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视频标签：三角函数的周期性,余弦函数的性质
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视频课题：高中数学人教A版必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质-宁夏 - 吴忠三角函数的周期性
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高中数学人教A版必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质-宁夏 - 吴忠三角函数的周期性教学设计晒
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
(第一课时：正余弦函数的周期性)
一、教材分析
1、教材的地位和作用
《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数的其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．
2、目标分析
本课的教学目标：
1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．
2．会求一些简单三角函数的周期.
3.从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sinx图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法分别从动态和静态研究正弦函数y=sinx的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．
4.让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力．
二、学情分析：
学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．
三、教学重点和难点
重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性．
难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期．
四、教法分析
1.教学方法:引导发现法、探索讨论法
为了把发现创造的机会还给学生,把成功的体验让给学生,为了立足于学生思维发展,着力于知识建构,就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的机会;为了激发学生学习的积极性和创造性,分享到探索知识的方法和乐趣,使数学教学成为再发现,再创造的过程．
2.学法指导: 问题探究法
根据课程标准“倡导积极主动，勇于探索的学习方式”理念，教材内容的特点以及学生的知识、能力、情感等因素，本节课宜采用问题探究法．
3.教学手段：借助多媒体和几何画板辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性．
四、设计思路
三角函数周期性的学习是为学习三角函数的图像和性质提供了问题背景，教学时充分运用这些问题背景以突出“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题.
周期函数的定义是教学中的一个难点.在教学中，可以从“周而复始的重复出现”出发，通过实际模型，一步步使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”“函数值就重复出现”等逐步抽象出函数周期性的定义.
教学中可以引导学生通过对三角函数实例的具体分析，帮助认识周期及周期函数.不应对一般的周期函数作过多的讨论.
五、教学准备
多媒体课件、实物投影仪、教学案，几何画板，电子白板
六、教学流程
七、教学过程
预计
时间 教学
程序 教学内容
师生
活动 信息
技术 设计意图
1
分钟
1
分钟
1
分钟
创
设
问
题
情
境
白居易的诗中“一岁一枯荣”描述的是怎样的一种景象？
歌曲《花心》中，那些歌词描述了周而复始的景象？
生活中有哪些周而复始现象 ？ 学生思考回答问题
学生举例 利用多媒体展示诗，利用播放器播放音乐.
多媒体展示丰富的教学资源 从实际问题引入，使学生了解数学来源于生活．
问题的提出为学生的思维提供强大动力，激发学生的探究欲望.
2
分钟
复
习
回
顾
引导学生回顾：
1．诱导公式（一）
2．正弦线
3．利用正弦线画正弦函数图象（动画演示） 学生共同回忆复习 利用几何画板及ppT动态展示。
复习回顾为接下来的课做好铺垫，同时通过动态演示让学生直观感受到正弦函数具有周而复始的变化规律
12分钟
构
建
周
期
函
数
定
义
周期函数及周期的定义
由动画演示观察可得：
正弦函数图象具有周而复始的变化规律
问题：图象具有周而复始的变化规律如何用数学表达式来表达？
正弦函数y=sinx图象
观察正弦函数y=sinx图象特征可知：
在区间 、 、 …内重复．
从数的角度：由三角函数图象的和诱导公式可得：sin(2π+x)=sinx；从形的角度：在几何画板中动态说明，sin(2π+x)=sinx；
问: 对于sin(2π+x)=sinx,
若记f(x)=sinx,则对于任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x)即f(x+T)=f(x)
周期函数及周期的定义
周期函数定义如下：一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
1等式 是否成立?如果这个等式成立,能否说 是正弦函数 的一个周期？
学生发现
结论，尝试表达。
学生理解周期函数定义
利用PPT及几何画板动态解释正余弦函数的周期性。
PPT展示 通过对正弦函数y=sinx图象观察、分析，结合诱导公式，由生活中的周期现象到数学中的周期现象，由具体到抽象，构建出周期函数的定义，这样设计主要是立足于从学生的最近思维区入手，着力于知识建构，培养学生观察、分析和抽象概括能力,并进一步渗透数形结合思想方法.
