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视频标签：双曲线的,标准方程
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视频课题：人教B版高中数学选修2-1第二章《2.3.1双曲线的标准方程》宁夏 - 吴忠
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《2.3.1 双曲线的标准方程》教学设计
一、 教学内容解析
双曲线与科研、生产以及人类生活有着密切的关系，因此，研究它的几何特征及其性质有着极其现实的意义。学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步巩固、深化和提高.如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章.所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质以及进一步学习抛物线，解决更复杂的解析几何综合问题奠定良好的基础.
教学重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程.
突出重点的手段：通过画图揭示出双曲线上的点所满足的条件，再通过讨论归纳得出双曲线的定义；对于双曲线的方程，可类比椭圆方程的推导得出方程并加以比较，加深认识.
二、教学目标设置
依据教材的地位与作用，以及新课改对教学目标的要求，确定本节课的教学目标为： 1、通过教具和信息技术手段演示双曲线的形成，由此得出双曲线的定义并能独立推导其标准方程；
2、通过定义及标准方程的挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；
3、通过教师指导下的学生交流探索活动，让学生体会数学的理性和严谨，培养学生实事求是和锲而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度.
三、学生学情分析
授课班级为宁夏吴忠市吴忠中学高二年级学生。
从知识方面来说，学生从必修“平面解析几何初步”到选修“圆锥曲线”，已经学习直线、圆和椭圆，较为系统地研究了他们的性质，对解析几何的基本思想方法有了一定的认识，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，并对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会.
从能力方面来说，作为高二年级的学生，其学习能力与理性思维都达到了一定的水
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平.具备一定的计算、推理、知识迁移、归纳概括和分析问题、解决问题的能力等能力，并对数形结合、类比等思想方法有了一定的感悟.
教学难点：双曲线定义的得出和标准方程的建立.
突破难点的策略：始终以“类比”作为主线，引导学生动手实验、观察、交流、归纳定义；回顾坐标法求椭圆方程的步骤，亲自体验建立双曲线标准方程的过程.
四、教学策略分析
著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现.”双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课采用了“启发探究”、“类比教学”的教学方式，重点突出以下两点： 1、以类比思维作为教学的主线 2、以自主探究作为学生的学习方式
授之以“鱼”不如授之以“渔”，教师只是课堂教学的引导者、启发者，在新课程改革理念的指导下，要注重突出学生的主体作用.因此，在学习方法的制定上，将充分发挥学生在学习活动中的作用，通过学生主动探索、动手实践调动学生学习的积极性，转变学生的学习方式，形成理性、严谨的解决问题的态度.
五、教学媒体设计
充分发挥信息技术的作用，借助于多媒体手段来辅助教学.运用交互式电子白板结合PPT来展示教学内容，展现优美图片、借助于几何画板软件来演示动画，让学生产生直观的认识，激发兴趣.同时充分发挥交互式电子白板的作用，让学生运用白板资源画出曲线等，并借助于实物展示平台来展示学生成果，既提高了课堂效率，也让学生体会到信息技术的广泛应用.
六、教学过程设计
（一）回顾旧知，实验探索
师：前面我们学习了椭圆，回顾一下，椭圆是如何定义的？ （请一位同学回答.）
生：平面内与两个定点F1 、F2. 的距离的和等于常数2a（2a >| F1 F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆．
师：若将椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”.即平面内与两个定点21,FF的距离的差等于非零常数的点的轨迹是什么?
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学生表示不知道.
师：我们不妨通过画图来探究.
教师借助于拉链来说明作图方法.（如图）
师：取一条拉链，拉开它的一部分，在拉链拉开的两边上
各选择一点，分别固定在纸板上的点F1 ，F2处，取拉头处为M点，由于拉链两段是等长的，则221FFMFMF，把笔尖放在点M处，随着拉链的拉开或闭拢，M点到F1 ，F2的距离的差为常数.这样的动点M的轨迹是什么呢？
【学生活动】请一位同学上黑板演示(用两段绳子来模拟拉链，进行作图)，其他同学观察、思考.
学生画出一条曲线（如图1）.
教师带领学生分析：这条曲线就是满足下面条件的点的集合：
12P={M||MF|-|MF|=}常数
师：如果使点M到F2的距离减去到点F1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线（图2）.这条曲线是满足什么条件的点的集合？
生：21P={M||MF|-|MF|=}常数
.
师：现在我们知道，平面内到两定点距离的差为常数的点的轨迹是这样的两条曲线. 这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支.它是满足这两个条件 ①12MF-MF=常数②21MF-MF=常数的点的集合.能不能将这两个条件统一起来呢？ 生：用绝对值.即12MFMF=常数.
