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视频标签：等比数列
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视频课题：第二届中国好教育联盟高中数学优质课全国总决赛人教A版必修五2.4等比数列-河北
教学设计、课堂实录及教案：第二届中国好教育联盟高中数学优质课全国总决赛人教A版必修五2.4等比数列-河北省 - 邢台
《等比数列》第一节教学设计
【教学内容及内容分析】
等比数列是高中课程标准实验教科书数学（必修5）第二章第四节的内容。 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的应用，如储蓄、分期付款的有关计算会用到等比数列前n项和的一些知识，而且起着承前启后的作用——数列作为一种特殊的函数与前面学到的函数思想密不可分，另外也为后面进一步学习数列的极限等内容做好准备。
在数列的学习中，等差数列和等比数列是两种最重要的数列模型，并且等差数列与等比数列在内容上是完全平行的,包括定义、性质、通项公式、前n项和的公式、两个数的等差（比）中项、两种数列在函数角度下的解释等，因此在教学时可用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别。
【学情分析】教学对象是进入高中不久的学生，他们具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃，敏捷，但缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。
从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列的学习过程作对比，这是一种积极因素，应充分利用。但相比等差数列，等比数列中要注意的地方更多，比如说：等比数列的公比不能为零，等比数列的各项都不能为零等，这些细节学生容易忽略，通过本节课的学习，增强学生思维的严谨性。
【教学方法及设计意图】《新课程改革纲要》提出：“要改变课程实施过于强调接受学习，死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。 针对这一目标，这节课做了如下设计：
（1）借助丰富的实例，使得学生加深对等比数列的认识。最终，通过学生的观察、分析、探讨得出等比数列的概念。并且借助这一过程使学生认识到数学来源于生活，经历观察现象，发现问题，总结归纳这一过程，促使学生形成善于观察，善于思考的好习惯。
（2）学生相互探讨，积极思考，以等差数列的通项公式的推导为参照物，探索等比数列的通项公式；通过与指数函数的图像类比，探索等比数列的通项公式的图像特征及指数函数之间的联系。通过这一过程锻炼学生的类比能力。
（3）让学生通过具体练习进一步体会从实际问题中抽象出等比数列模型，提高学生解决简单实际问题的能力。
本节课还渗透了一些数学思想方法,比如类比思想、归纳思想、一般到特殊的思想等。
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【三维教学目标】
知识与技能：通过实例,理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式、等比中项、图像特点,能在具体问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建摸能力.
过程与方法：通过现实生活中大量存在的数列模型,让学生充分感受到数列是反映现实生活的模型,体会数学是丰富多彩的而不是枯燥乏味的,达到提高学生学习兴趣的目的.
情感、态度、价值观：通过对等比数列概念的归纳,进一步培养学生严密的思维习惯,以及实事求是的精神,严谨的科学态度.体会探究过程中的主体作用及探究问题的方法，经历解决问题的全过程。
【教学重点】等比数列的定义和通项公式。 【教学难点】等比数列和指数函数之间的联系。 【教具】多媒体 【教学过程】
一、导入新课
发红包游戏：最后一位中奖同学；你高兴吗?带着这份愉悦心情来回答老师一个问题“从这个游戏中你能找到至少两个数列吗？”
学生回答：红包个数16，8，4，2。中奖的钱数1，2，4，8.
教师：在实际生活中像这样的数列还有很多，早在2000多年前在《庄子·天下篇》这样写道：“一尺之锤，日取其半，万世不竭！”同学们，这句话蕴含着一个什么数列呢？
学生共答：
【设计意图】体会数学源于生活的实际。体现由特殊到一般的数学思维模式。
预计用时：5分钟
二、推进新课
（一）类比等差数列给出等比数列的定义。
问题一：观察上述数列，你能发现它们存在什么共同的特征吗？ 学生思考后回答，教师重点帮助分析特点，①从第二项起②每一项与前一项的比③同一常数 最后给出等比数列的定义和公比的定义。教师板书定义 问题二:能否给出符号表达？教师板书，学生答
【设计意图】由几个具体数列提炼出定义，培养学生归纳总结的能力，类比等差数列下定义，增强学生的类比能力，体会数学知识之间的联系。让学生发表自己的见解，强化学生的主体地位，培养学生的语言表达能力。
教师：同学们认识了等比数列了，那么看老师给的这几个数列是等比数列吗？课件展示：下列数列是否为等比数列，如果不是，请说明原因： (1) １,2, 4, 16, 64, „ (2) 16, 8, 1, 2, 0,„ (3) b, b, b, b, b, b, b, „
,...
