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视频标签：概率,几何概型
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视频课题：人教A版高中数学必修3第三章概率第三节“几何概型”四川省 - 眉山
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“几何概型”教学设计
一、教材分析
“几何概型”是人教A版高中数学必修3第三章概率第三节的内容，安排在“随机事件的概率”和“古典概型”之后，其上位知识为概率的统计定义和等可能事件定义，下位知识为运用计算机产生均匀随机数估计”几何概型”的概率等内容。”几何概型”是新课程新增加的内容，介绍”几何概型”主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，对”几何概型”的要求仅限于初步体会”几何概型”的意义。”几何概型”在概率论中占有重要的地位，它将”古典概型”中等可能事件数量从有限推广到无限，更广泛地满足随机模拟的需要，进一步完善了人类对概率模型的认识。教材中”几何概型”这一节共分两个课时，这里是针对第一节课的教学设计，主要涉及”几何概型”的定义、计算公式及其简单应用。“几何概型”的课堂教学活动应侧重学生对”几何概型”本质的理解和计算公式的掌握.教学的关键是处理好以下几个方面：一是克服”古典概型”思维定势的影响，阐释并引入”几何概型”的意义；二是归纳”几何概型”特征，理解”几何概型”与”古典概型”的本质区别；三是一维、二维到三维”几何概型”中测度的具体内容。因此，将本节课教学的重难点确定为：”几何概型”概念的建构和选择恰当的概率模型进行概率计算。
二、教学目标
1.了解”几何概型”的基本特点及与”古典概型”的异同。
2.会依据具体问题选择恰当测度进行简单的”几何概型”计算。
3.依据具体问题选择基本事件恰当的几何表征发展学生直观想象的数学素养
4.通过”几何概型”概念的建构过程和选择恰当的概率模型进行概率计算发展学生数学建模的数学素养
三、教学重难点
教学重点：”几何概型”概念的建构和选择恰当的概率模型进行概率计算
教学难点：”几何概型”概念的建构和依据具体问题选择基本事件恰当的几何表征。
四、教学方法
本节课采用学生探究与教师讲授相结合的教学方法，注重启发式教学，多以问题链的形式出现，并结合多媒体辅助教学。在课堂教学过程中，通过分组讨论、合作交流的形式，使学生体验数学活动中的发现与创造，让学生亲身经历”几何概型”概念的建构过程，从观察到分析再到归纳，感受事物从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，逐渐培养透过现象看本质的思维方法和能力。为将教学重难点各个击破，教学中可适当利用框图表示基本事件与几何区域的对应关系，帮助学生理解测度的具体含义。
五、教具准备
几何图霸课件、希沃教学助手
六、教学过程
（一）复习旧知
【问题】上一讲我们学习了一种重要的概率模型”古典概型”，请同学们回忆”古典概型”的基本特点和计算公式.
【师生活动】教师通过课件提出问题，留短暂时间学生思考，抽取学生回答，教师根据学生表述情况做适当补充和强调。
基本特点：1.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； 2.每个基本事件出现的可能性相等. 计算公式：
，其中
是指事件包含的基本事件的个数，是指基本事件的总
数.
【设计意图】通过抽问了解学生古典概率模型掌握情况，利用古典概率模型与即将学习的几
何概率模型之间的内在联系，特别是蕴含在古典概率模型中的数学思想方法，为将学生引向新知学习最近发展区作铺垫。
（二）探究新知
【问题】甲乙两人玩如图所示转盘游戏.规定当指针指向偶数区域时，甲获胜，否则乙获胜.求甲获胜的概率是多少？
【师生活动】教师通过几何图霸按钮模拟转盘转动启停动画，激发探究兴趣，调动学生参与热情。
追问：本问题是”古典概型”吗？请说明理由.
学生：转动转盘指针指向区域共有12中情况，图中是将圆面12等分，指向每个区域可能性相同，符合”古典概型”特征，其概率为
.
