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视频标签：任意角的正弦函数,余弦函数的定义
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视频课题：北师大版必修四高二4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义_安徽省 - 阜阳
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北师大版必修四高二4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义_安徽省 - 阜阳
教学目标
1.知识与技能:
借助单位圆认识和理解任意角正弦函数、余弦函数的定义。
2.过程与方法:
在借助单位圆认识任意角三角函数的定义的过程中,体会数形结合的思想,并利用这一思想解决有关定义应用的问题.
3.情感态度与价值观
通过本节的学习,使学生认识到事物之间是有联系的,体会转化思想。
2学情分析
在初中,学生已学过锐角三角函数,知道直角三角形中锐角的三角函数等于相应边长的比值.在此基础上,随着本章将角的概念推广,以及引入弧度制后,这里相应地也要将锐角三角函数推广为任意角的三角函数.任意角的三角函数是研究一个实数集(角的弧度数构成的集合)到另一个实数集(角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系,认识它需要借助单位圆、角的终边以及二者的交点这些几何图形的直观帮助,这中间体现了数形结合的思想.三角函数是又一种基本初等函数,它作为描述周期变化现象的最常见、最基本的数学模型,不仅在高中数学中有广泛的应用,而且在其他领域中也具有广泛的应用.而任意角三角函数的概念又是整个三角函数内容的基础,所以它不仅是三角函数内容的核心概念,同时在高中数学中还占有重要的地位.本节课将围绕任意角三角函数的概念展开,任意角三角函数的定义是这节课的重点,能够利用单位圆认识该定义是解决教学重点的关键.
3重点难点
重点: 任意角的正弦、余弦定义(包括这两种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);
难点: 任意角的正弦、余弦定义的正确理解.
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学目标
1.知识与技能:
借助单位圆认识和理解任意角正弦函数、余弦函数的定义。
2.过程与方法:
在借助单位圆认识任意角三角函数的定义的过程中,体会数形结合的思想,并利用这一思想解决有关定义应用的问题.
3.情感态度与价值观
通过本节的学习,使学生认识到事物之间是有联系的,体会转化思想。
4.1.2学时重点
重点: 任意角的正弦、余弦定义(包括这两种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);
4.1.3学时难点
难点: 任意角的正弦、余弦定义的正确理解.
4.1.4教学活动
活动1【活动】1、创设情境，提出问题
1、创设情境,提出问题
我们知道,在日常生活中,到处都有圆周运动的现象,如钟表的旋转、车轮的转动等.而函数是研究现实生活中变量之间具有依存关系的一种手段和方法,那么,针对具有周而复始现象的圆周运动,我们该选用什么样的函数模型刻画它呢?
活动2【导入】2、思考交流，认识本质
(几何画板动画演示)设质点P绕坐标原点O做圆周运动,连接OP形成射线,点P在转动的过程中,射线OP随之旋转形成了角,那么刻画圆周运动的函数模型就一定会与角有密切的联系.在大家已有的知识储备中,哪一个函数模型与角有关系?
问题1:初中的锐角三角函数是如何定义的?
【设计意图:温故知新,为新定义寻找知识的生成点】
通过上节课的学习,角的范围已拓展到任意角,很显然,再借助直角三角形定义任意角的三角函数已不可能,那么,该如何定义任意角的三角函数呢?(书写课题:单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义(第一课时))
前面的学习中,我们都是借助直角坐标系认识角的,请思考下面的
问题2:怎样把直角三角形ABC放入直角坐标系符合我们研究角的习惯?
师:很好!请接着思考
问题3:把 放入如图所示的坐标系,此时,直角边长a,b,斜边c有新的寓意吗?
【设计意图:换个角度认识锐角三角函数,为用角 终边上点的坐标定义三角函数埋下了伏笔】
师:非常好!创新思维和发散思维的体现!也就是:
师:让我们继续下面的思考,
问题4:使用锐角 终边上点B的坐标来定义锐角 的三角函数,点B的位置选择在哪儿呢?点B的位置选择的差异,会改变给定的锐角 的三角函数值吗?
问题5:既然点B位置选择的差异,不会影响锐角 的三角函数值,为了简洁地表述定义,能简化上述表示吗?
师:锐角 的正弦、余弦和正切可以进一步表示为:
【设计意图:培养学生的数学求简意识,从“终边定义法”自然过渡到 “单位圆定义法”】
师:请大家继续思考
问题6:你能从函数的观点,说明上述表示是函数吗?
【设计意图:既弥补了初中锐角三角函数对“函数性”解释的缺失,又为“任意角的三角函数定义”的函数性解释做了必要的铺垫.】
活动3【活动】3、合作探究，升华认识
师:上述表示可以称之为锐角三角函数.现在我们对角的认识已经扩大到了任意角范围,
请大家思考下面的
问题7:用锐角 的终边与单位圆的交点坐标定义的锐角三角函数,能从锐角推广到任意角吗?说说你的理由.
(几何画板演示)
4.抽象概括,得出定义
师:既然大家都同意这种推广,你能用自己的语言定义任意角的三角函数吗?
【设计意图:用文字语言、图形语言、符号语言分别描述数学概念,深入理解数学概念的内涵与外延,掌握概念的本质,在师生交流、反馈中去伪存真,完善定义.】
既然任意角的三角函数可以用坐标来表示,而坐标本身是有正负的,那么来思考一个问题,
问题8:如图,当角 的终边分别落在第一象限、第二象限、第三象限、第四象限时,角 的正弦函数值、余弦函数值是正还是负?
归纳:由于角 的正弦函数、余弦函数是用角 的终边与单位圆的交点P的坐标 来定义的,因此,任一角 的正弦函数值、余弦函数值的符号,分别和该角与单位圆交点的纵坐标、横坐标符号一致。
5、例题练习:
例1.在直角坐标系的单位圆中, ,
(1)画出角
(2)求角 的终边与单位圆的交点坐标。
(3)求角 的正弦函数值、余弦函数值。
(学生)归纳: 定义法解题步骤
第一步:根据条件画出图形
第二步:找到所求角的终边
第三步:求出角终边与单位圆的交点坐标
变式:已知角a的终边在直线 上,求
【设计意图:考察学生是否知道找角终边与单位圆的交点,深入理解任意角的概念,掌握概念的本质.】
思考:已知角a终边上任一点P (x, y),如何求它的三角函数值呢?
活动4【讲授】【课堂小结】
①通过本节课的学习,谈谈你有哪些收获
②初中学习的锐角三角函数与今天定义的任意角的三角函数的区别是什么?
③为什么可以用今天学习的“任意角的三角函数”来刻画圆周运动?
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
