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视频标签：单位圆与任意角,正弦函数,余弦函数的定义
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视频课题：北师大版必修四高二4.1“单位圆与任意角的正弦函数函数、余弦函数的定义”江西省优课 
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北师大版必修四高二4.1“单位圆与任意角的正弦函数函数、余弦函数的定义”江西省优课
“单位圆与任意角的正弦函数函数、余弦函数的定义”
第一课时教学设计
一、教学内容解析
1、本节课是北师大版《数学4》第一章“三角函数”中的“单位圆与任意角的正弦函数函数、余弦函数的定义（第一课时）”，其重点内容是任意角的三角函数概念的建构.通过引入直角坐标系，实现用锐角终边上点的坐标表示锐角的三角函数值（坐标化）；随着单位圆的引入（形式优化），进而引导学生注意到在单位圆中，锐角和单位圆上的点有对应关系，因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，从而发现锐角的弧度数和单位圆上点的坐标之间形成函数关系（函数化）；最终形成任意角的三角函数的概念（一般化）.之后，通过例题闯关，应用了概念，加强了对概念的理解（概念理解强化）.
2、任意角的三角函数是三角学内容的基础，是后续内容学习的思维起点，是整个三角学认知结构的生长点.它的学习既是学科系统内部知识发展的需要，又是坐标思想、数形结合思想的载体，更是对函数概念理解和认识的一次升华.学习过程中的认知冲突，容易激发学生思维的积极性，有助于探究、创新能力的培养.由锐角三角函数的定义到任意角三角函数的定义是学生认识上的突破，也是体会特殊到一般思想的良好素材. 二、教学目标设置
1、知识与技能：①借助单位圆让学生认识和理解任意角的三角函数的定义②让学生能根据定义判定三角函数的符号③让学生知道公式一，并由此体会三角函数的周期性特点.
2、过程与方法：①通过回忆初中的锐角三角函数定义，发现角概念推广后其局限性，必须寻找其它方式定义；②在形成新的锐角三角函数定义的过程中领悟坐标法的优越性，加深对函数概念的理解；③由特殊到一般的思想推广到任意角的三角函数定义；④通过探究任意角正弦函数定义，类比得到任意角的余弦函数和正切函数，培养学生类比分析的能力；⑤通过对三角函数值在各个象限符号的确定，培养学生利用规律解决问题的意识；⑥通过对公式一的学习，培养学生数形结合的意识，让学生体会三角函数的周期性.
3、情感态度与价值观：①培养学生在运动变化的过程中认识知识的发生和发展，体会知识之间的内在联系，感悟知识的整体性；②通过小组合作交流，倡导学生主动参与课堂，培养学生团队合作的意识；③通过对新知识的探究，培养学生分析解决问题的能力和理性思维的能力. 三、教学重点
1、对任意角的正弦函数、余弦函数定义的理解；2、正弦、余弦、正切函数值在各个象限内符号的确定；3、三角函数的周期性特点（公式一）. 四、教学难点
任意角的三角函数概念的建构过程. 五、学生学情分析
学生在初中学习的锐角三角函数是以锐角为自变量，以边的比值为函数值的函数，以及高中学习过的函数的定义和任意角及弧度制，这些是学生学习任意角的三角函数知识的基础和依据.本节课从研究锐角三角函数的概念出发，更容易激发学生学习的热情，从而催生学生创造性思维.在概念建构的过程中，学生必需经历由特殊到一般的认识过程以及把新的概念纳入到一般函数的结构之中，这是认知过程的一道坎，又是认知的一次升华. 六、教学策略分析
本课采用“引”“探”相结合的方式，将问题以问题串的形式展现，让学生在愤悱中形
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成认知冲突，体会、感悟数学研究的一般思路和方法. 课堂中以学生为主体，将学生分成若干小组，使学生全员参与课堂，通过学生之间合作交流，教师间或参与学生的讨论，对有困惑的小组或者个别学生进行帮助和引导，培养学生主动探究新知识的能力.此外，为了提高教学效果，使课堂教学更生动形象，利用多媒体课件进行教学. 七、教学过程
（一）创设情境，导入新课
（问题1到问题2是温故知新化过程）
问题1 初中我们在直角三角形中学习过锐角三角函数，你能回忆出初中锐角的正弦、余弦、正切函数是怎样定义的吗？你能说出它们的自变量是什么，又以什么为函数值呢？自变量的范围是什么？
设计意图：要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，因此对锐角三角函数的复习是必不可少的.将锐角三角函数融入学生已有的函数知识结构中，容易为学生建立起任意角的三角函数获取心理逻辑的自然.
