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视频标签：建立概率模型
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视频课题：北师大版高中数学必修三第三章概率3.2.2建立概率模型-陕西省
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《建立概率模型》教学设计
一、教材分析
《普通高中数学课程标准，（试验）解读》明确指出：“概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。古典概型的教学应上学生通过实例理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性，让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型。教学时不要把重点放在如何计数上，计数本身只是学习的方法与策略问题，在具体的模型中有很多特殊的计数方法，这些不是教学的重点，教学的重点应该是让学生理解古典概型的特征，根据特征来建立我们需要的概率模型。”根据本课的特点，紧扣新课标的理念，对《建立概率模型》的教材分析如下：
本节课是北师大版高中数学必修三第三章概率的第二节古典概型的第二课时《建立概率模型》，是在随机事件的概率之后，几何概型之前的内容。由于学生刚学过随机事件的概率、古典概型及其概率计算的公式，教师可以利用这些作为知识的生长点，类比，设想中获得及掌握建立恰当的概率模型来解决相关实际问题的方法。
建立古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，它的引入避免了大量的重复重复试验，而且都到了是概率的精确值，同时古典概型也是后面学习的条件概率的基础，起到承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。
这节课是没有学习排列组合的基础上学习建立古典概型，所以在教学重点不是“如何计算”，而是让学生通过生活中的实例和数学模型理解古典概型的两个特征，让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型，因此，在教学过程中，注意引导学生开展小组合作的学习，通过举出大量的古典概型的实例调动学生学习的积极性从而使目标达成。
本节课本通过例2的四种模型的所有可能结果数越来越少，调动起学生思考探究的兴趣；教师在教学中要注意通过引导学生体会不同模型的特点以及对各种方法进行比较，提高学生分析和解决问题的能力。
二、学情分析
我承担的是高一（3）（5）两个班的数学教学，其中高一（3）班是普通班，学生数学基础比较薄弱，对数学的了解比较浅显，课堂接受容量较低。而相比之下，高一（5）班是重点班，学生接受知识的能力比较好。本课的学习是建立在学生已经了解了概率的意义，掌握了概率的基本性质，知道了古典概型的特征和概率计算公式的基础上。学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养。多数学生能够积极参与研究，但在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强。
三、教学目标
1、知识与技能：
理解古典概型及其概率计算公式，能够根据古典概型的特征从生活实例中抽象出古典概型，建立模型求解。 2、过程与方法：
（1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学知识解决实际问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；
（2）通过建立概率模型求概率，让学生学会列举法、数形结合法计算概率，培养学生建模意识。 3、情感态度与价值观：
（1）通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点；
（2）通过实例让学生体会概率意义的同时，感受与他人合作，初步形成正确的价值观，提高科学地分析问题、解决问题的能力。
四、教学重难点
1、重点：建立古典概率模型 2、难点：准确建模并求解
五、教法学法分析
本节课属于建立模型教学。为了培养学生的自主学习能力，激发学习兴趣，在教学中采取以问题式引导发现法教学，利用多媒体等手段，引导学生进行观察讨论、归纳总结。
六、课时安排
1课时
七、教学过程
计算事件发生概率的大小时，要建立概率模型，这是高中数学的重点内容之一，也是高考的必考内容，把什么看成一个基本事件是人为规定的．今天我们学习如何建立概率模型。 （一）温故知新 1、古典概型的概念：
1)试验的所有可能结果(即基本事件)只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;
2)每一个结果出现的可能性相同。 2、古典概型的概率计算公式：
3、列表法计算概率：
【设计意图】复习古典概型是因为对于每一个实际问题我们都需要首先判断它是否是古典概型；复习古典概型的概率计算公式是为了探索古典概型问题时，古典概型中事件概率求法的理论推导时有所应用。
（二）课前热身
1.单选题是标准化考试中常用的题型.如果考生不会做,他从4个备选答案中随机地选择一个作答,他答对的概率是_1/4_.
2. 从集合 {1,2,3,4,5} 的所有子集中任取一个, 这个集合恰是集合 {1,2,3} 的子集的概率是_1/4_.
3.抛掷两枚均匀的骰子,出现数字之积为偶数与出现数字之积为奇数的概率分别是_3/4_、__1/4_.
