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视频标签：应用一元,二次方程
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视频课题：初中数学北师大版九年级上册《2.6应用一元二次方程》重庆
教学设计、课堂实录及教案：初中数学北师大版九年级上册《2.6应用一元二次方程》重庆市璧山来凤中学校
《2.6应用一元二次方程》教学设计
教材分析：《应用一元二次方程》是北师大版2013课标版九年级上册第二章第6节第一课时的内容,本节课的教学内容主要是平面几何问题(梯子下滑问题、航海问题)的教学。将全章所强调的以一元二次方程为工具把实际问题模型化的思想提高到新的高度，为解决复杂的实际问题提供了基本的思路和方法，同时，它对于运用其他数学模型（如二次函数等）解决实际问题具有很强的示范作用。
学情分析：学生在七年级上册学习一元一次方程，八年级上册学习二元一次方程组，八年级下册学习分式方程时，已经经历了用一元一次方程、二元一次方程组、分式方程解决实际问题的基本过程，习得了数学建模的思想方法。而且学生在学习一元二次方程的定义、解法时经历了列一元二次方程解决简单实际问题的过程，掌握了列方程组解应用题的一般步骤，基本上学会了寻找等量关系并建立方程模型的方法。但是，部分学生对实际问题仍存在排斥的心理，当看到是很长的文字题目就不想看了。而这个问题的根源在于学生不能根据题意找到相关的等量关系，所以对本节课设计的重点在于引导学生突破这个重难点，帮助学生克服对实际问题的恐惧心理，提高学生分析问题、解决问题的能力，充分体会到一元二次方程应用的广泛性和有效性。
我的思考：
1．多彩的问题情境能够激发学生对数学的兴趣，所以问题设计应该从学生身边的问题入手，激发学生的探究欲望，提高学生主动学
习、主动探究的兴趣。
2.学习一元二次方程的定义、解法的时候已经经历了用二元一次方程组的方法解决实际问题的基本思路，所以本节课应该不同于一般例题内容的教学，应该以探究学习的方式完成，以启发诱导为主，设计必要的问题作为铺垫，让学生独立阅读题目，学会从实际问题中提取数学信息并转化为数学语言，准确地找出已知量和未知量，通过等量关系建方程。要留给学生足够的思考时间，鼓励学生探究不同的分析问题、解决问题的方法，使探究过程活跃起来，激发学生的思维，培养分析问题、解决问题的能力，使他们收获更大。
3.本节课蕴含的数学思想是将实际问题抽象为方程的数学建模思想，所以本节课要着重培养学生的数学建模的核心素养。
一、教学目标：
1.能够找出实际问题中的已知量和未知量，经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
2.在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤，进一步提高分析问题、解决问题的能力。
3.能根据具体的实际意义检验结果的合理性，增强数学应用意识和能力。
二、教学重点：探究用一元二次方程解决实际问题的过程。 教学难点：发现问题中隐含的未知量，寻找等量关系并列出
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一元二次方程，用方程的解来解释实际问题的解。
三、教学方法：引导、启发学生自主探索、合作交流 四、学习方法：自主阅读法、合作学习法 五、教学准备：导学单、课件、几何画板 六、教学过程
教学流程
活动名称
主要内容及目的
一、 创设情境，回顾旧知
（10分钟）
主要内容：解决梯子下滑问题
目的：从学生身边的问题出发，激发学生的学习兴趣，调查学生起点在哪里？ 回顾用方程解决实际问题的一般步骤。 二、 探究新知，感受建模
（20分钟） 主要内容：军舰、补给船相遇问题 目的：学会从实际问题中提取数学信息并转化为数学语言，准确地找出已知量和未知量，通过等量关系建一元二次方程。 三、 总结归纳，提炼步骤
（2分钟）
总结运用一元二次方程解决实际问题的一般步骤
四 、利用新知，尝试应用
（5分钟）
主要内容：《九章算术》“勾股”章：两人相遇问题。
目的：体验数学与生活的紧密联系 五、 课堂小结，内化新知
（2分钟） 学生自主梳理列方程组解决问题的一般步骤，体会数学建模思想的重要意义。
六、布置作业
（1分钟）
教材练习题
教 学 过 程
问题与情境 问题 备注 活动1、发现自我 1、展示直角三角形图形
（1）勾股定理是勾股定理我国最早发现的，它揭
铺设问题情境，奠定知识
看见这个熟悉的图形，你想到了什么定理？
2、梯子下滑问题
一个长为10 m的梯子斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面垂直距离为8 m，（1）如果梯子的顶端下滑1 m时，那么梯子底端滑动多少米？
