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视频标签：数学广角,鸡兔同笼
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视频课题：人教版四年级下册9 数学广角—鸡兔同笼-浙江省
教学设计、课堂实录及教案：人教版四年级下册9 数学广角—鸡兔同笼-浙江省
《鸡兔同笼》第一课时教学设计
教材分析
“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，大约1500年前《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。本次课改将其调整到四年级下册，旨在培养学生的逻辑推理能力，感受假设法的一般性。“34头，94足”对四年级学生而言不存在数据太大的问题，客观存在的问题是，想不到，不会解。本课教学引导学生化繁为简，从简单的情形入手，寻找问题解决的突破口。鸡兔同笼问题对多数学生而言有一定难度，特别是用假设法解答，较为抽象，不易理解。为解决这个问题，本课教学在列表法之后，尝试引导学生将画图与列式沟通起来，实现数与形的结合，降低了难度。
教学目标
了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。
尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，体会假设法的一般性。 在问题解决的过程中，体会问题解决的方法，感受数学的生活性。 教学重点
用假设法解决“鸡兔同笼”问题。 教学难点 认识、理解、运用假设法解决“鸡兔同笼”问题。 教学准备
多媒体教学课件 教学过程 一、新课导入 1、原题重现
大约1500年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题。 这个问题与两种动物有关，鸡和兔之间能产生怎样的数学问题呢？请看！ “今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？” 2、原题释义
古人真是惜字如金，这说的是什么意思呀？
它说的就是有关鸡兔同笼的问题，从中你能找到哪些有用的信息？ ①鸡和兔一共有35只。
②鸡和兔一共有94条腿。
③隐含条件：一只鸡有2条腿，一只兔有4条腿。 3、引出课题
今天这节课我们就一起研究鸡兔同笼的问题。 4、化繁为简
这个问题与我们平常研究的问题比起来怎么样？那我们就从简单的情形入手，看看能否找到问题解决的方法。
【意图】将原题改换成了数据较小的例题，渗透化繁为简的思想。
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二、尝试探究 1、从8个头开始探究
笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有8个头。 鸡可能有几只？兔可能各有几只呢？
尽管他们猜的鸡和兔的只数各不相同，但每组数据背后都隐藏着一个不变的数，你知道吗？为什么是8？
鸡和兔的只数还有其他可能吗？能按照一定的顺序说一说吗？
看来只知道头数，能确定两种动物的具体数量吗？ 2、从26条腿切入
笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有8个头，从下面数有26条腿。
现在你能确定两种动物的具体数量了吗？拿出学习单，请你在学习单一上试一试！ 3、交流汇报
说说你的结论！3只鸡5只兔是26条腿吗？能用算式说明吗？ 你是一下子就锁定答案的吗？同学们都是从哪种情形开始思考的？ ①假设鸡和兔各有4只
那么它们的腿就是24条，差了2条腿。所以把1只鸡换成1只兔，就是3只鸡5只兔。3只鸡5只兔刚好是8个头，26条腿。
4只鸡4只兔怎么来的？为什么变成3只鸡5只兔了呢？怎么不变成5只鸡3只兔呢？同学们都是从4只鸡4只兔的情形开始思考的吗？ ②我们从1只鸡开始假设
1只鸡，7只兔，共30条腿，比26条腿多了。于是我们增加1只鸡，减少1只兔，2只鸡，6只兔，共28条腿，还是多了。于是我们再增加1只鸡，减少1只兔，3只鸡，5只兔，正好是26条腿。
他从1只鸡7只兔，开始假设，也找到了答案。 ③我们从7只鸡开始假设
7只鸡，1只兔，共18条腿，比26条腿少了。接着6只鸡，2只兔，共20条腿，还是少了。继续减少鸡的数量，增加兔的数量。5只鸡，3只兔，22条腿。4只鸡，4只兔，24条腿。最后3只鸡，5只兔，26条腿，刚好！ 4、方法小结
其实无论从哪里开始假设，只要根据条件不断作出调整，最后都能找到正确的答案。 5、深入思考 1）正向观察
从左到右观察我们所列的表格，你有什么发现？
兔子每增加1只，鸡就会减少1只，腿的总数就会增加2条。