【设计意图】三个实验都是古典概型，因此从试验出发寻找出它们的共同点，进而计算古典概型的概率。同时让同学自己探索培养了学生猜想、化归、观察比较、归纳问题的能力。
（三）问题导入
在古典概型中，同一个试验中基本事件的个数是不是永远一定的呢？为什么？
以投掷一枚质地均匀的骰子为例：
(1)若考虑向上的点数是多少,则可能出现1,2,3,4,5,6点，共有_6_个基本事件。；
(2)若考虑向上的点数是奇数还是偶数,则可能出现奇数或偶数，共_2_个基本事件；
(3)若把骰子的6个面分为3组(如相对两面为一组),分别涂上三种不同的颜色，则可以出现__3__个基本事件。答：不一定。一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个实验的结果）是人为规定的。只要基本事件的个数是有限的每次实验只有一个基本事件出现，且发生是等可能的，是一个古典概型。
【设计意图】从学生熟悉的试验出发，让同学们自己思考探索。
（四）新课推进
1.考虑摸球的号码时，每个号码都是等可能的，有10种结果，因此，任何一个号码被摸到的概率为______
2.如果考虑摸到球的号码是奇数还是偶数时，有两种结果：“奇数号码”、“偶数号码”两种结果是等可能出现的，因此其概率都是____
3.若考虑不同颜色的球摸到的概率，右图将1～5号球涂成红色，6～10号球涂成蓝色，可以看出红色和蓝色的概率都是_____ 4.能否设计一种方案是其使概率为1/5？
我们可以将1～10号球每两个涂成一种颜色，一共5种，则，每种颜色被摸到的概率就为1/5。
【设计意图】建立古典概型是本节课的重点，在这里设这几个练习可以起到检验同学是否真正理解古典概型的概率计算，同时也可以让同学们学会新知识的应用。
（五）新课讲授
一般来说,在建立概率模型时把什么看作是基本事件,即试验结果是人为规定的,也就是说,对于同一个随机试验,可以根据需要,建立满足我们要求的概率模型。
【设计意图】通过实例，引导学生进行知识的迁移，培养学生的逻辑思维能力，展示学生的思维过程，在课堂上把问题交给学生，提
倡学生自主学习的新理念。培养学生猜想，对比，论证的数学思维。
【例】口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，试计算第二个人摸到白球的概率。
分析：我们只需找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数．为此考虑用树状图列出所有可能结果。
解法一：用A表示事件“第二个人摸到白球”．把2个白球编上序号1，2；2个黑球也编上序号1，2。于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来(如下图)。
树状图是进行列举的一种常用方法。从上面的树状图可以看出，试验的所有可能结果数为24。由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此，这24种结果的出现是等可能的，试验属于古典概型。在这24种结果中，第二个人摸到白球的结果有12种，因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)＝12/24＝1/2，这与第一节的模拟结果是一致的。
还可以建立另外的模型来计算“第二个人摸到白球”的概率。如果建立的模型能使得试验的所有可能结果数变少，那么我们计算起来就更简便。 解法二：因为是计算“第二个人摸到白球”的概率，所以我们可以只考虑前两人摸球的情况。前两人依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来(如下图)．
从上面的树状图可以看出，这个模型的所有可能结果数为12，因为口袋里的4个球除颜色外完全相同，因此，这12种结果的出现是等可能的，这个模型也是古典概型。在上面12种结果中，第二个人摸到白球的结果有6种，因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)＝6/12＝1/2。
这里，我们是根据事件“第二个人摸到白球”的特点，利用试验结果的对称性，只考虑前两人摸球的情况，从而简化了模型。
我们还可以从另外一个角度来考虑这个问题．因为口袋里的4个球除颜色外完全相同，因此，可以对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，这样建立的模型的所有可能结果数就会更少，由此得到另一种解法。
解法三：只考虑球的颜色，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来(如下图)．
试验的所有可能结果数为6，并且这6种结果的出现是等可能的，这个模型是古典概型。在这6种结果中，第二个人摸到白球的结果有3种，因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)＝3/6＝1/2。
下面我们继续优化模型，再给出一种更为简单的解法。
