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视频课题：初中数学人教版八年级上册11.3 .1 多边形(第1课时)辽宁省 - 抚顺
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初中数学人教版八年级上册11.3 .1 多边形(第1课时)辽宁省 - 抚顺
1.3 .1 多边形(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
多边形及其有关概念，多边形分类，多边形对角线总数和公式．
2．内容解析
多边形及其有关概念包括多边形的定义，多边形的边、内角、外角、对角线，凸多边形，正多边形等．多边形以三角形为基础，多边形的边、内角、外角、等有关概念都可与三角形类比．多边形的对角线能把多边形分成几个三角形，因此，多边形的问题通常可以转化为三角形的问题来解决．
多边形对角线总数和公式的探索是从具体的正方形、长方形(此时尚未引进矩形概念)的对角线总数和研究出发，逐步深入地提出一般的问题，如，①任意一个四边形对角线总数和是多少②你能推导出五边形和六边形的对角线总数和各是多少吗？③你能发现多边形的对角线与边数的关系吗？进而获得一般结论，并加以推理论证，这个过程体现了从具体到抽象的研究问题的方法．多边形对角线总数和公式的探索涉及将多边形分割成若干个三角形的化归过程，即将多边形分割成若干个三角形，得出多边形对角线总数和的公式，这个过程体现了将复杂图形化为简单的基本单元的化归思想．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：多边形对角线总数和公式的探索．过程 二、目标和目标解析 1．目标
(1)了解多边形的有关概念，感悟类比方法的价值．
(2)探索并证明多边形对角线总数和公式，体会化归思想和从具体到抽象的研究问题的方法． (3)运用多边形知识解决简单问题． 2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生能类比三角形的有关概念，了解多边形及多边形的边、内角、外角、对角线、凸多边形、正多边形等的有关特征，并能从具体情境中识别它们，感悟类比的方法在学习多边形有关概念中的重要价值．
达成目标(2)的标志：学生能在教师的启发引导下，从具体的、特殊的四边形对角线总数和研究出发，逐步探索四边形、五边形、六边形……n边形对角线总数和，并利用推理证明n边形对角线总数和公式，体会从具体到抽象的研究问题方法．在四边形、五边形、六边形……n边形分割成若干个三角形的过程中，感悟化归思想．
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达成目标(3)的标志：学生能将公式运用于简单的多边形对角线条数计算，能在多边形问题情境(如计算正多边形的每个内角的大小)中，自觉地联想用该公式解决问题．
三、教学问题诊断分析
由具体的、特殊的多边形对角线总数和到n边形对角线总数和公式的获得，是一个多层次的探索过程，本质上是由具体到抽象以及逻辑推理的过程．如何获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，如何确定分割后三角形的个数，这个过程不但结论具有多样性和变化性，而且需要关注的因素也较多——边数、从一个顶点出发的对角线数、分割的三角形数、等，学生把握这一过程会有一定难度．教学的关键是①引导学生弄清解决问题(推导)的层次；②引导学生注意相关的因素(边数、从一个顶点出发的对角线数、三角形数)；③引导学生观察相关因素之间的变化关系(即边数的变化引起从一个顶点出发的对角线数的变化、对角线数的变化又引起三角形个数的变化)，并使上述的①②③直观化．
本节课的教学难点：获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，确定分割后的三角形的个数． 四、教学过程设计 1．了解多边形的有关概念
教师引入本节课内容：前面我们已经研究了三角形的有关概念和性质，那么由条数大于三的线段首尾相接组成的封闭图形的概念和性质是什么呢？它们和三角形中的有关概念和性质是否有相似之处呢？让我们一起来探究吧．
问题1 (1)你能从图1中想象出几个由一些线段围成的图形吗？ (2)类比三角形的定义，你能给多边形下定义吗？
图1
师生活动：学生边看、边议．教师引导学生回忆三角形的定义，并仿照三角形的定义给多边形下定义．教师举例说明多边形定义中的“在平面内”的意义．
设计意图：让学生类比三角形的定义给多边形下定义，感悟类比方法的重要作用．
追问1：多边形按组成它的线段的条数可以分成三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形．你能说出图2是几边形吗？
师生活动：教师介绍多边形的分类，学生回答图2是五边形．
追问2：在三角形中，我们专门研究了它的内角、外角．类似地，你能结合图2和图3指出这个五边
