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视频标签：二次函数背景,图形面积问题,小专题
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视频课题：人教版初中数学九年级上册二次函数背景下的图形面积问题小专题-湖北省 - 十堰
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人教版初中数学九年级上册二次函数背景下的图形面积问题小专题-湖北省 - 十堰
【二次函数背景下的图形面积问题小专题】教学设计
一、教学目标：
1、 会从数形结合角度解决二次函数与面积的相关问题； 2、 能够灵活应用几何知识多角度多方法的解决面积问题;
3、 在探索中感受知识的相互联系和应用，提升分析能力和解决问题的
综合能力。
4、 经历由特殊到一般这样一种探索数学问题的过程，树立主动参与积极
探索尝试、猜想和发现的精神。
二、 教学重点：二次函数背景下图形面积问题的解决方法
教学难点：对平移法解决三角形面积倍分和最值问题原理的理解 三、 教学方法:对比教学、启发教学、展示教学
学习方法：自我监测、自主探究、合作学习 四、教学准备：多媒体、几何画板 五、教学内容分析：
本节课是一节中考前的复习课，因为这部分内容跨越时间较长，基本上从七年级到九年级一直在接触。但是所解决的问题也基本上都是些最常规的问题，学生差不多都已掌握，但是近几年出现了几种新型的面积问题，即二次函数背景下的图形面积倍分问题和最值问题，学生再用常规方法已很难解决，所以我设计了这样一节专题课。在这节课里，我首先安排学生利用课余时间对之前解决过的面积问题进行了检测（课前小训练），课堂上在得到学生掌握情况后引导学生对解决这种面积问题的思路进行归纳，并且特意安排了一个不规则三角形的面积最值问题，跟今天的平移法进行对比。在引入平移法时逐步由特殊到一般，由简单到复杂，由倍分到最值，层层引导学生领悟这种方法。教学中为了让学生更直观的感受这种方法的原理，特意采用了几何画板规范作图或动画演示让学生感知平移法的数学原理。 六、教学过程：
（一）、课前准备：学生完成课前小训练
1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0）， C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式； (2)求S△ABC
(3) 若点D为抛物线的顶点，求S△DBC (4)
若点D为抛物线的顶点，求S四边形ABCD
(5)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAB的面
积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
(6) 若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，
求S的最大值并求出此时点P的坐标；
【设计意图】因为这些面积的常规问题学生基本上从七年级到九年级一直在接触，在这里只是起一个检测复习、并且归纳提升的作用。所以我以课前小训练的方式把这些基础面积问题交给学生课前做，让学生通过这几个基础训练题，总结归纳解决这类问题的思路和方法，同时特意设计了第（6）题为今天这节课做好铺垫，也与今天这节课做个对比。 （二）、课堂教学
1、课堂导入：①结合2017年十堰市中考第25题第（2）问面积问题的类型导入新课。②用“宁静致远”的意思激励中考前的学子。 2、课堂活动
①、请各小组对答案； （展示课前小训练答案）
②、各组组长组织组员讨论做错的题；
③、请第一组的组长简单讲一下第(2)题的解题思路； 请第三组的组长简单讲一下第(4)题的解题思路; 请第五组的组长简单讲一下第（5））题的解题思路。 ④、其他有需要做补充的请继续补充。
【设计意图】充分发挥学生的集体智慧和学习能动性，让学生教学生，培养学生的听、说、思、议等能力，同时也达到了让学生自我检测、自我解决问题的目的。
3、练后思考：请各组讨论下面的思考题
①、比较课前训练题中（2）、(3)、（4）求面积的方法，归纳在平面直角坐标系中求图形面积的常用方法和思路；
②、比较题中（5）、(6)、求面积最大值的方法，归纳在平面直角坐标系中求图形面积最大值的常用方法和思路；
【设计意图】充分发挥学生的集体智慧和学习能动性，让学生在讨论中提升，培养学生练后思考并归纳思路方法的习惯； 4、思路整理：
在平面直角坐标系中解决面积问题有如下的思路： ①、图形形状和位置规则：
函数解析式 点的坐标 水平线段、竖直线段 面积
②、图形形状或位置不规则 分割、增补 形状和位置规则的图形
【设计意图】引导学生归纳解题思路和方法
5、典例精析
例1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点 A（﹣3，0），B（1.0）， C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；（ｙ＝ｘ２+2ｘ－3 ）
变式1、在x轴下方的抛物线上（除点C外）， 是否存在点N，使得 S△NAB = S△CAB，若存在，求出点N的坐标， 若不 存在，请说明理由。
【学生活动】学生思考并找点（可用多种方法求） 【教师活动】教师巡视观察学生思维状况和所用方法
【设计意图】通过这个规则图形面积等积问题，引出解这类问题的思路和方法。