减少1只鸡，增加1只兔，就是把1只鸡换成1只兔，腿的数量自然就会增加2条。 2）反向观察
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反过来，从右到左观察呢？你又有哪些发现？ 把1只兔换成1只鸡，腿数就减少2。 3）简单应用
在鸡兔同笼的情况下，鸡和兔的总数是固定的，要想改变腿的数量，怎么办？ 1只鸡换1只兔能够？2只鸡换2只兔能够？
如果要增加6条腿，你有什么好办法？（把3只鸡换成3只兔）
如果要增加8条腿呢？把4只鸡换成4只兔怎么算的？8÷（4-2）＝4（只） 如果要减少10条腿呢？把5只兔换成5只鸡，10÷（4-2）＝5（只） 看来同学们已经发现了隐藏在鸡和兔腿数之间的秘密。
【意图】通过列举解决问题，把符合问题的所有可能答案逐个找出，并用某种形式进行整理，从而得到问题的答案。列举是一种朴素的思想方法，又是一种实用的解决问题的策略。学生在刚接触“鸡兔同笼”问题时，对列式计算往往感到困难。但是，对于数据较小的问题，一些可能的答案却很容易凭经验或直觉得到，可以运用猜测、验证的方法，实际上就是用列举法来解决问题。学生一般用顺序列举法，按从大到小或从小到大依次列举，可以有效避免疏漏或重复。当然也有中间开始根据实际情况向两头依次列举的。列举法常常借助于列表来及时记录每一种可能的结果。 4）回归假设
①假设鸡和兔各有4只，那么它们的腿就是24条，差了2条腿。 差了2条腿怎么办？1只鸡换1只兔！3只鸡5只兔。
②有同学从1只鸡开始假设，1只鸡，7只兔，共30条腿，多了4条腿。 多了4条腿怎么办？减少！2只兔换2只鸡！3只鸡5只兔。
③还有同学从7只鸡开始假设，7只鸡，1只兔，共18条腿，少了8条腿。 少了8条腿怎么办？增加！4只鸡换4只兔！3只鸡5只兔。 看来这个秘密帮助我们提高了解决问题的效率！ ④选择其中一种情况列式
这个过程还可以用数学的语言来表达。 假设有7只鸡，1只兔 共有7×2＋4＝18(条)
少了26－18＝8(条) 与实际比较少了8条腿，怎么办？添腿，把鸡换成兔子。 换兔8÷(4－2)＝4(只) 要换几只呢？8里面有4个2。（4－2）是什么意思？ 1＋4＝5(只)„兔 8－5＝3(只）„鸡
5）完善假设
反正都是假设，反正都要调整，干脆假设全是鸡，可以吗？ 假设全是鸡，共有？（16条腿）少了？（10条）怎么办呢？ 你能把这个过程用算式的语言表达出来吗？试试看! ①列式
假设全是鸡 8×2＝16(条) 少了26－16＝10(条) 与实际比较少了10条腿，怎么办？添腿，把鸡换成兔子。 10÷(4－2)＝5(只)„兔 要换几只呢？10里面有5个2。（4－2）是什么意思？ 8－5＝3(只）„鸡 把1只鸡换成1只兔增加的腿数。 ②画图
一年级小朋友也能解决鸡兔同笼问题，你知道他们是怎样解决的吗？
假设8只都是鸡，这样腿就有16条。
仔细观察和哪条算式一样？8×2＝16(条)， 这比实际的26条少了10条。26－16＝10(条)
我们知道在鸡的基础上添加2条腿换成兔子，10条腿2条1份，刚好分给5只鸡。 （1只鸡换1只兔，可以增加2条腿。10条腿，只要把5只鸡换成5只兔。） 为什么要添加腿呢？为什么要2条2条地加呢？ 添加2条腿其实是把1只鸡？换成1只兔子！ 那为什么要换5只鸡那么多呢？
10÷(4－2)＝5(只)„兔 所以是5只兔，3只鸡。
看来画图的方法也能解决这个问题！
【意图】画图在小学生的数学学习过程中是一个十分必要也相当有用的办法，学生在动手绘图的过程中能够逐渐领悟解题思路，在一定程度上拓展想象空间，从而体会的掌握其中的数学思想。 ③拓展
假设全是鸡，我们很快得到了答案，那还可以？假设全是兔！同桌合作，一个画图，一个列式，请你在学习单三上试一试！
假设全是兔 8×4＝32(条)
多了32－26＝6(条) 这6是什么？假设全是兔多出的腿，腿多了怎么办？ 6÷(4－2）＝3(只)„鸡 把1只兔换成1只鸡可以？要减少6条腿，需要？ 8－5＝3(只)„兔
【意图】利用“数形结合”，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，使问题化难为易、化繁为简，激发学生学习兴趣。同时借助于形象的图形来解题，对于初次接触此类问题的学生来说，不仅学得有趣、简单，而且能加深学生对用假设法解题的理解，发展学生的思维能力。
④反思
仔细观察这两种列式的方法，你有什么发现？
都是假设法，只是一个假设全是鸡，一个假设全是兔，一个是腿的数量不够，添加腿，把鸡换成兔子。一个是腿的数量多了，减少腿，把兔子换成鸡。最终都解决了问题。
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相同之处：鸡与兔的腿数之差都是2。不管是增加2条腿还是减少2条腿，都表示鸡与兔的腿数之差是2。
