联系本站客服加+微信号15139388181 或QQ：983228566 |
视频标签：二次函数与,一元二次方程
所属栏目：初中数学优质课视频
视频课题：北师大版数学九年级下册《二次函数与一元二次方程》（1）河南省 - 平顶山
本视频配套资料的教学设计、课件 /课堂实录及教案下载可联本站系客服
2.5《二次函数与一元二次方程（第1课时）》
学情分析及教学任务
从心理学特征来说，九年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察
能力、记忆能力和想象能力也迅速发展，同时这一阶段学生易发表见解，希望得到老师的认可.因此在这节课的教学中一方面用实际问题及探究活动吸引学生的注意力，另一方面创造条件和机会让学生发表见解，发挥学生的主动性.
从知识技能基础来说，学生在八上已经有过研究函数和方程关系的经验，为这节课奠定了基础.学生已经学习过二次函数的图象和性质，这是从函数知识“形”的层面进行认识，本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系，将从方程知识“数”的层面进一步认识二次函数，也就是用数形结合的数学思想来研究二次函数.
本节课的教学任务，通过建立模型引出函数和方程的联系，积累学生数形结合方法的运用经验，经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，利用二次函数图象理解与x轴交点的横坐标就是其对应的一元二次方程的根，进一步培养学生运用数形结合思想解决问题的能力.
教学目标
知识与技能：
探索二次函数与一元二次方程的关系，体会方程与函数之间的联系. 数学思考与问题解决：
1.理解二次函数cbxaxy2
的图象与x轴交点的个数与一元二次方
程02
cbxax根的个数之间的对应关系.
2.理解二次函数cbxaxy2
与x轴交点的横坐标是一元二次方程
02cbxax的根，体会用数形结合来解决问题.
情感与态度：
1.在探索二次函数与一元二次方程关系的过程中，培养学生的自主探索及合作交流意识，体会数形结合的思想.
2
2.通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性.
教学重点
理解二次函数cbxaxy2
的图象与x轴交点的个数与一元二次方程
02cbxax的根的个数之间的关系.
教学难点
理解二次函数cbxaxy2
与x轴交点的横坐标就是一元二次方程
02cbxax的根.
教学过程
第一环节：复习提问，感知联系
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ =______.
当△﹥0时，方程根的情况是______________；
当△=0时，方程根的情况是______________； 当△﹤0时，方程根的情况是______________。
2、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条_____，它与x轴的交点有几种可能的情况？
设计意图：通过复习一元二次方程根的情况及二次函数的图像性质，为本节课奠定知识基础.让学生感知当二次函数的y=0时会形成一元二次方程.
第二环节：解决问题，发现问题
我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式0025htvty表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度．
一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，观察并思考下列问题：
（1）h和t的关系式是什么？
tth4052
3
（2）小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴进行交流. [方法一]看图象可知，8秒落地 [方法二]解方程：04052tt
设计意图：本环节以物理问题引入，在建立数学模型解决问题的过程中，让学生体会学科间的联系及数学建模思想，渗透了数学核心素养中的数学建模.（2）中用不同的方法解决问题，让学生体会数形结合的思想，同时感知体会到二次函数和一元二次方程之间的联系.
第三环节：观察思考，探究新知
二次函数221
2222
2xxyxxyxxy，，的图象如图所示.
(1) 观察每个图象与x 轴有几个交点？交点坐标是什么？
(2) 一元二次方程 x²+2x=0, x2-2x+1=0有几个实数根?一元二次方程 x²-2x+2=0 有实数根吗?请分别求出它们的根；
二次函数图象
图象与x轴的交点
一元二次方程
方程的根
与x轴有两个交点： （-2,0）、（0,0）
022
xx
0
221xx
x
xy22x
xy22
1
22xxy2
22xxy
4
与x轴有一个交点：(1,0)
0
122xx
1
21xx
与x轴没有交点
0
222xx
方程无 实数根
第四环节：交流合作，解决问题
思考：(3)通过（1）（2）的探索过程，你有什么发现吗？
(4)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程
ax2+bx+c=0的根有什么关系？ 归纳总结：
二次函数y=ax2+bx+c的图 一元二次方程ax2+bx+c=0 象和x轴交点有三种情况: 的根有三种情况：
有两个交点 有两个不相等的实数根 有一个交点 有两个相等的实数根 没有交点 没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根. 设计意图：三四两个环节使学生经历探索二次函数与一元二次方程及根的判别式之间的联系.通过独立思考，自主探索及小组合作理解二次函数图像与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数之间的关系.理解二次函数与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根.（1）（2）是观察思考独立解决问题并发现问题的过程；（3）（4）是发现问题并解决问题的过程，这一过程要给学生充分的思考、讨论、并尝试表达的时间，其中(4)又体现了结论由特殊到一般的过程，体现了数学的理性思维及数学结论的严谨性.