利用课件引导学生用右图直观展现思考过程。
【设计意图】借用教材的转盘情境和几何图霸强大的动态功能能迅速将学生带入贴近生活的情境，调动学生参与热情，既巩固了”古典概型”的判定和概率运算，又为自然引入”几何概型”埋下伏笔。
【探究1】如图，圆半径为，，规定当指针指向扇形区域时，甲获胜，求甲获胜的概率.
【师生活动】留出时间学生独自思考，再小组讨论，最后派代表表述分析思考过程。利用课件引导学生用下图直观展现思考过程。
【设计意图】通过对问题条件的修改，让问题不再具备”古典概型”的特征，引发学生认知冲突，为”几何概型”概念的建构创设合理的问题情境。引导学生将指针与圆周上一点对应，每个基本事件就是指针指向圆周上一个确定的点，指针指向圆周上每个点等可能，试验结果数无限。所有基本事件所构成的几何表征是圆周，甲获胜所构成的几何表征是劣弧的长，学生很容易类比得到
.也可引导学生发现指针与圆的一条半径对
应，所有基本事件所构成的几何表征是圆面，甲获胜所构成的几何表征是扇形
的面积，
.
【探究2】如图，圆盘半径，
，现向圆盘抛掷飞镖，假设飞镖都能射中圆盘
⑴求射中阴影区域的概率；⑵求射中圆盘中心的概率.
【师生活动】留出时间学生独自思考，再小组讨论，最后派代表表述分析思考过程。利用课件引导学生用上图直观展现思考过程。
【设计意图】通过变更问题背景,让学生能自然将飞镖针尖与圆盘的点对应，飞镖落在圆盘内每个点等可能，所有射中位置无限，进而将试验的所有基本事件用圆面积表征，所求事件用扇形面积表征，易类比得出
.利用框图表示基本事件与几何区域的对应
关系，既能让学生更加清晰断定”几何概型”的两特征，又能帮助学生理解测度的具体含义。第（2）问让学生知道射中圆盘的概率虽然为0，但该事件是随机事件，不是不可能事件。概率为0仅是事件为不可能事件的必要不充分条件，同理概率为1也是事件为必然事件的必要不充分条件，帮助学生完善认知结构。
【探究3】在棱长为2的正方体内随机取一点，求该点恰好落在正方体内切球内的概率. 【师生活动】留出时间学生独自思考，再小组讨论，最后派代表表
述分析思考过程。利
用课件引导学生用上图直观展现思考过程。
【设计意图】通过变更问题背景,让学生能自然将试验的所有基本事件用正方体体积表征，所求事件用球体体积表征，易类比得出
.利用框图表示基本事件与几何区域
的对应关系，既能让学生更加清晰断定”几何概型”的两特征，又能帮助学生理解测度的具体含义。
（三）概念形成
【问题】请同学们归纳上述三问题的共同特征，并将其与”古典概型”对比，指出其异同. 【师生活动】先由学生小组讨论，然后抽学生回答，教师根据实际情况做总结，得出几何概率模型概念及概率求解公式。
基本特点：1.试验中所有可能出现的基本事件只无限个；
2.每个基本事件出现的可能性相等.
上述三试验和”古典概型”一样每个事件出现等可能，不同点是基本事件总数无限。 通过上述三问题的解决，我们发现每个基本事件均可用几何里的点来表征，所求事件所对应的几何表征可能是区域的长度，也可能是面积或体积，发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，数学上将这类重要的类型统称几何概率模型.遇到具体问题，我们应该首先依据基本事件的无限性和等可能性判断是否为”几何概型”，然后寻求基本事件的恰当几何表征，最后用公式
求解.
【设计意图】三个探究问题均用点表示基本事件，分别通过长度、面积、体积表征随机事件，将概率运算转化为“测度”之比。引导学生反思问题求解过程，归纳出其共同特征，逐步在头脑中建构”几何概型”概念和概率求解公式，并通过和”古典概型”对比，加深对概念的理解，
为后续在具体问题中的应用做准备。
（四）应用举例
例1：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.