问题2 在高中，随着角的概念的推广和弧度制的引入，角的范围变成了全体实数R，那么对于任意角，比如当为钝角时，角 的“斜边”这种说法还存在吗？那么任意角的三角函数该如何定义呢？
设计意图：利用角的变化作为思维的切入点，打破学生已有的认知结构的平衡，感受学习新知识的必要性，即角的范围扩大了，初中锐角三角函数的定义也应该与时俱进，这有利于将探究的主动权交给学生. （二）提出问题，探求新知
（问题3到问题5是定义坐标化过程） 问题3 中国有句古话说的好，“工欲善其事，必先利其器”.随着角的概念推广和弧度制的引入，我们一般借助什么工具来研究角？
设计意图：依托学生已有的经验，启发学生联想，触发学生的灵感，为坐标法的实施奠定研究的基础.
问题4 我们先研究哪种角呢？是直接研究任意角的情形还是先研究锐角的情形呢？ 设计意图：以锐角三角函数的研究为本节课知识的“生长点”，这样的研究符合学生的认知规律，学生有思考的落脚点，更能够激发学生的求知欲，由特殊到一般的思想突破本节课任意角三角函数概念的建构这一教学难点.
问题5 对于任意角都有始边和终边.在直角坐标系中，如何放置锐角可以方便研究？在锐角的终边上任取一点(,)Pab，它与原点O的距离为r，你能用点P的坐标及r来表示锐角的三角函数吗？
设计意图：把锐角放在直角坐标系下对学生来说比较简单，构造直角三角形也是一目了然的，这样可以把复习的初中的锐角三角函数的定义纳入直角坐标系，将边长的比变成坐标关系，为任意角的三角函数定义的给出做好铺垫.提及“始边”、“终边”也是为了概念一般化做铺垫.
（问题6到问题7是表达式形式优化过程）
问题6 当锐角确定，如果改变的终边上的P点位置，角的正弦值会发生改变吗？ 设计意图：问正弦值这一种情况，方便师生研究.余弦值和正切值可以类比得到，更方便学生理解（下面有类似问法也是同样考虑）;由三角形相似，说明在终边上任意取点不影响三角函数值. 这是为单位圆定义的提出做好铺垫.
问题7 数学追求“简洁美”，既然这三个比值与终边上点P的位置无关，那么当P点选在何处时，sincos和的形式最简单？
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设计意图：通过问题的形式过渡，自然得出单位圆的概念.由此便可顺势得出sincos和的简化形式，体现了数学的“简洁美”.同时也明确在单位圆的背景下，锐角和单位圆上P点有对应关系.
（问题8到问题10是函数化过程）
问题8 当锐角发生变化时，P点的坐标会发生相应的改变吗？（追问）当锐角确定了，P点的坐标是否唯一确定？（配合动画演示）（教师板书：任意锐角（实数）→唯一实数b；任意锐角（实数）→唯一实数a.）
设计意图：初中学生对函数理解还比较肤浅，这里提出的问题扣准了函数概念的内涵，突出了变量之间的依赖关系及对应关系，是从一般函数知识演绎到三角函数知识的重要环节，是准确理解三角函数概念的关键.
问题9 你能给这个函数（任意锐角（实数）→唯一实数b）命名吗？
设计意图：只单问一个函数，可以方便学生思考，也方便师生共同总结，还可以让学生在自行总结任意角的三角函数概念时有参照对象.
问题10 既然是函数，你能说出锐角正弦函数的自变量吗？以什么为函数值呢？ 设计意图：让学生能更好的理解锐角三角函数的定义，同时为总结任意角三角函数定义打好基础.
