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视频标签：弧、弦,圆心角
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视频课题：人教版9年级上册数学第二十四章24.1.3《弧、弦、圆心角》陕西
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24.1.3 弧、弦、圆心角
一、教学目标及重难点
1、学习目标：
（1）、理解圆心角的概念和圆的旋转不变性.
（2）、利用圆的旋转不变性，探究并得出弧、弦、圆心角的关系，并能正确推理论证。
（3）、通过观察、比较、推理、归纳等活动，发展推理能力以及概括问题的能力。
2.学习重、难点：
重点：探索关系定理并利用其解决相关问题.
难点：定理中条件的理解及定理的探索.
二、学习过程：
1、思考：
① 剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°和任意角度，观察旋转前后的两个图形是否重合，并填空：圆是 对称图形， 是它的对称中心；把圆绕着圆心旋转任意一个角度，旋转之后的图形都与原图形重合.
② 的角叫做圆心角.
2、探究：
如图，∠AOB=∠A′OB′，
那么，AB= A′B′, =
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
几何语言：∵ ∠AOB=∠A′OB′，
∴ AB= A′B′, =
结论1：在在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量都 .
结论2：在在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量都 。（知一得 ）
小结：在同圆或等圆中,如果
两个圆心角,
②两条弧,
③两条弦,
④两条弦心距 中,
有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
三、随堂检测(时间：12分钟满分：100分)
1.(10分)如图，AB是⊙O的直径，
,∠AOE=72°，则∠COD的度数是( )
A．36° B．72° C．108° D．48°
2.(15分)如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是半圆上两个三等分点，则∠COD=
3.(15分)如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A=50°，
则∠BOC=
4. (15分) 如图，在⊙O中，AB=AC，∠C=75 ，
求∠A的度数.
5. (15分)如图，在⊙O中，AD=BC，求证：AB=CD.
（二）、综合应用(20分)
6．（20分） 如图，A、B是⊙O上的两点∠AOB=120°，
C是AB的中点，
求证：四边形OACB是菱形.
三、拓展延伸(10分)
7.(10分)如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD．
(1)求证：△AEC≌△DEB；
(2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．
弧、弦、圆心角 教学设计
【教学目标】
【知识与技能】
1、理解圆心角的概念和圆的旋转不变性.
2、利用圆的旋转不变性，探究并得出弧、弦、圆心角的关系，并能正确推理论证。
【过程与方法】
1、 通过PPT动画演示使学生感受圆的旋转不变性，发展学生观察分析能
力.
2、 通过观察、比较、推理、归纳等活动，发展推理能力以及概括问题的
能力。 【情感态度】
培养学生勇于探索的良好习惯，激发学生探究，发现数学问题的兴趣.
【教学重点】
探索关系定理并利用其解决相关问题.
【教学难点】：定理中条件的理解及定理的探索. 【教学过程】
一、情境导入，初步认识
利用著名数学家华罗庚的一段学习名言，端正学生的学习态度，激励学生学习的斗志。
【设计意图】学习是件苦差使，所以，上课前，我借助著名数学家华罗庚
的一段话，让学生重新认识学习的重要性，燃起学习的热情。
然后，通过复习垂径定理和等弧的概念，引导学生走入课堂，看一看与之有关的圆的相关问题。
【设计意图】通过复习相关知识，让学生重现所学，为本节课的学习做以铺垫。
二、思考探究，获取新知 1.圆的旋转不变性
通过学生自制教具，借助教师的演示，以及PPT动画的展示，让我们不难发现：
围绕圆心O旋转任意角度α，都能与原来的图形重合，所以圆是中心对称图形，并且具有旋转不变的特征. 这也是车轮具有的特征，所以汽车才能正常行驶.从而引入本节课题：
2.弧、弦、圆心角之间的关系
探究如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系，为什么？
【师生活动】：学生利用手中的卡片进行观察，发现规律，教师在黑板上借助教具演示给学生，再次明确发现的规律，然后借助ppt动画，让学生全方位
的理解三者之间的关系，明白“对应相等”。
【设计意图】：让学生通过演示，观察，思考，并归纳总结.初识定理，引发进一步的思考,同时，通过定理的证明体现数学的逻辑性、严谨性。
【归纳结论】 ABAB AB=A′B′
再分析等圆的情况（借助动画演示让学生有所感知） ∴由圆的旋转不变性可得出下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相同. 议一议：
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？
所对的弦相等吗？
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？
所对的弧相等吗？
【师生活动】：教师引导，学生积极配合，想办法利用所学知识证明三者之
间的关系。
【设计意图】：学生结合圆的旋转不变性，很容易得出结论.这两个问题是为了使学生深切体会，圆心角、弧、弦三者在同圆或等圆中之间存在的关系.
【推 论】：
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧（指所对的优弧和劣弧）也相等.
【强 调】：1.弦所对的弧有两条---优弧和劣弧；2.定理及其推论的符号语言.
【设计意图】：培养学生用符号语言表示结论，发展学生用符号语言说理的能力.
