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视频标签：二次函数,几何图形综合题
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视频课题：人教版初中数学九年级上册《二次函数与几何图形综合题》建设
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人教版初中数学九年级上册《二次函数与几何图形综合题》建设兵团
教材分析
二次函数的图像和性质及几何最值问题屡屡出现在中考试卷上，此类问题虽然只涉及平面几何中最基本的知识，但试题常以各种几何图形或平面直角坐标系为载体，与其他知识的综合形成背景新颖、创意独特的一类问题，考察学生在动点变化的过程中探究几何元素之间的位置关系与数量关系的能力，体现课程对学生几何探究、推理能力的要求，本节课是在学习一次函数与几何图形的综合题后，设计学习有关二次函数与几何图形的综合题，有利于提高学生的几何探究、推理和解决问题的能力。 学情分析
学生对于二次函数的图像和性质，三角形、平行四边形的性质掌握得很好，但对于这些综合题解起来有一定难度，这部分题往往作为压轴大题，大部分学生存在畏惧与抗拒心理，造成失分较多，对学生来说：一方面很多题目难以找到较好的切入点；另一方面题目答案不止一个，考虑会不够全面；第三这类题目计算量较大，极易计算误。因此对此类问题专题讲解，有助于提升学生的自信，提高压轴题得分率。 教学目标
1、通过复习进一步求抛物线与X轴、Y轴的交点，多种方法求对称轴。
2、由最短距离问题引出一动点，设计出三角形周长最短问题，使学生克服动点问题的畏惧心理，掌握动点问题的实质。
3、经历借助尺规作图探究等腰三角形三边关系、直角三角形角的情况，使学生明确解题的关键是依据解题思路全面分析边的情
况，找出等量关系，并能清楚地表达出解题思路，尝试从不同角度寻求解决问题的方法。
4、利用平行四边形的性质以及动点与已知点，构造平行四边形，培养学生从一条线段为边或对角线作为切入点，全面解决问题、不遗漏的好习惯，为以后构造特殊的平行四边形奠定基础。
5、培养学生在思考的基础上，敢于发表见解，并尊重和理解他人观点的能力。
教学重、难点
教学重点：掌握综合题形成过程和思维方法。 教学难点：探究综合题中不同问题的解决方法，形成解题思路，构建模型。 学法指导
针对学生情况在教学中 面向全体，发挥学生主体性，引导学生
积极观察问题、分析问题，激发学生的求知欲和学习积极性，指导学生培养积极思维、主动获取知识的良好学习习惯，并逐步提高学生提出问题、解决问题的创新探索能力。 教学策略
1、教师启发引导探讨式学习。
2、问题串设计：运用有序的问题串有层次地呈现问题，组织教学内容。
3、循序渐进使用激励的语言建立学生自信。
教学过程 环节一：
例：如图已知抛物线 y=x2-2x-3 与x轴交于A,C两点,与 y 轴交于 B 点，直线 l 为它的对称轴。
（1）求点A, B, C的坐标及抛物线的对称轴；
分析：要求抛物线与坐标轴的交点坐标，可分别令其解析式中x=0或y=0，求得相应的y值或x值即可确定。其对称轴为过与x轴两交点形成的线段的中点且垂直于x轴的直线；或利用顶点坐标公式以及配方法求出其对称轴。 解：对于抛物线y=x2-2x-3，
令y=0，即0=x2-2x-3，解得x1=3，x2=-1
∴A（-1, 0），C（3, 0）
令x=0，即y=-3， ∴B（0，-3） ∵ y=x2-2x-3 =( x-1)2 -4 ∴抛物线的对称轴是直线x=1 设计意图：利用函数解析式求出特殊点 的坐标，让学生 感到轻松，树立 学好本节课的信 心，为解决后续 问题做准备。
环节二：
（2）若点F是直线 x=2上的一动点,当点 F 运动到何处时， △ ABF的周长最小？求出此时F的坐标；
分析：由AB长为定值，要使△ ABF的周长最小，即要使AF+BF最小。作点A关于直线x=2的对称点H,则BH与直线x=2交点即为所求点F 。然后用待定系数法求出直线BH的解析式，将x=2代入即可求得点F的坐标
解：要使 △ ABF的周长最小，即AB+BF+AF最小 由（2）得AB=
为定值，∴只需BF+AF最小
∵点F在直线x=2上，
设点A(-1,0)关于直线x=2的对称点为H，则H（5,0） 连接BH交直线x=2于一点，此点即为所求点F，此时△ABF的周长最小
设直线BH的解析式为y=kx+b， b=-3
将B(0,-3),H（5,0）代入得， 5k+b=0 解得，
k=
b=-3
∴直线解析式为 y = x-3,
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3
当x=2时，y = - ， ∴当点F运动到点（2，- ）时， △ ABF的周长最小。