（问题11到问题12是特殊到一般化过程）
问题11 我们现在得到的锐角三角函数的定义和初中所学锐角三角函数定义有什么区别？ 设计意图：加强学生对新的定义方式的理解，让学生意识到任意角没有“斜边”，但是有“始边”、“终边”，从而发现对于任意角，如果始边放在x轴非负半轴上，其终边定与单位圆有唯一交点，从而能形成函数关系.为归纳任意角三角函数概念扫清心理障碍.
问题12 由特殊到一般的思想，你能给任意角的三角函数下一个定义吗？（教师在与学生交流中，板书定义）
设计意图：利用类比、迁移的认知规律，学生容易给出任意角的三角函数定义.学生可以意识到锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角三角函数是锐角三角函数的自然延伸. （三）分析思考，加深理解
（下列问题是概念理解强化过程）
问题13 既然它们是函数，就要注意其定义域，它是函数的“生命之域”，那么正弦、余弦、正切函数的定义域分别是什么？ 设计意图：因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数，强调了其函数属性.
问题14 当为锐角时，sin,cos,tan的值都是正数，当的终边落在各个象限时，它们分别取什么符号？
设计意图：对比锐角三角函数，让学生再次回忆任意角三角函数的定义，培养学生利用规律解决问题的意识.
设置一个阅读环节，让学生阅读“三角函数名称由来简史”.
设计意图：通过三角知识简史的阅读，让学生有新奇感，同时提高课堂的数学文化感，让学生感知数学是源于生活的.以此，进一步激发学生的学习热情. （四）强化训练，巩固双基 第一关 求
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的正弦、余弦和正切的值. 设计意图：将例题以闯关的形式呈现，和综艺节目设置相似，寓教于乐，能激发学生的学习热情；明确已知角的终边，要求其三角函数值，可以先求终边与单位圆的交点坐标，通过运
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用概念，巩固对概念的理解. 问题15 （追问）求
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的正弦、余弦和正切的值. 设计意图：引起学生发现这两个角的终边是重合的，所以它们与单位圆的交点坐标相同，由任意角三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值是相等的.让学生体验到公式一的作用和三角函数的周期性.
第二关 确定下列三角函数值的符号： （1）cos260
； （2）sin()4
； （3）tan(700)； （4）tan3.
第三关 求下列三角函数值：
(1)sin(1050)； 9(2)cos4； 11(3)tan()6
. 设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本节课的教学目标之一，引导学生抓住定义、数
形结合判断三角函数值的正负符号，同时应用终边相同的角的同一三角函数值是相等的这一结论.
第四关 已知角
的终边经过点0(3,4),P求角的正弦，余弦和正切值.
0(3,4)(0),Paaa情况又如何？
设计意图：该点不在单位圆上，与例题1的解法对比；为课后探究“角终边上任一点
(,)Qxy，求角的正弦、余弦和正切的值.”这一问题作铺垫；增加了一个问题，加强了
学生对任意角三角函数定义的理解，同时渗透了分类讨论的思想. （五）课堂小结,升华提高
知识与技能：任意角三角函数的定义（单位圆）；能根据定义判定三角函数的符号；公式一（终边相同的角的同一三角函数值相等）即三角函数的周期性特点. 思想与方法：坐标法、特殊到一般、数形结合、类比、转化、分类讨论.
设计意图：让学生自己总结，教师补充，并且提醒学生知识重要，探究的思想与方法更重要，体现了教学应以学生为主体，教师为主导的新课标理念.
（六）作业布置：1、课本15页练习2、3、5.
2、假设角的顶点是直角坐标系的原点，始边与x轴的非负半轴重合，
已知角终边上任一点(,)Qxy，求角的正弦、余弦和正切函数值. 3、通过本节课学习，你对任意角三角函数有哪些新的认识？利用定义你能解决哪些问题？你还有哪些不明白的地方？请把它写下来.
设计意图：体现作业的多样性，鼓励学有余力的同学课后探究，因材施教，多元发展. 教师和学生同唱励志歌曲《奔跑》，课堂在歌声中结束.
设计意图：拉近师生关系，也鼓励学生不畏艰难，在学习过程中保持奔跑的态度.在数
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学课堂也可以渗透品德教育.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