1
22xxy2
22xxy
5
第五环节：课堂练习，巩固新知
1.若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是________.
2.抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ ）
A 两个交点 B 一个交点 C 没有交点 D 画出图象后才能说明 3.抛物线y=x2-4x+4与x轴有___个交点，坐标是______. 4.不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标.
设计意图：本环节的目的就是为了及时对新知进行巩固练习，检测学生对知识理解情况，同时在练习的过程中让学生再次体会二次函数的图象与一元二次方程的根之间的联系及如何运用这些知识解决数学问题.
第六环节：拓展延伸，知识升华
一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来.
设计意图：本环节的目的是为了让学生初步感知一元二次方程的根就是二次函数的图象与直线y=h（h是实数）交点的横坐标.让学生自己动手画亲自感受图象与方程的联系，感知数形结合解决问题，同时这一问题也是对“y=0”的升华.
解决实际问题
在本节开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？
解法1：令h=60
t
th4052
6
6
20)6)(2(0
128604052122tttttttt，
故2s和6s时，小球离地面的高度是60m． 解法2：看图象．
设计意图：运用解决上一问题得到的经验来解决实际问题.学生通过两种方法再次对比体会一元二次方程和二次函数之间的联系.理解二次函数y=ax2+bx+c的图像与直线y=h交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=h的根.
第七环节：课堂小结
谈谈本节课你的收获（知识、思想、方法、情感......） 归纳：
1.二次函数图象与一元二次方程根的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
2.思想方法：数学建模、数形结合、分类讨论
设计意图：让学生从多方面谈谈本节课的收获，不仅让学生再次回顾课堂，也体现了新课标的四维教学目标，让不同程度的学生都能体会到本节课的收获.
第八环节：布置作业
必做题
课本52页习题2.10第1（2）、2题． 选做题
已知抛物线y=x2+2x+m+1，若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，求m
二次函数一元二次方程一元二次方程y=ax2+bx+c的
图象和x轴交点
ax2+bx+c=0的根
ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac> 0
有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac= 0没有交点
没有实数根
b2-4ac< 0
7
的值.
设计意图：必做题是对课堂知识的巩固，选做题是对“二次函数y=ax2+bx+c与直线y=kx+b的交点坐标与方程ax2+bx+c=kx+b的根的关系”的补充，让学生课下探究思考，是对本节课的进一步升华.
第九环节：课堂寄语
二次函数与一元二次方程的关系，体现了“数形结合”这一重要的数学思想方法.也启示我们在学习和生活中只要善于观察和思考，就能发现事物之间的各种联系，去探索科学的奥秘.
板书设计
2.5 二次函数与一元二次方程（1）
1、图像和x轴交点个数 方程的根 两个 两个不相等实数根
一个 两个相等实数根
没有 没有实数根
2、图像和x轴交点横坐标 方程的根
1、y=ax2+bx+c y=0 ax2+bx+c=0 2、y=ax2+bx+c y=h ax2+bx+c=h
教学反思
本课时内容表面上显得很简单，实际上是初高中衔接中的关键点之一，备课过程中要紧扣课标，注重培养学生数学核心素养，讲授时需紧紧扣住数形结合的思想这条主线.
首先，本节课是从学生已有的二次函数知识和一元二次方程知识展开：复习回顾——问题情境——探究发现——得出结论——理解运用，在课堂上注重培养学生自己发现问题并解决问题能力.整节课从学生回答问题的情况来看，学生大多数理解了二次函数的图象和一元二次方程根之间的联系，会用数形结合的思想思考问题并解决问题，达到了教学目标；其次，是对讨论的环节的放手，能够使每个学生都发表自己的见解，使每个学生都参与其中；再次，在设计中关注学生的情感态度，强调知识的主动获得，鼓励学生的积极参与探究的信心，照顾到学
8
生已有知识及经验水平；最后，在本节课的教学设计中，注重问题的引导，启发性的问题追问，从个例到一般，层层深入，让学生逐步的获取知识和情感的体验.
总体来说，这节课的教学设计和课堂活动充分体现了新课标的要求，但仍有不足之处，如教学的语言需要进一步凝练，板书需进一步规范等.总之，在今后的教学中我会紧扣新课标的理念，扬长避短，使自己的课堂越来越好！
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