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形的内角、外角吗？
图2 图3 图4
师生活动：学生回答图2中的∠A，∠B，∠C，∠D，∠E是五边形ABCDE的5个内角，图3中的∠l是五边形ABCDE的一个外角．教师进而指出，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．
设计意图：让学生了解多边形的概念，并通过类比的方法，了解多边形的内角、外角．
追问3：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图4，从五边形ABCDE的一个顶点出发可以得到几条对角线？过六边形ABCDEF的顶点C画出所有的对角线，此时共有几条对角线？
师生活动：教师介绍对角线的概念，学生通过画图回答问题．
设计意图：让学生了解对角线的概念，通过画出从一个顶点出发的六边形的对角线，为研究n边形的内角和做铺垫．
追问4：你能说出图5中两个四边形的异同点吗？
(1)
(2)
图5
师生活动：教师引导学生分析得出，在图(1)中，画出四边形ABCD的任何一条边(例如CD)所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧；在图(2)中，画出边CD所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧．教师介绍：像图(1)这样的多边形称为凸多边形，本节只讨论凸多边形．
设计意图：让学生了解凸多边形的概念．
追问5：正方形的边、角有什么特点？你能给正多边形下定义吗？图6中的各个图形分别读作什么？ 师生活动：(1)学生回答，并给正多边形下定义；(2)教师与学生共同分析正多边形的两个条件，并通过反例(如一般的长方形各个内角都相等，但它不是正方形；一般的菱形各
边都相等，它也不是正方形)，说明“各个角都相等、各条边都相等”两个条件缺一不可；(3)学生指出图6中的图形分别是正三角形、正方形、正五边形、正六边形．
图6
设计意图：让学生类比正方形学习正多边形，提高学生的学习能力． 2．探索四边形、五边形、六边形的对角线总数和 问题2
探究：1、从四边形的一个顶点出发,可以引 条对角线,它将四边形分成 个三角形；
2、从五边形的一个顶点出发,可以引 条对角线,它将五边形分成 个三角形； 3、从六边形的一个顶点出发,可以引 条对角线,它将六边形分成 个三角形； 4、从n边形的一个顶点出发,可以引 条对角线,它将n边形分成 个三角形； 5、从n边形的n个顶点出发共可以引多少条对角线？
师生活动：教师引导学生分析问题解决的思路——如何利用三角形对角线条数求出四边形的对角线条数，进而发现：只需连接一条对角线，即可将一个四边形分割为两个三角形(学生说出证明过程，教师板书．
设计意图：(1)从学生熟悉的、已知的特例出发，建立起四边形和三角形之间的联系，为提出一般问题做铺垫；(2)通过连接四边形的对角线，将四边形分割成两个三角形，得出四边形对角线条数，这个环节渗透了将复杂图形化为简单的基本单元的化归思想．
追问1：这里连接对角线起到什么作用？
师生活动：学生回答：将四边形分割成两个三角形，进而将四边形的问题转化为三角形问题． 设计意图：让学生进一步感受边的数量在探索四边形对角线总数和中的作用，体会化归思想． 追问2：类比前面的过程，你能推导出五边形对角线总数和吗？
设计意图：将研究方法进行迁移，明确边数、从一个顶点作出的对角线条数、分割的三角形数、对角线总数之间的关系，为进一步探究六边形内角和奠定基础．
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图8 图9
追问3：如图9，从六边形的一个顶点出发，可以作______条对角线， 师生活动：学生类比四边形、五边形的研究过程回答追问3． 3．探索并证明n边形的内角和公式
问题3 你能从四边形、五边形、六边形的内角和的研究过程获得启发，发现多边形的对角线总数与边数的关系吗？能证明你发现的结论吗？
设计意图：让学生体会从具体到抽象的研究问题方法，感悟化归思想
的作用．
追问1：通过前面的探究，填写下面表格：
师生活动：师生共同填写表格，得出规律：
设计意图：通过填写表格，回顾n边形对角线总数的探索思路． 5．小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： (1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)我们是怎样得到多边形对角线总数和公式的？
设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，凸显将复杂图形化为简单的基本单元的化归思想，强调从具体到抽象研究问题的方法．
6．布置作业
教科书习题11.3第1，2
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