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视频课题:人教版初中数学九年级上册二次函数动点问题-新
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人教版初中数学九年级上册二次函数动点问题-新 疆 - 石河子
二次函数动点问题
1、如图,已知二次函数y=42
3
412
xx的图象与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点,其对称轴与x轴交于点D,连接AC. (1)点A的坐标为_______ ,点C的坐标为_______ ;
(2)线段AC上是否存在点E,使得△EDC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由; (3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,若所得△PAC的面积为S,则S取何值时,相应的点P有且只有2个?
2、已知抛物线
)0(2acbxaxy经过点B(2,0)和点C(0,8)
,且它的对称轴是直线2x。 (1)求抛物线与x轴的另一交点A坐标;(2)求此抛物线的解析式;
(3)连结AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B)不重合,过点E作EF∥AC交BC于点F,连结CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式;
(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的
坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由。
3、如图,四边形ABCD是平行四边形,AB=4,OB=2,抛物线过A、B、C三点,与x轴交于另一点D.一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动,运动到点A停止,同时一动点Q从点D出发,以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动,与点P同时停止.
(1)求抛物线的解析式; (2)若抛物线的对称轴与AB交于点E,与x轴交于点F,当点P运动时间t为何值时,四边形POQE是等腰梯形? (3)当t为何值时,以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似?
2 / 5
y P(x,y) A
B
C
O N
D
x
y=kx+4
4、如图1,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为 (2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3. (1)求该抛物线的函数关系式;
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从
图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度.....从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).① 当t=
时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;
② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
5.已知抛物线y=ax2
+bx+c(a>0)的图象经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为x=2.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的结论下,直线x=1上是否存在点M使,△MPQ为等腰三角形?若存在,请求出所有点M的坐标,若不存在,请说明理由.
7.如图,抛物线y=ax2
+bx+c经过原点O,与x轴交于另一点N,直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点,与抛物线交于点B(1,m)、C(2,2). (1)求直线与抛物线的解析式.
(2)若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x,y),设∠PON=,求当△PON的面积最大时tan的值.
(3)若动点P保持(2)中的运动线路,问是否存在点P,使得△POA的面积等于△PON的面积的 8
15?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2
5
图2
B
C
O
A D E
M
y x
P
N · 图1
B
C
O (A)
D
E M y
x
x
y
OQ
P
D
B
C
A
3 / 5
答案:1、
2、解(1)∵抛物线
Cbxaxy2的对称轴是直线2x∴由对称性可得A点的坐标为(-6,0)
(2)∵点C(0,8)在抛物线
Cbxaxy2的图象上8C将A(-6,0)
、B(2,0)代入表达式得
824086360baba解得
38
32ba∴所求解析式为83832xxy[也可用(6)(2)yaxx代入C(0,8)求出a] (3)依题意,AE=m,则BE=8-m∵OA=6,OC=8,∴AC=10∵EF//AC ∴BEF≌BAC
4540mEFABBFACEF
即过点F作FG⊥AB,垂足为G,则54
CABSFEGSinin mmFGEFFG845405454BFEBCESSS)8)(8(218)8(21mmmmm42
12 (4)存在.理由如下:02
18)4(214212
2且mmmS∴当m=4时,S有最大值,S最大值=8
∵m=4∴点E的坐标为(——-2,0)BCE为等腰三角形 3、解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OC=AB=4.∴A(4,2),B(0,2),C(-4,0).∵抛物线y=ax2
+bx+c过点B,∴c=2. 由题意,有16420,16422.
abab
解得1,16
1.4
ab
∴所求抛物线的解析式为
211
2164
yxx
. (2)将抛物线的解析式配方,得2112216
4
yx.∴抛物线的对称轴为x=2.∴D(8,0),E(2,2),F(2,0).
欲使四边形POQE为等腰梯形,则有OP=QE.即BP=FQ.∴t=6-3t,即t=32.
(3)欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似,
∵∠PBO=∠BOQ=90°,∴有BPOQOBBO或BPBOOBOQ
,即PB=OQ或OB2
=PB·QO.
①若P、Q在y轴的同侧.当PB=OQ时,t=8-3t,∴t=2.当OB2=PB·QO时,t(8-3t)=4,即3t2
-8t+4=0.解得12
223
tt,.
②若P、Q在y轴的异侧.当PB=OQ时,3t-8=t,∴t=4.当OB2=PB·QO时,t(3t-8)=4,即3t2
-8t-4=0.解得t
.∵t=4273
<0.故舍去,∴t=4273.∴当t=2或t=2
3
或t=4或t=4273
秒时,以P、B、O为顶点的三角形与以点
Q、B、O为顶点的三角形相似. 4、解:(1)(2)①点P不在直线ME上②依题意可知:P(,)
,N(,) 当时,以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD,依题意可得:
=
+=+== ∵抛物线的开口方向:向下,∴当=
,且时,=当时,点P、N都重合,此时以P、N、C、D
为顶点的多边形是三角形.依题意可得,==3综上所述,以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值21/4.