通过对正弦函数周期性特点引到一般函数周期性特点，引出周期函数的定义，并进一步渗透由特殊到一般的思想方法。
2
分钟
正弦函数的周期和最小正周期的定义.
函数y=sinx的周期： 、 、 、……2kπ(k∈Z且k≠0).
最小正周期的概念.
对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.
上面的函数y=sinx的最小正周期为 .
学生看图说话。
PPT动态展示说明正弦函数的周期性不唯一。
让学生理解最小正周期的定义，培养学生的数形结合能力．
教学程序
教学内容
师生
活动
信息
技术
设计意图
3
分钟
3
分钟
探究
余弦
函数
的周期
问题：
余弦函数y=cosx是周期函数吗？，请找出它的周期，
一般函数
则T是f(x)的周期，kT也是f(x)的周期。
f(x)的周期10,f(2)=3.则f(22)＝
学生在白板上写出解题过程给大家讲解
PPT展示
利用电子白板功能展示 通过对定义的理解、余弦函数图象，类比正弦函数，可以得到余弦函数是周期函数，这样使学生加深对定义的理解，培养学生类比思想和数形结合能力．
4
分钟
4
分钟
应
用
例1.求下列函数的周期：
(1)y=3cosx
(2)y=sin2x
同座位之间互编一道题来做，
实物投影仪展示一位同学的作业；
叫三个同学板演三道题。
请同学们观察“w与T之间的关系？
学生之间互编一道题来做，
三个同学板演
实物投影仪展示 设计例1使学生加深对定义的理解，培养学生的数形结合能力．
通过多种教学资源让学生体会知识的来源.
引出周期公式
1
分钟
拓
展
延
伸
记下思考题
PPT展示
学生自己动手利用所学新知推导简谐运动函数的周期公式，培养学生动手钻研的能力。
4
分钟
知
识
迁
移 例2：若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示：(1)求该函数的周期; (2)求t=10s时钟摆的高度．
小组讨论
回答问题 进一步帮助同学理解周期函数的定义，并为正弦函数图象的学习打下良好的基础.
6
分钟
测
评
练
习
求下列函数的周期：
(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ,
(4) ，
（5）看图判断函数的周期
学生独立思考
PPT展示
通过测评练习能准确、及时地了解学生对本节课的掌握情况,做到及时反馈、评价,
让学生感受到求函数的周期可利用定义法，图象法，以及思考题中的公式法。
1
分钟
回
顾
反
思
1.周期函数、周期概念．
2.函数y=sinx和函数y=cosx是周期函数,且周期均为2π.
3.周期的求法： ①图象法 ②定义法
4.探索问题的思想方法
引导学生对所学知识进行小结,有利于学生对已有的知识结构进行编码处理,加强记忆．
作
业
幻灯片中思考题
P36 练习2
P46 3, 10
学生记下 课外作业及思考题的布置是为了进一步巩固课堂所学知识；
让学生把课堂探索拓展到课外探索，进一步激发学生探究欲望.
五.评价分析:
1．个别学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化”的本质学生感到有一定困难.上课时虽然借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维,但是还是有部分学生理解起来有困难.这方面的训练以后要加强.
2．部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，课后要及时对他们加强辅导．
3．学生运用定义求函数周期掌握得不是很好. 上黑板板演的学生都出现了不同程度的错误.在以后的教学中还需进一步加强．
4.PPT、几何画板以及电子白板的使用使学生对本节课重难点的突破更加有说服力，加深理解，强化记忆。
5.情境引入，从实际生活出发以及学生感兴趣的入手，通过白居易的诗以及周华健的歌大大激发了学生学习本节课的欲望。
附：板书设计
课题：正弦、余弦函数的周期性
设计意图
1． 周期函数定义 3.例1板演及学生演示区
2． 正弦函数y=sinx的周期为
余弦函数y=cosx的周期为
为了使学生全面系统地了解本节内容的知识结构,达到突出重点,简洁明了的目的.
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