问题3:若八戒与悟空每天的收入构成的数列分别是{}na,{}nb,你可否用含n的式子na,nb来刻画这两个数列的变化规律?
问题4:情境1中,若八戒与悟空每天的收入构成的数列分别是{}na,{}nb,则如何
用数列的知识来刻画n天后,八戒是否“破产”呢? (若在合同结束后一方的收入小于支出则视为其“破产”)
思考与展示:
师：所以数列的定义域是正整数集或其子集.下一个问题谁来？ 生9：特殊主要体现在定义域上. 师:还有没有？那数列的单调性能不能像函数一样任意取值而后作差比较？
生（齐）:不能.任意取的是正整数.
师:应该比较的是什么？ 生（齐）:na与1na的差？ 师:n有没有下限制？ 生10:*2,nnN
师:所以数列的特殊之处主要体现在定义域和单调性上.下个问题,对大家来说易如反掌了吧？ 生11:列表法、图象法、解析法. 师:三种方法各有利弊,哪一种方法最常用呢？ 生（齐）:解析法
师:那我们就用解析法来认识情境1中数列的规律吧,请看问题3. 生12:nan八戒：，
12nna悟空：
师:n有没有限制？ 生13:30,*
nnN
师:如何用数列的知识来刻画n天后,八戒是否“破产”呢? 生14: 比较1231nnaaaaa与1231nnbbbbb的大小
师:和为了书写的方便,我们常用
nS, Tn表示.
师:有了和的符号后,我们来求一个和吧,请设计一个思路求99S12399？
将函数表示方法中的解析式法迁移到数列中来,揭示研究数列规律的第一种方式---通项公式.
将实际问题抽象成数学问题来研究,运用数列的知识解决问题,自然引出数列前n项和的符号的同时,揭示研究数列规律的第二种方式---前n项和.
在解决问题的过程中,养育学生抽象素养的同时,发展学生解决问题的能力.
※四川省2018年高中数学优秀课展评活动※
8
请你设计一个方案来计算: 991239899S?
生15:
99S(199)(298)(4951)50
共49个100与1个50的和.
师:很好,有没有不同的想法呢？ 生16: 99S12399① 99S9998971②
①+②得992S(199)(298)(397)(991)9950 师:很好,他欲求和,先倒着写了一次,这种方法有个名字？暂时保密,后面学了你就知道了. 师:这两位同学的方法各有优缺点,你能谈一谈吗？ 生（齐）:数比较少用方法1,数比较大时用方法二,很好. 师:同学们再来想一下,已知nS 可以求na吗？ 生（齐）:可以 师:怎么求呢？我们留个悬念吧！我们小结一下,这里刻画数列变化规律的方式有两种,一种是通项公式,另外一种是研究前n项和.而且两者可以转化不？ 生齐:可以. 以数学家高斯10岁求和为启发,设置特殊数
列的求和,让学生自己设计思路,使学
生对简单数列求和的方式由归纳猜的感性认识上升到理性认识（倒序求和）,为后续研究其他数列的求和方式埋下伏笔. 四、动手实验、交流实践 画画看: 1条直线可将平面分成2个部分,2条直线最多可将平面分成4个部分,3条直线最多可将平面分成7个部分,4条直线将平面最多分成几个部分呢? 5条呢? 师:那还有没有其他的刻画数列规律的方法了呢?我们来看下一环节. 请拿出笔和尺子在给定的做图纸上画一画看,小组之间,看如何合作能更好的揭示问题背后的规律？ 师:哪个小组来展示一下呢？ 生17:（展示） 师:你是怎么数出来的呢？ 生18:几条直线相交就多几条? 师:我们把数字写出来,看看规律吧，画n条直线将平面至多分成几个部分呢？ 生（齐）:（可能沉默） 拾级而上,通过动手实验、交流讨
论、反思总结,引出刻画数列的第三种方式---递推关系（相邻项）.
※四川省2018年高中数学优秀课展评活动※
9
问题5:该情境中涉及的数列
2,4,7,11,16,
有怎样的规律,如何用数学语言来刻画呢?
问题6:你能否用递推关系刻画情境1中 的两个数列的变化规律?