【师生活动】学生思考后易于发现该人醒来的时刻无限，每个时刻醒来等可能，断定该试验是”几何概型”。教师引导学生用上图将该人醒来的时间与线段上的点对应，想听电台报时需要等待的时间不多于10分钟与线段上的点对应，进而将所求概率转化为两条线段长度之比，即
。
【设计意图】利用教材中贴近生活的例子，让学生经历判断试验为”几何概型”和用线段之比求概率的过程，加深对概念的理解，初步学会利用”几何概型”公式求解指定事件概率。通过学生用框图展示几何表征过程，发展直观想象素养。
例2：假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30到7:30之间把报纸送到小明家，小明父亲离开家去工作的时间在早上7:00到8:00之间，问小明父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
【师生活动】针对多数学生一筹莫展的现实，点拨学生指出该试验的一个基本事件，如送报人6:30到，父亲7:00离开家，进而发现每个基本事件由送报人到达时间和父亲离家时间共同确定，用线段上的点是无法表示基本事件的，联想到可以用平面直角坐标系内的点来表征基本事件，判断本试验为”几何概型”。设送报人到达的时间为，父亲离开的时间为，则
满足的限制条件为，利用线性规划知识画出几何区域，建立上图几何
表征框图， 进而得出
【设计意图】将教材第二课时的例2提到第一课时，让学生经历从一维到二维”几何概型”模型类比迁移的过程，明确建构适当”几何概型”模型解决简单实际问题的建模机制，加深对概念的理解。通过学生用框图展示几何表征过程，发展直观想象素养。
（五）课堂练习
课堂练习1：图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏.规定当指针指向区域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？
课堂练习2：甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段内随机到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率.
【师生活动】留出较充足时间学生独立思考完成，同小组同学对比讨论，再抽取学生上台分析讲解思考和解答过程，教师根据学生完成情况做适当点拨与强调。
【设计意图】通过两组练习检测学生对”几何概型”及其应用的掌握情况和存在的主要问题，对学生的良好表现给予及时肯定。借助学生展示分析解决问题的思维过程，充分了解学生对新知建构情况，，对暴露出的问题给予及时纠正，帮助学生完善知识结构。
（六）课堂小结
1.”古典概型”与”几何概型”对比分析
“古典概型” 所有基本事件个数有限 每个基本事件出现等可能 “几何概型” 所有基本事件个数无限 每个基本事件出现等可能
2. 3.
4.数形结合思想、化归转化思想、无限与有限思想、或然与必然思想
【师生活动】先组织学生小组讨论本节课所学内容，抽取小组代表从知识、思想方法层面进行小结，教师根据学生小结情况进行必要补充。引导学生明确在具体问题中正确判断试验所属概率类型是前提，选择合适的几何表征是关键，将所求事件概率转化为“测度”之比是必然。 【设计意图】让学生养成对所学知识、思想方法及时梳理的习惯。通过小组同学的分享交流，找到自身对概念理解的偏差，自主完善知识结构。
（七）课后作业
必做题：教材第142页习题3.3A组 选做题：试依据”几何概型”定义证明
思考题：甲乙丙三人定于6点到7点之间在某地约会，已知他们三人都不会违背约定，但是他们到达会面地点的具体时间不确定，求甲第一个到丙第三个到的概率.
【设计意图】根据学生情况分层布置作业，让学有余力的学生课后有深度思考提升的空间，追求人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展的目标。
七、课堂后记
本节课共有三个探究活动，让学生通过讨论和小组合作来观察、发现”几何概型”的规律和特征，使学生体会”几何概型”与”古典概型”求解计算的异同，并为归纳出”几何概型”的概念做铺垫。教学设计尊重教材但不拘泥于教材，对教材例题进行了适当整合，问题层层递进，将学生的思维保持在在最近发展区，符合学生的认知发展规律。在关系到内容本质方面的问题并没有一带而过，而是逐步引领学生分析，得到解答。课堂上能够给予学生更多的主动权，做到了学生主体教师主导的课堂模式。本节课设计的不足之处在于，教师在探究环节的问题过于紧密，学生没有充足的时间思考，课题引入上不太好把握时间。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