设计意图：探究三角形周长最小问题实质 上是求最短距离问题，通过复习两点在直 线同侧的最短距离利用轴对称来解决，让 学生体会题型在变，考点不变，看清问题 的实质是解决问题的关键。 环节三：
（3）在x轴上是否有一点 E，使得 △ABE为等腰三角形，若存在，求出点 E 的坐标，若不存在，请说明理由；
分析：题中只说明△ABE 为等腰三角形，未说明到底哪两条边相等，所以先设出点E的坐标，然后分AB=BE, AB=AE和BE=AE三种情况讨论求解；
解：存在 . 设E（x，0），
∴AE2=(X+1)2， BE2=X2+9， AB2=12+32=10
①当AB=BE, 即AB2=BE2时， 10=X2+9 解得x1=1，
x2=-1（舍） ∴E（1, 0）
②当AB=AE, 即AB2=AE2时，10=(X+1)2 解得 x1= -1，x2= - -1，
∴E（ - 1 ，0）或E（ - - 1 ，0） ③当BE=AE, 即BE2＝ AE2时，X2+9 =(X+1)2，解得x=4，
∴E(4, 0)
综上所述，存在符合条件的点E，点E的坐标为（1,0）或
（ -1
，0）或E（ - -1 ，0）或（4,0）。
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设计意图：通过对动点E的寻找，使学生明确解决问题的关
键是对等 腰三角形性质的熟练运用，以及正 确表达边的长度从而列出等量关系 求解。 环节四：
（4）在抛物线对称轴直线 l 上是否存在一点M，使得 △
ABM是直角三角形，若存在，就出点M的坐标，若不存在请说明理由；
分析：已知条件中只说明△ ABM是直角三角形，未说明哪个角为直角，需分情况讨论。假设在抛物线的对称轴上存在满足条件的点M，设出点M的坐标 然后分∠BAM=90°,∠ABM=90° 和 ∠AMB=90 °情三种情况进行讨论求解；
解：存在 由（2）可知AB2=10,
假设存在点M在对称轴直线x=1上，使得 △ ABM是直角三角形，设M（1, m),
∴AM2 = 22+m2 = 4+m2, BM2 = 12+(m+3)2 = m2+6m+10 要使 △ ABM是直角三角形，则分以下三种情况讨论： ①当∠BAM=90°时， AB2+AM2=BM2, 即10+4+m2 = m2+6m+10，
解得，m = 2/3 ∴M（1, 2/3）； ②当∠ABM=90°时， AB2+BM2=AM2, 即10+m2+6m+10 = 4+m2，
解得，m =- ∴M（1, - ）；③当∠AMB=90°时，BM2+AM2 = AB2, 即m2+6m+10+4+m2
= 10，解得， m1 = -2， m2 = -1 ∴M（1, -2）或M（1，-1）
综上所述，存在符合条件的点M点的坐标为（1, ）或
（1, - ）或（1, -2）或（1，-1）
设计意图：上题学生从边切入开拓了解题方法与思路，此题从角切入丰富了解题经验，也培养了学生尺规作图解决问题的好习惯。 环节五：
（5）在平面内是否存在一点N，使得以点A,B,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由。
分析：要使以ABCN为顶点的四边形是平行四边形，需要分情况讨论，分类讨论AC是边还是对角线两种情况进行求解即可；
解：存在。N1(4,-3), N2(-4,-3）N3（2,3) 理由如下:分为两种情况讨论: ①当AC为边时
∵以点A,B,C,N为顶点的四边形是平行 四边形，
∴AC ∥BN 且AC=BN，设N（n，-3）， 则lnl=4， 解得n1=4 n2=-4 ∴ N1(4, -3),N2(-4, -3） ②当AC为对角线时
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过点N3作N3Q ⊥x轴于点Q， 若四边形ABCN3为平行四边形， ∴ ∠BAO= ∠N3CQ, AB=CN3, ∴ △ ABO ≌ △ CN3Q, ∴N3Q=BO=3, CQ=AO=1, ∴OQ=CO-CQ=2 ∴N3（2,3)
综上所述，存在符合条件的点N，点N坐标为N1(4,-3), N2(-4,-3），N3（2,3)
设计意图：在平面直角坐标系中寻找一动点与已知点构造平行四边形，让学生见识了函数与几何图形结合形成综合题的新高度，
小结
本课通过求抛物线与x轴y轴的三个交点以及对称轴，引入动点问题，将二次函数与几何图形完美结合激发学生探究欲望，通过求两点之间最短距离来解决三角形周长最小的问题，继续引入由讨论边的关系来构造等腰三角形，讨论角的情况构造直角三角形，直至升华至三定点与一动点构造平行四边形，充分运用特殊三角形以及平行四边形的性质来解决问题，体会到动点问题带给我们拓展思维的乐趣，最后送给同学们一句话：数学题，始于你想，成于你做。只要你动笔，那些大脑中闪烁的智慧会使我们更快乐
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