五、课堂赏析、深化提炼
有人说:“大自然是懂数学的”,不知你注意过没有,树木的生长,向日葵花盘上种子的排列,某些花的花瓣数量都与
1,1,2,3,5,8,13,21,34,5589，，这列数有关.我们来看个小视频. 师（引导）:只要找到数列的通项公式是不是就可以了？ 生（齐）:是的
师:怎么找呢？这也是本章要解决的问题.虽然通项公式不好找,但是数列各项之间又怎样的规律呢,请看问题5？ 生19:12(2)nnaan
师:数列相邻两项的这种关系叫递推关系,也是刻画数列规律的一种方式.你能否用递推关系刻画情境1中数列的变化规律吗？ 生20:八戒和悟空的收入构成的数列满足的递推关系分别为: 11(230,*)nnaannN 1
(2230,*)
n
nbbnnN 师:很好,很准确.这样的话,我们学到了三种刻画数列规律的方式,它们之间可以转化吗？ 生（齐）:可以.
师:怎么转化呢？这就是我们后续学习要解决的问题了,你觉得这三种方式哪一种更便捷呢？ 生（齐）:通项公式.
师:实际上这三种方式都是用一个等式来刻画,所以他们有一个共同的名字就是解析法,这就不同于函数的解析式了.
师:不知道大家注意没有,在数列的开篇有这么一幅图,图中涉及的树木的分叉、向日葵花瓣种子的排列,某些花的花瓣数量都与一串神奇的数字有关系,请看视
频.
生（齐）:（专注的看！）
师:视频让我们感受到大自然的神奇与奥妙,视频中的那串数字
就是历史上有名的？ 生（齐）:斐波那契数列.
通过该问题引导学生用数列的方式揭示数学问题的一般规律.
运用递推关系再次刻画故事中数列的规律,让学生感悟三种认识数列方式优缺点,从而发现数列的通项公式是认识数列规律的便捷方式,相比函数而言,递推关系和前n项和是研究数列的特殊之法.
将 “章头图”、“章导言”、数字之美的视频融入其中,引出历史上著名的斐波那契数列,让学生感受数学文化、欣赏数学美的同时,增加学习的兴趣和信心.
※四川省2018年高中数学优秀课展评活动※
10
视频:“数字之美”
思考4:你有哪些方式刻画情境3中所涉及的数列的规律?
本课小结:
1.本章的大致知识结构框图？
2.本课中你感受到哪些数学思想?
3.对于情境3乃至本章中涉及的数列的
研究你有哪些困惑?
师:你有哪些方式可以刻画情境3中所涉及的数列的规律? 生21:123()nnnaaan
师:这是相邻几项的递推关系？ 生（齐）:三项.
师:前面用的都是几项的？ 生（齐）:两项的. 师:还有可能是几项的？ 生（齐）:相邻四项 师:还有没有其他刻画方式了呢？ 生22:列举法、图象法 师:很好,我们来一起看一看.(PPT,几何画板展示),注意到数列的图像有什么特点？ 生齐:一个一个的点 师:是一群孤立的点,故数列是离
散型函数. 师:这就是我们这一章学习的基本内容,我们来做个小结吧.（PPT展示本章大致知识结构图）.通过本课的学习，你认为数列学习中可能有哪些数学思想方法？ 生23:特殊到一般. 生24:类比. 生25:猜测. 生26:数形结合. 师:很好,总结起来就是归纳演绎、类比迁移、数形结合等数学思想. 师:对于情境3乃至本章中涉及的数列的研究你有哪些困惑? 生27:斐波那契数列的通项公式. 生28:通项公式、前n项和及递推关系如何转化？ 生29:等比数列怎么求和？ 师:同学们都是爱提问的小伙伴，这很好，抓住问题就是抓住了数学的心脏.这些问题同学们可以课后再梳理一下，想一想，本章学完之后，你还可以对照一下，看看问题解决没有.这节课就结
进一步体会递推关系在认识数列规律中的特殊地位.与此同时数列既然是特殊的函数,研究函数的方法（图象法、列表法）,数列依然可以沿用.另外,在用图象法表示数列的过程中,初步感受数列是刻画数学规律的离散型函数模型.
初步梳理本章的大致内容和主要研究方法、让学生自发的总结本课中感受的数学思想的过程中养育学生的核心素养.
检测学生对递推关系的理解和应用.
拓展学生的视野,为应用相邻三项的递推关系
※四川省2018年高中数学优秀课展评活动※
11
课后检测与延伸: 1.若数列{}na的前6项分别为： 35813
1,2,,,,,2358
,则数列{}na的递推公
式为 .
2.感兴趣的同学可继续关注黎曼猜想相关研究的最新进展?
3.查阅资料了解现实生活中斐波那契数列还有哪些应用,感兴趣的同学可以思考如何利用递推关系推导斐波那契数列的通项公式?
束了,课下后同学们可以先思考以下三个问题. 求数列的通项公式留下悬念.
附:板书设计
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