解法四：只考虑第二个人摸出的球的情况，他可能摸到这4个球中的任何一个，这4种结果出现的可能性是相同的。第二个人摸到白球的结果有2种，因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)＝2/4＝1/2。
【思考】第三个人第四个人摸到白球的概率是多少？为什么？
利用这个模型，很容易算得第三个人和第四个人摸到白球的结果都为1/2，因此4个人顺次抓阄决定两件奖品的归属，每个人的中奖率都是1/2。
【设计意图】由于前面学生没有学习排列组合知识，因此用树状图列举基本事件的个数，不仅能让学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学生在列举的时候作到不重不漏，解决了求古典概型中基
本事件总数这一难点，同时渗透了数形结合及分类讨论的数学思想。
【点评】画树状图进行列举是计算结果个数的基本方法之一．
1.解法一利用树状图列出了4个人依次从袋中摸出一球的所有可能结果，共有24种，其中第二个人摸到白球的结果有12种，因此算得“第二个人摸到白球”的概率为1/2；
解法二利用试验结果的对称性，只考虑前两人摸球的情况，所有可能结果减少为12种，简化了模型；
解法三只考虑球的颜色，对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，所有可能结果只有6种；
解法四只考虑第二个人摸出的球的情况，所有可能结果变为4种，这个模型最简单。
2.尽管解法二、三、四建立的模型在解决该问题时比解法一简便，但解法一也有它的优势，利用解法一可以计算出4个人顺次摸球的任何一个事件的概率，而解法二、三、四却不能做到。教师要提醒学生，本章古典概率的计算，解法一是最基本的方法。 【抽象概括】1.从以上4种解法中，我们分别规定了不同的结果作为基本事件，只要我们在模型中规定了有限个基本事件，并且它们发生是等可能的，都是古典概型的问题；
2.这个问题说明不论第几次摸球，摸到白球的概率都是1/2，即抽签与顺序无
关。也说明统计中的简单随机抽样可以保证每一个样本被抽到的概率是相同的。 【变式训练】袋里装有 1 个白球和 3 个黑球,这4个球除颜色外完全相同, 4个人按顺序依次从中摸出一球.求第二个人摸到白球的概率。 （六）练习巩固
1.建立适当的古典概型解决下列问题:
(1)口袋里装有100个球,其中有1个白球和99个黑球,这些球除颜色外完全相同。100个人依次从中摸出一球,求第81个人摸到白球的概率。 (2)100个人依次抓阄决定1件奖品的归属,求最后一个人中奖的概率。 2.随意安排甲、乙、丙三人在三天节日里值班，每人值班一天，请计算： （1）这3人的值班顺序共有多少种不同的安排方法？ （2）甲在乙之前的排法有多少种？ （3）甲在乙之前的概率是多少？
3.假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A、C、J、K、S，她们应聘秘书工作，但只有三个秘书职位，因此5人中仅有3人被录用，如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率： （1）女孩K得到一个职位； （2）女孩K和S各自得到一个职位； （3）女孩K或S得到一个职位。
【设计意图】 进一步让学生掌握准确建立古典概型的方法，并能够学以致用，加深对本节课的理解。
（七）课堂小结
1.从不同的角度考虑，可以建立不同的概率模型来解决一个实际问题； 2.古典概型的所有可能结果数越少，问题的解决就变得越简单； 3.有很多不同的问题，我们还可以把它们归为同一个模型来解决。
【设计意图】 使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识，并把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用，也进一步升华了这节课所要表达的本质思想，让学生的认知更上一层。
（八）板书设计
八、教学设计反思
学生是学习的主体，他们的学习一定要亲身经历才会印象深刻，在学习的过程中，我尽可能地创设情境，让学生去感受、去体会知识的形成过程，从而使学生很好地进行知识建构。本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳后得出如何准确建立古典概型，再由问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；最后通过学生观察比较归纳总结，由特殊到一般得出建立古典概型的最优化方案，这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。教学过程设计以”问题串”的方式呈现为主,教学过程中强调基于问题解决的设计，在教师的引导下，让学生通过讨论、归纳、探究等方式自主获取知识，从而达到满意的教学效果。本节教学设计过程中，注重培养学生的应用能力，以及实际问题建模能力。在实际教学过程中，教师要根据学生的实际，重点指导学生如何建立古典概型，构建利于学生学习的有效教学情境，较好地拓展师生的活动空间，丰富教学手段，符合新课程的理念。
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