师：很好.下面我们借助于几何画板来更直观地感受一下双曲线的形成.
图1
图2
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【师生活动】 教师用多媒体演示双曲线的形成,引导学生观察，在点M运动的过程中， 12MFMF与的差有什么特征？学生不难发现，这个差是一组相反数，即动点M满足条件12MF-MF=常数.再次验证画图结果.
师：双曲线在科研和日常生产生活中应用广泛.(出示双曲线相关图片——冷却塔、立交桥、广州塔、埃菲尔铁塔) 这是继椭圆之后我们要学习的第二种圆锥曲线. （板书课题：2.3.1 双曲线及其标准方程 指明本节课的学习内容.）
【设计意图】通过复习回顾椭圆概念，引出新问题.从学生认知的最近发展区入手，激发学生的求知欲.通过画图让学生直观地感受双曲线的形成，并通过优美图片的展示，渗透数学美的教育，让学生感受数学美的同时体会数学的应用价值. 再次激发学生的学习兴趣.
（二）抽象概括，归纳定义
提出问题：刚才我们通过直观演示，观察到动点的轨迹是双曲线.你们能根据刚才画双曲线的过程，类比椭圆的定义，归纳概括出双曲线的定义吗？（出示椭圆图形及定义，引导学生类比.）
学生讨论交流，很快可以得出结果：平面内与两个定点21,FF的距离的差的绝对值等于常数（小于21FF）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点12F,F叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．记为21FF=2c.
[师生活动]若学生能够得出常数小于21FF ，继续后续问题，如果学生没有发现，教师需要引导学生观察、分析.
师：我们通常将定义中的常数记为2a,也就是说，双曲线就是点集：
121
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P={M|MF|-|MF
|=202FF}
aa，. 【设计意图】本环节在学生经历双曲线形成的基础上，类比椭圆定义，归纳概括双曲线定义，有助于学生对双曲线定义的理解.在这个过程中，培养学生的动手实验能力、
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归纳概括能力、对比分析能力，体会类比和数形结合思想方法.同时渗透数学美的教育，让学生感受数学美的同时体会数学的应用价值. 再次激发学生的学习兴趣.
（三）类比椭圆，建立方程
师：得到了双曲线的定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究. 根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立双曲线的方程“定量”的描述，然后通过对双曲线的方程的讨论，来研究其几何性质.
师：坐标法建立椭圆标准方程的步骤有哪些？
[师生活动]请学生回顾坐标法建立椭圆方程的步骤，分析双曲线的几何特征.请一位同学回答.
提出探究内容：你能类比椭圆标准方程的建立过程，建立适当的坐标系，推导双曲线的标准方程吗？
【师生活动】这一环节是本节课的难点，但前面经历了椭圆标准方程的建立过程，学生不会感到太困难，因此本环节放手让学生去尝试，有困难可以互相讨论.教师教师巡视、个别予以点拨指导.绝大多数学生会选择建立焦点在x轴上的双曲线方程.
分析如下：
(1)建系设点:取过焦点12F,F的直线为x轴，线段12F,F的垂直平分线为y轴(如图所示)建立直角坐标系,设M(x,y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c>0)，那么12F,F的坐标分别是1F(-c,0),2F(c,0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值为2a.
(2)写动点满足的集合:由定义可知，点M满足集合：
1212P={M|MF|-|MF|=2}={M|MF|-|MF|=2}aa ． (3)列方程（用坐标表示条件）：
22
1||()MFxcy
,22
2||()MFxcy
,2222()()2xcyxcya得
(4)化简方程:
将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：
222222222222222()44()(),:(c-)x-y=(c-)
xcyaaxcyxcyaaaa移项整理两边平方可得
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类比椭圆的标准方程的处理方式进行简化,使其简洁美观 ，即22
222xy1c-aa
（教师待学生得到以上的结论时，请学生展示成果.讲评关键点. 特别强调在方程的形式上可以仿照椭圆的标准方程的处理方式：由双曲线定义2c>2a， 即c>a,设
2
2
2
c-=b(b>0)a，代入上式22
222xy-=1c-aa
，将式子进一步简化,使其简洁、对称，得到
方程：22
22xy-=1>0,b>0b
aa.