解后思考：作直线CN,并判断直线CN与直线AB有怎样的位置关系？
【设计意图】做题后引导学生归纳结论：若两个三角形同底且
面积相等， 则第三个顶点所在的直线与底平行；从而达到提升的目的。
变式2、在抛物线上（除点B外） 是否存在点M，使得 S
△MAC = S△ABC， 若存在，求出点M的坐标， 若不 存在，
请说明理由。 【学生活动】试着找点并想方法
【教师活动】教师巡视观察学生所用方法，并适当进行点拨，引导学生分析并展示解题思路
【设计意图】利用变式1所得结论解决这个位置不规则图形的面积等积问题，培养学生学以致用、举一反三的能力；
变式3、设点Q是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否
存在一点Q，使S△QAC=
S△BAC，若存在，求出Q点的坐标；若不
存在，请说明理由．
【学生活动】试着找点并想方法，思考之后进行小组讨论。 【教师活动】教师巡视观察学生所用方法，并适当进行点拨，通过几何画板引导学生分析并展示解题思路
【设计意图】在变式1、2的基础上增加难度把学生引导到等分高的思路上，从而为后面解决位置不规则图形的面积倍分问题做好思路铺垫，培养学生学以致用、举一反三的能力；
变式4、设点Q是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点Q，使S△QBC= S△ABC，若存在，求出Q点的坐标；若
不存在，请说明理由
【学生活动】试着找点并想方法，思考之后进行小组讨论。 【教师活动】教师巡视观察学生所用方法，并适当进行点拨，通过几何画板引导学生分析并展示解题思路
【设计意图】在变式3的基础上增加难度把学生引导到倍分高的思路上，从而达到解决位置不规则图形的面积倍分问题的目的，通过特殊到一般的设计思路，培养学生触类旁通的能力，并且思考解决这类问题的通法。
变式5、 若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
【学生活动】试着找点并想方法
【教师活动】教师巡视观察学生所用方法，并适当进行点拨，通过几何画板动画演示引导学生分析并展示解题思路，解后引导学生与课前小训练的第（6）题进行对比。
【设计意图】在前面四个变式的基础上增加难度，引导学生把问题引导到不规则三角形的最值问题上，再进一步引导到
两条平行线间的距离最大上，通过几何画板的动画演示让学生充分感受到：当直线与抛物线有且只有一个交点时高最大。从而达到解决位置不规则图形的面积最值问题的目的，培养学生触类旁通的能力；通过解后与课前小训练的第（6）题进行对比，让学生更加领会平移法的优势。
变式6、若点P为第三象限内抛物线上的一点，设四边形ABCP的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
【学生活动】试着找点并想方法，部分学生进行展示自己的思路。
【教师活动】教师巡视观察学生所用方法，并适当进行点拨，引导学生分析求四边形面积的方法，然后试图与今天所学方法进行联系，从而展开解题思路；
【设计意图】在变式5的基础上增加难度，拓展到四边形的面积最值问题。引导学生把不规则四边形的面积最值问题转化成三角形的面积最值问题上，这样就把变式6的问题转化成变式5，达到解决不规则四边形面积最值问题的目的，从多层面培养了学生的能力。
6、学后提升
1、通过本节课的学习你学到了解决哪些面积问题的方法？ 用平移法解决平面直角坐标系中的面积倍分问题和面积最值问题
【学生活动】学生反思并总结以达到提升的目的
【教师活动】教师倾听并适时进行引导补充，展示问题类型和思路导向图
【设计意图】引导学生反思并总结问题类型以及解决问题的思路，以达到提升的目的，从而能够完全解决这类问题，明白平移法的精髓所在。 7、课后作业
如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式； （2） 求△CAB的铅垂高CD及
CABS△；；
（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点
P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由 （4）设点P是抛物线上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB=12，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由
（5） 设点Q是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点Q，使S△QAB= 8
9S△CAB，若存在求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（6）设M（a，b）（其中0<a<3）是抛物线上的一个动点，试求四边形OBMA面积的最大值， 及此时点M的坐标。
【设计意图】通过本节课的学习进一步进行巩固所学方法。 （三）、板书设计 黑板一： 中考总复习小专题
二次函数背景下 ——图形的面积问题
课前小训练简易答案 4、思路整理：
在平面直角坐标系中解决面积问题有如下的思 ①、图形形状和位置规则：
函数解析式 点的坐标 水平线段、竖直线段 面积
②、图形形状或位置不规则 分割、增补 形状和位置规则的图形
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