21
,......,161,81,41,211,1n
3
(4) 2, -2, 2, -2, 2 学生互相讨论，教师提问学生回答，结合学生回答，相应部位用彩笔标注需要注意的地方： (1) 比值是同一个常数；(2) 等比数列｛an｝中, an≠0；(3) 常数列都是等差数列，非零常数列又是等比数列q＝1． 【设计意图】结合练习找到定义中的需注意的点，讲练结合，使学生更好的掌握知识。 预计用时：5分钟
（二）以上一题为例提示运用等比中项思想
问题三：根据等比数列的定义来完成下面的数字游戏 （1）1.（ ），4 （2）-1，（ ），-9 学生简单考虑，就能回答出来。
教师追问：我们回忆一下在等差数列中，a,b间插入一个数使三个数成为等差数列，那么这个数我们叫做等差中项。那么在这里，我们给它取个名字为？学生回答“等比中项” 幻灯片打出等比中项定义。教师补充并板书二等比中项。 教师问：中间数G如何求得？学生回答： 教师问：能否给出推导过程，教师加以补充ab同号
【设计意图】类比旧知识，探究新定义，提高学生的学习能力。
并使学生发现定义中需注意的地方，加深对概念的理解。 预计用时：5分钟 （三）类比等差数列通项公式的推导过程，推导等比数列的通项公式。 问题四：通过等比数列的认识我们发现它是一个有规律的数列，按照这个规律大家来思考这样几个问题：①已知数列中的首项1a和公比q，能否得到数列的任意项na呢？②已知2a和q呢？③已知ma和q呢？
同学们以小组的形式讨论你思考的结果
①学生的方法有三种：不完全归纳法，累乘法，迭代法。在学生中找到有代表的解法用投影仪展示，展现学生风采。在累乘法中还需注意，学生忽略n=1情况的验证，教师需纠正后再给于表扬，教师板书通项公式。 板书：通项公式
②问题的答案是什么？学生回答：2
2nnqaa教师追问
③问的答案：m
nmnq
aa
问：如何得到的。说明你的过程
学生答，教师展示结论，由上面我们得到的通项公式来解决下面的问题 【设计意图】培养学生自己解决问题的能力，变“要我学”为“我要学”。 （四）学以致用，例题分析
例1一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第一项和第二项。预计：学生可能想到的例2的解法，一是利用方程的思想，二是利用等比数列的定义，三是等比中项的思想来做题，但现在还不知道等比中项的概念）
【设计意图】让学生熟悉等比数列的通项公式，并能灵活应用之。结合例2，锻炼学生思维的灵活性，并为引入等比中项的概念做铺垫，使知识点过渡自然。 预计用时：12分钟
例2：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长（精确到1年）？
【设计意图】例1加强学生对概念的理解，能够灵活运用公式；例4增强学生联系实际的能力，培养数学建模意识。 预计用时：6分钟
教师对习题给学生一个整体的认识
总结通过例题的巩固与练习，不管是11nnqaa还是mnmnqaa都是含有四个量，在这里我们体会了知三求一的方程思想 而数列又是一个特殊的数列，等差数列的图象是一条直线上孤立的点，那么等比数列的图像呢？
（五）等比数列的图象探索
我们来看这样的一个等比数列，首项是11a，公比q=2,则通项公式是12nna。我们能做出它的图象吗？而数列的图象就是它吗？
学生探索发现，展示学生的发现，引导学生能否把结论推广到一般 问：是不是所有的等比数列都是指数型函数呢？
学生思考后答：q>0且q≠1时的等比数列的图象是指数函数图象上的孤立的点
【设计意图】通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，揭示数学知识是相互关联的。启发学生从不同角度去看问题。 第3/5页
预计用时：5分钟
三、课后探究（数学兴趣小组课下活动）
课件显示：探究一：1、利用推导等差数列和等比数列的通项公式的方法，由下列数列的递推公式求出通项公式：
探究二：做课后练习1，3，4，结合练习，类比等差数列的性质，自主研究等比数列的性质。
【设计意图】课后探究给学有余力的学生创造更广阔的数学空间。 预计用时：1分
四、小结。①从知识与方法技巧两方面说说你本节课的收获 ②问题过程中所用的数学思想
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【设计意图】预计用时：1分钟
五、作业
布置作业：课后习题A组1，6，8
【设计意图】1题锻炼学生的计算能力及对通项公式的应用，6题巩固对等差（比）中项的认识，8题综合考查本节课所学内容。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