（5）验证说明（由教师带领学生分析.）
师：由推导过程可知，双曲线上任意一点的坐标都满足方程22
22xy-=1>0,b>0b
aa，
同时，以方程的解为坐标的点到双曲线的两个焦点1F(-c,0),2F(c,0)的距离之差的绝对值为2a,即以方程的解为坐标的点都在双曲线上.由曲线与方程的关系可知，该方程就是双曲线的方程，我们把它叫做双曲线的标准方程.它表示的双曲线焦点在x轴上，焦点坐标分别为1F(-c,0),2F(c,0)，这里222c+ba.（教师板书两种形式的标准方程）
师：你能得到焦点在y轴上的双曲线的标准方程吗？
生：类比椭圆，只要交换方程中的x和y即可.这样就得到了焦点在y轴上的双曲
线的标准方程, 即为22
2210,0yxabab
.（教师板书）
得到了双曲线的定义和方程.借助于表格进行双曲线再认识.强化概念. 定义 图象 方程 焦点
a、b、c的关系
【设计意图】这一过程由学生自主完成，这样设计使学生完全成了学习的主人，由被动的接受变成主动的获取.通过双曲线标准方程的建立过程，训练学生的运算能力、推
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理论证能力、探究能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生的合作意识和严谨的学习态度，渗透数形结合的数学思想.并感受双曲线方程、图形的对称美，获得成功的喜悦！ （四）初步应用，例题讲析
师：学习了新知识，就要应用，来看习题. 练习：
（1）已知两定点)0,5()0,5(21FF若动点P到21,FF的距离的差的绝对值等于6，则动点P的轨迹是 （ ）
A 双曲线 Ｂ圆 Ｃ射线 Ｄ 线段
（2）已知两定点)0,5()0,5(21FF若动点P满足621PFPF，则动点P的轨迹是（ ）
A. 双曲线的右支 B. 双曲线的左支 C. 以1F为顶点的射线 D. 以2F为顶点的射线
例1、已知双曲线两个焦点的坐标为 F1 (-5,0) F2(5,0) ，双曲线上一点P到F1、F2 的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程.
【师生活动】先由学生独2立去做，待大部分同学完成后，由学生叙述，教师板书.例1要强调待定系数法求双曲线方程的步骤：先确定焦点位置，再待定出方程，然后求解方程中的a和b，最后写出所求方程.
例2、求适合下列条件的双曲线的方程 （1)a=4,b=5,焦点在x轴上； (2)a=3,c=5.
练习是属于概念辨析题，可以进一步理解双曲线的定义.例1主要是运用待定系数法求解双曲线的标准方程.例2在例1的基础上再次强化待定系数法的应用，同时对学生进行分类讨论数学思想的渗透，达到拓展知识、提高能力的目的.
【设计意图】 数学概念是要在运用中得以巩固的，通过例题使学生进一步理解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程的求解方法，并在解题过程中渗透数形结合的数学思想.通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对
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知识的再次深化.
（五）知识总结，形成体系 出示问题：
1.本节课你学到了什么知识？ 2.研究双曲线用到了什么思想方法？
让学生自己进行总结，相互补充，教师点评：
本节课首先通过画图揭示出双曲线上的点所满足的条件，由此归纳概括出双曲线的定义，运用坐标法建立了双曲线的标准方程，在习题中应用待定系数法求双曲线的标准方程.在整个过程中，类比椭圆的定义、图象和标准方程的探究思路来处理双曲线的类似问题.在这一学习过程中也进一步体会了数形结合的思想.
【设计意图】 以问题形式来引导学生自我总结.通过总结使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.同时，通过提炼数学的基本思想方法，提高学生的数学素养.
（六）布置作业，巩固提高 必做题: 课本55页 练习2，3题 选做题: 课本61页 习题A 组2题
课外作业：查阅资料：ＧＰＳ中的双曲线导航原理.
【设计意图】 作业设计有梯度，分为必做题和选做题，注重不同层次的学生的认知水平,学生可以根据自己的实际学习情况完成作业，尽量做到让不同层次的学生都能有所收获.课外作业为学生利用双曲线性质解决实际问题做准备，既可以拓展学生的知识，又可以让学生体会到数学在现实中的广泛应用. 五、教学设计说明
1. 本节课以新课程的教学理念为指导，充分体现素质教育的重点：培养学生的创新精神和实践能力.
2.本节课不仅重视结论，也重视知识的生成过程，整个教学过程注重启发探究、类比教学方式的应用，是研究性教学的一次有益尝试.在教学过程中，教师作为引导者、参与者、合作者，努力引导学生动手、探索、分析，亲身经历知识形成的过程.在整个教学
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过程中渗透了类比、数形结合等数学思想.
3.在教学过程中通过学生动手实践、自主探索，培养其分析、交流、抽象概括及数学表达的能力. 在建立双曲线的标准方程的过程中，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力. 借助于信息技术平台，也使得教学更加直观生动.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