（2）当梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和梯子顶端下滑的距离相等？
示的什么内容？ （2）应用勾股定
理的条件是什么？如何没有直角三角形，我们该怎么办？
（1）首先要解决
这个实际问题可以把它抽象为什么几何图形？
（2）当梯子的顶
端下滑1 m时，你能用算术方法求梯子底端滑动的距离吗？
（3）如果梯子顶端下滑的距离与底端滑动的距离
相等，你还能用算术方法求梯子顶端下滑的距离
基础 【学生活动】
1. 学生独立思考、解答问题； 2. 学生举手发言、分享解题思路；
3. 学生经历从算术到方程的过程，顺利引入本课。
4. 学生尝试用一元二次方程解决实际问题（学生板书，写出完整过程）。 【教师活动】
1． 几何画板
演示梯子的动态过程；
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吗？你准备用什么方法解决？请你独立思考！
（4）你列出的是什么方程？（点题：应用一元二次方程）
（5）请同学们解答这个问题（教师只是观察学生答题情况，完成之后进行评价，看审、设、列、解、捡、答是否完整！） （6）通过梯子问题，我们一起来回顾一下列方程解应用题的基本步骤
2.对学生的解答及解答进行评价。
3.引导学生回顾应用列方程解解应用题的基本步骤！
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活动2、挑战自我 军舰、补给船相遇问题
例. 某海军基地位于点A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰. 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里)
（1）请同学们仔细读题，分析题中的已知量和需要解决的问题，并在图形中标注出来。（2）要求DE，我们应该构造什么样的图形呢？图形上有吗？如何构造呢？
（3）我们不妨DE的长为x，请同学们根据题中的等量关系列出方程，然后在小组内交流一下你的思路。学生展示列出方程的思维过程！（上台讲解），然后解答！（教师评价）
（4）除了设DE【学生活
动】
（1）学生独立思考，分析题中已知量，要求的问题，并在图形中标注出来； （2）学生举手发言，分享审题过程。
（3）学生独立思考，列出方程。 （4）组内讨论，交流所列方程的正确性。完成详细的解答过程。 （5）小组代表分享解题思路，学生上台分享！
【教师活动】 展台展示学生解
题过程为x以外，还有其他的设法吗？（列出方程即可）
总结：通过本题你有什么值得与大家分享的呢？请大家说一说
例如：解决几何问题一定图形先行，没有基本图形就构造； 读懂题意，找出它们的路程关系！
（1）启发学生思考，点拨学生对问题中不理解的
地方或疑惑的地方；
（2巡视，个别指导；
（3）参与小组讨论；
倾听、点拨、评价学生发言 【设计意图】 通过审题，让学生明确题目中告诉的已知条件以及要解决的问题。
通过未知数的不同设法，体会从不同角度分析问题、解决问题的方法，培养
学生的创新精神。
活动3、成就自我
《九章算术》“勾股”章中甲乙相遇问题
《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙各行几何?”
大意是说:已知甲,乙二人同时从同一地点出发,甲的速度是7,乙的速度是3.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲,乙各走了多远?”
学生独立完成 教师评价
【师生活动】 展台展示学生解题过程学生独立分析、解决甲乙相遇问题 投影
通过解决古文字应用题，充分调动学生的学习积极性，体会数学与生活的紧密联系，增强学生热爱中国数学文化的意识。
课后作业
必做题：军舰、补给船相遇问题 变式：如果军舰的速度是补给船的
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1.2倍（题中其他条件不变），那么军舰与补给船应在哪段相遇？并求出相遇时补给船航行了多少海里?
选做题：收集一元二次方程解决那
些问题？
课堂小结
利用一元二次方程解决实际问题，你经历了哪些过程？这三个问题的相同点是什么？这三个问题的不同点是什么？
这三个问题的相
同点是什么？
这三个问题的不同点是什么？
【教师活动】 今天我们解
决的梯子下滑问题、航海问题都是通过构造直角三角形，利用勾股定理建立一元二次方程来解决的，其实一元二
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次方程的应用远远不只这些，在以后的学习中，还有更多的实际问题需要我们去探索。 【设计意图】 学生自主回忆解决问题的过程，培养学生总结归纳的能力。
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