5、解:(1)方法一:∵抛物线过点C(0,-6)∴c=-6,即y=ax2
+bx-6
由2,21441260
b
aab
解得:116a,14b∴该抛物线的解析式为2116164yxx
方法二:∵A、B关于x=2对称∴A(-8,0)设(8)(12)yaxx=+-
C在抛物线上,∴-6=a×8×(12),即a=1/16 ∴该抛物线解析式为:211616
4
yxx
(2)存在,设直线CD垂直平分PQ,在Rt△AOC中,AC=22
86=10=AD∴点D在抛物线的对称轴上,连结DQ,如图: 显然∠PDC=∠QDC,由已知∠PDC=∠ACD∴∠QDC=∠ACD,∴DQ∥AC DB=AB-AD=20-10=10∴DQ为△ABC的中位线 ∴DQ=
1
2
AC=5AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5 ∴t=5÷1=5(秒)∴存在t=5(秒)时,线段PQ被直线CD垂直平分 在Rt△BOC中,BC=2
2
612=65∴CQ=35 ∴点Q的运动速度为每秒
3
55
单位长度. (3)存在.如下图,过点Q作QH⊥x轴于H,则QH=3,PH=9在Rt△PQH中,PQ=22
93=310
① MP=MQ,即M为顶点,设直线CD的直线方程为y=kx+b(k≠0),则:
602bkb
,解得:3
6kb∴y=3x-6当x=1时,y=-3 ∴M1(1,-3)
②当PQ为等腰△MPQ的腰时,且P为顶点,设直线x=1上存在点M(1,y),由勾股定理得:42
+y2
=90,即y=±74∴M2(1,74);M3(1,-74) ② PQ为等腰△MPQ的腰时,且Q为顶点.过点Q作QE⊥y轴于E,交直线x=
1于F,则F(1,-3)设直线x=1存在点M(1,y)由勾股定理得:2
2
(3)590y,即y=-3±65∴M4(1,-3+65);M5(1,-3-65)
xxy42ttttt42
30
tPNCPCDSSSODCD21BC
PN212321
242
12ttt332tt421)23(2tt2
3
3230
t最大S4
21
03或tABCD
SS矩形2
1322
1
x
y
OQ
P
D
B
C
A
M5
M3M4
M2
M1
F
H
E
x
y
O
Q
P
DB
C
A
5 / 5
综上所述,存在这样的五个点:M1(1,-3);M2(1,74);M3(1,-74);M4(1,-3+65);M5(1,-3-65)
6、(1) 根据题意,将A(21,0),B(2,0)代入y= x2
axb中,得0
2402141baba,解这个方程,得
a=23,b=1,∴该拋物线的解析式为y= x22
3x1,当x=0时,y=1,∴点C的坐标为(0,1)。∴在△AOC中,AC=22OCOA=221)2
1(=25。在△BOC中,BC=2
2OCOB=2212=5。
AB=OAOB=212=25,∵AC2BC2=455=4
25=AB2
,∴△ABC是直角三角形。
(2) 点D的坐标为(2
3
,1)。(3) 存在。由(1)知,ACBC。
若以BC为底边,则BC//AP,如图1所示,可求得直线BC的解析式为y= 2
1
x1,直线AP可以看
作是由直线BC平移得到的,所以设直线AP的解析式为y= 21xb,把点A(2
1
,0)代入直线AP的解
析式,求得b= 41,∴直线AP的解析式为y= 21x4
1
。∵点P既在拋物线上,又在直线AP上,∴
点P的纵坐标相等,即x223x1= 21x41,解得x1=25,x2= 21(舍去)。当x=25时,y= 2
3,
∴点P(25,23)。
若以AC为底边,则BP//AC,如图2所示。可求得直线AC的解析式为y=2x1。
直线BP可以看作是由直线AC平移得到的,所以设直线BP的解析式为y=2xb,把点B(2,0)代入直线BP的解析式,求得b= 4,
∴直线BP的解析式为y=2x4。∵点P既在拋物线上,又在直线BP上,∴点P的纵坐标相等,即x2
23x1=2x4,解得x1= 2
5,x2=2(舍去)。当x= 25时,y= 9,∴点P的坐标为(25,9)。综上所述,满足题目条件的点P为(25,23)或(2
5
,9)。
7、解:(1)将点C(2,2)代入直线y=kx+4,可得k=-1所以直线的解析式为y=-x+4当x=1时,y=3,所以B点的坐标为(1,3) 将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2
+bx+c,
可得解得,所以所求的抛物线为y=-2x2
+5x
(2)因为ON的长是一定值,所以当点P为抛物线的顶点时,△PON的面积最大,又该抛物线的顶点坐标为(
),此时tan∠
PON=
(3)存在;把x=0代入直线y=-x+4得y=4,所以点A(0,4),把y=0代入抛物线y=-2x2
+5x得x=0或x= ,所以点N(,0),设动点P坐标为(x,y),其中y=-2x2
+5x (0<x<)则得:S△OAP= |OA|•x=2x,S△ONP= |ON|•y= •(-2x2+5x)= (-2x2
+5x)
由S△OAP= S△ONP,即2x=
(-2x2+5x),解得x=0或x=1,舍去x=0得x=1,由此得y=3所以得点P存在,其坐标为(1,3)
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