由此可总结为：在同圆或等圆中，圆心角相等则弧相等，弦相等. 【思考】：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也
相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
【教生活动】：教师引导学生质疑，探索，学生寻找、发现解决问题的方法。 【设计意图】:让学生学会质疑，敢于发现问题，从而解决问题，进一步加深对定理及推理的理解，使知识系统化，准确化。培养学生科学、严谨的学习态度。 练习：如下图，AB、CD是⊙O的两条弦。
（1）如果AB=CD，那么 , 。
（2）如果AB=CD，那么 ， 。O
C
D
F
A
B
E
图3
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， 。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？
（提示：三角形全等或全等三角形同一边上的高相等）
【师生活动】：通过不同的论证方法，让学生体验成功的乐趣，提高学习的积极性，并能进一步发展学生的思维，尝试多种方法，多种思路解决同一问题，使所学知识能更自如的应用。
【设计意图】：让学生在定理的掌握上有进一步的提高，充分考虑三个量之间的对应关系，如：第1、2、3问；第四问的问题为学生拓展思路，交给学生此类论证的方法，初步感受圆与三角形全等的结合，为下一步的拓展指明方向。
3 定理的延伸
探究：将∠AOB绕O旋转到∠A/OB/ ，你能发现哪些等量关系？
【结论】：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧, ③两条弦, ④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
圆心角定理整体理解：
强调条件：在同圆或等圆中
【设计意图】：让学生充分理解并感受这四个量之间的关系，能很快的反应出他们之间的对应关系，体会“对应相等”
4.圆心角、弧、弦定理及推论的应用
例1: 如上图，在⊙O中，弧AB=AC，∠ACB=60°， 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
分析：在⊙O中，要使圆心角相等，可通过证明圆心角所对的弦或弧相等解题.
证明：∵弧AB=弧AC，
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA. ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.
【师生活动】：教师引导、分析，让学生初次感受定理及推理的应用方法，通过学生的表述，让学生进一步体会数学证明的规范性和严谨性。
【设计意图】：学习定理是为了解决数学问题的，通过例题的讲解以及学生的解答，发展学生的推理能力以及概括问题的能力，并潜移默化的规范学生的书写要求，
三、运用新知，深化理解 （一）、基础巩固
1.(10分) 如图，AB是⊙O的直径，BC
CDDE， ∠AOE=35°，求∠COD的度数。
2.(15分) 如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是半圆上两个三等分点，
则∠COD=
3.(15分) 如图，在⊙O中，点C是
的中点，∠A=50°，
则∠BOC= 【师生活动】：教师引导，学生上黑板讲解解答过程，教师发现问题，及时予以矫正，让学生能进一步应用定理解决相关问题。
【设计意图】：巩固定理内容，加深对定理的理解，初步应用定理解决问题，培养学生的逻辑推理能力及运用知识的能力. 增强学习数学的信心和热情. 4. (15分) 如图，在⊙O中，AB=AC，∠C=75 ，求∠A的度数.
5. (15分) 如图，在⊙O中，AD=BC，求证：AB=CD.
【师生活动】：教师在教室巡回，看学生解题的实际情况，适时的予以指导，点拨，学生上黑板板演解答过程，教生共同进行评判，对于不同的解题思路和方法，用展台展示在白板上，让学生能清楚的看到同学的不同解法，开阔解题思路，发现问题，及时予以矫正，作对的及时予以肯定，鼓励。让学生能进一步应用定理解决相关问题，体现学习的连贯性。
【设计意图】：巩固定理内容，加深对定理的理解，尝试不同方法解题，开阔思路，锻炼思维，初步应用定理解决问题，培养学生的逻辑推理能力及运用知识的能力. 增强学习数学的信心和热情. （二）、综合应用(20分)
6．（20分） 如图，A、B是⊙O上的两点∠AOB=120°，
C是AB的中点，
求证：四边形OACB是菱形.
（三）、拓展延伸(10分)
7.(10分) 如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD．
(1)求证：△AEC≌△DEB；
(2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．
【说 明】：6、7题有一定的综合性，布置为作业，学生在做的过程中，可以应用所学，相互讨论，寻找最简洁的思路和方法。
四、知识小结 ，让学生进一步明确所学。 通过这节课的学习，你掌握了哪些知识?
【教学说明】：设问引起学生进行回顾与思考，完善知识体系。
五、布置作业
【教学反思】：
1.本节课学生通过观察、比较、推理、归纳等活动，得出了圆是中心对称图形以及圆的旋转不变性，圆心角定理及推论，可以发展学生勇于探索的良好习惯，培养动手解决问题的能力.
2.本节课中，教师尽量让学生掌握解题方法，即要证弦相等、弧相等或圆
心角相等，可先证其中一组量对应相等.掌握这个解题方法有助于提升学生的抽象思维能力.
3.在讲解随堂练习和例题，以及练习题的过程中，大胆尝试不同思路和方法解决同一问题，开阔思路，锻炼数学思维能力，进一步巩固所学知识并灵活应用。
4、借助现代化教学设备，充分发挥其优势，加大了课堂容量，让学生很直观的看到了所学知识的精彩呈现。
5.本节课的不足是：对于现代化教学设备，应用不很熟练，录课仓促，设备出现一点问题，例1讲完后，后面的视频全部是快进，导致剪辑内容不很理想，没有完全呈现我的教学思路。比如：学生不同解题思路的展示，包括板演的讲评和实物展示台的展示，还有课堂的小结等等。
敬请同行点评指导，谢谢大家！
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