这两种方法，也都是假设法，看来我们刚才的假设还不够完整，现在我们把这两种假设也放进去。
这节课，我们用了哪些方法解决问题？(画图、列表、列式)
这些方法有一样的地方吗？先假设，再调整。
【意图】由浅及深的数学思想方法之间存在着层层递进、由具象到抽象、由低层级往高层级发展的关联。粗看之下，“猜想、列表、画图”显得幼稚，似乎很“笨”，而且一旦头和脚的数量增多，画图的局限性就凸显出来了。然而，这些略显笨拙的解题法作为小学生学习数学思想的必然过程却是必不可少的，这些“笨”办法，为后面的假设、建模等奠定了基础。学生需要通过这样循序渐进的教学方法化繁为简，明白所谓的“笨”办法与后面精炼简洁的数模之间其实有着千丝万缕的联系，从而了解“数学思想之间并非孤立存在”的深刻内涵。 三、巩固练习
现在，你准备用哪种方法来解决《孙子算经》原题呢？
数据较大，画图、列表容易受到数据大小的影响，都不合适，列式计算较为合适。 同桌合作，一个假设全是鸡，一个假设全是兔，马上开始。 假设全是鸡 假设全是兔 2×35＝70(条) 4×35＝140(条)
少了94－70＝24(条) 多了140－94＝46(条) 24÷(4－2)＝12(只)„兔 46÷(4－2)＝23(只)„鸡 35－12＝23(只）„鸡 35－23＝12(只)„兔 同学们真厉害，已经能够解决《孙子算经》中的问题了。
【意图】鸡兔同笼”中蕴涵了丰富的数学思想，“这些思想方法都极具价值，教透了任何一种，都能够有效地促进学生数学思维的发展和数学技能的提升。 四、方法拓展
你知道古人是怎样解决“鸡兔同笼”问题的吗？
明朝的数学爱好者程大位将鸡兔同笼问题收录在《算法统宗》一书中，书中给出了鸡兔同笼的两种解法。（1）倍头，减足，折半是兔. （2）四头，减足，折半是鸡。 同学们看懂了吗？同桌互相对照刚才的解题过程，再看一看！ 其实这就是我们刚才所用的假设法！
《孙子算经》中给出的是什么方法呢？同学们想知道吗？ 1、减半法
①假如让鸡抬起一条腿，兔子抬起两条腿，还有94÷2＝47条腿。
②1只鸡1条腿，1只兔2条腿。笼子里只要有1只兔子，腿的总数就比头的总数多1。 ③这时，腿的总数与头的总数之差47－35＝12，就是兔子的只数。 2、抬腿法
后来还有人用吹口哨法解决这个问题。
假设这些鸡和兔都接受过训练，每吹一次口哨就抬起一条腿。
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先吹一次，所有鸡和兔都抬起一条腿，剩下94－35＝59条腿。 再吹一次，所有鸡和兔又抬起一条腿，剩下59－35＝24条腿。
现在我们会发现鸡的两条腿全部抬起，坐在地上了，剩下的腿全是兔子的腿了。每只兔子只剩2条腿，所以24÷2＝12只兔子，35－12＝23只鸡。 3、代数的方法
等到后面学习了方程，同学们还可以利用设元的方法解决这个问题。 一元：设鸡有x只，则兔有(35－x)只。2x＋4(35－x) ＝94 二元：设鸡有x只，兔有y只。 x＋y＝35 2x＋4y＝94
【意图】“授人以鱼不如授人以渔。”这句话道出了培养数学模型思想的重要性。 中国传统数学名题正是为数学模型的发展提供了这样一个平台。数学名题中渗透的数学思想、数学名题本身的模型作用都可以让学生在潜移默化中逐步感受、领悟和掌握。 五、课堂小结
今天这么多解决问题的方法都离不开假设。 同学们能说说今天这节课你的收获吗？ 六、作业布置
想一想你还能用什么方法解决“鸡兔同笼”问题（可以查阅资料）。 七、教学反思
“鸡兔同笼”问题蕴涵了丰富的数学思想，这些思想方法都极具价值，渗透了任何一种，都能有效促进学生数学思维的发展和数学技能的提升。为了方便研究，本课教学在学生遇到障碍时化繁为简，从8个头切入，再到26条腿，引导学生经历各种方法的研究过程，并通过评判讨论、对照比较，沟通方法间的联系，实现方法优化，重点掌握假设法（列式）。在这个过程中，核心的是尝试、探究、反馈和交流的环节。在这个环节里，学生完整地经历“假设—计算—推理—调整”的过程，从而体验假设的基本思路。
考虑到学生的个体差异，本课教学适时引导学生多角度思考问题，呈现出解题方法的多样性。包括列表、列式、画图。事实上，这些方法都离不开假设。有趣的是学生最后会发现画图是对列式的直观解释，列式则是对画图的抽象概括。列式“假设全是鸡”或“假设全是兔”的两种情况又是对列表的补充。它们看似独立，却有着千丝万缕的内在联系。我们能明显地觉察到学生对直观画图的青睐。等到经典重现，不需要太多言语，它们会自然感受到列表与画图的局限性以及列式的一般性。前者在假设之后需做出一步一步的调整，且受数据大小的影响。后者在假设之后，通过列式计算能够做到一步到位。这样，学生不仅能够感受到解题方法的多样性，同时又经历了方法优化的过程，最重要的是感受到了假设法的一般性。
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