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视频课题：初中数学人教版九年级上册第二十四章圆数学活动-北京市第一O一中学
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初中数学人教版九年级上册第二十四章圆数学活动-北京市第一O一中学
1.指导思想与理论依据
总体设计思路包括四个部分：①尝试理解数学教育家波利亚的名言；②尝试将折纸活动贯穿几何教学；③从数学实验角度设计本课；④从整体把握的角度设计本课： 一. 用波利亚的名言指导折纸教学
“拿一个有意义又不复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域.”——波利亚
其中，有意义是指，数学教学应引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习,不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力（摘自新课标）”
不复杂是指：叙述简洁，容易理解和入手，方法较多，不同层次学生都有收获；
发掘问题的各个方面以及引入完整的领域是指：首先折纸有公理保证——是比欧式几何扩大化的公理体系；其次折纸可以解决三次方程问题，由于优于能解决二次方程问题的尺规作图，因此能实现尺规作图不可能问题.
二. 尝试把折纸活动贯穿整个几何教学
1. 教材上几乎在几何的每一章节都有折纸、剪纸活动：如比较两条线段大小，折黄金
分割点等，折纸活动都是学生喜闻乐见、寓教于乐的活动形式； 2. 此外，我也开发了一些折纸活动案例：如用矩形纸片折等腰三角形、折平行四边形、
折矩形一边的多种分点、折正方形一边的三等分点等，其中《折纸中的几何学》被选为北京市第六届数学论坛的公开课；
3. 落实折纸活动：因为课堂时间有限，动手活动又要发挥作用，因此可以将折纸活动
（如：折线段的中点；动手操作折纸7公理）留作作业，第二节课展示三分钟.
三. 数学实验
1. 欧拉曾说过：“数学这门科学，需要观察，还需要实验”.
2. 《教育规划纲要》明确指出，提高人才培养质量要着力提高学生的学习能力、实践
能力、创新能力”.
3. 通过参加教研员刘忠新老师主持的市级规划课题《基于创新能力培养的数学实验教
学研究》，我进一步了解到通过数学实验教学的特点——可以使高度抽象的数学学习内容生动化、具体化、可视化，可以让学生体验前人研究数学时发现问题和积累经验的过程.
总之，数学实验是数学教育教学的重要组成部分，是教学质量与教学改革工程的重要建设内容.我们教师在教学中应该不遗余力的创造机会，让学生进行数学实验.
四. 整体把握
2016年3月，我有幸参加了北京市教育学院举办的“协同创新”学校项目，在听讲座、上公开课过程中，感受整体把握的乐趣，整体把握突破初中数学教学的局限性，而从更连贯的观点看待学科数学和教育数学之间的关系.
在数学学科本质的理解上，有纵向发展+横向联系的能力，并贯穿于教师的日常教学中. 整体把握主要包括：数学课程目标，数学课程的内容，数学思想方法，学生的学习.
2.教学背景分析
我将从学科背景、教材背景、学生背景三方面叙述：
一. 学科特点：
折圆形纸片是几何的内容，我觉得应该先理解几何这门学科的本质、发展历程，以及核心素养等内容——事实上，数学家已经给我们答案：
1. 阿蒂亚在《数学的统一性》中概括说：在数学中，几何是“视觉思维”占主导地位，而
代数则是“有序思维”占主导地位，这种区分也许可以用另一对词刻画，即“洞察”对“严格”，两者在真正的数学研究中起着本质的作用.我们的目标是培养学生发展这两种思维模式，过分强调一种而损害另一种是错误的.几何并不只是数学的一个分支，而且是一种思维方式，他渗入数学的所有分支.
2. 几何学的发展历程：经验几何、欧式几何、解析几何、变换几何、近现代几何学.其
中经验几何是人们通过动手操作等手段获得对几何实物的简单描述，每个人的发展和学科的发展应该是自相似的，经验几何与经验数学也是许多数学学习的开始，也就是说不能改丢掉对动手操作等环节，教师也应该有这个意识，尽可能地创造条件给学生动手活动.
3. 核心素养：这次课程改革中提出的六大核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、
数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养.）本节课主要体现为“数学抽象、逻辑推理、数学建模与直观想象等”.
二. 教材背景
教材上没有现成的课，需要老师去整合、去挖掘，提供学生一个门户，即动手操作，又能联系所有的图形，在学生已知、未知、想知之间建立联系，开启智慧之门.
三. 学生背景
我将从学生的知识储备和能力储备两方面分析，以及学生对两者的已知、未知、想知，以及怎么知之间的内容和联系： 1. 知识方面：
(1) 已知：初三学生已知三角形、四边形、其他正多边形、圆的性质、判定；中心对称、轴
对称等变换的定义、作图方法、性质等；在代数章节中也学过了抛物线、双曲线等曲线型，更在学习过程中感受到椭圆和圆可能有着千丝万缕的模糊认识； (2) 未知： ① 圆是椭圆的特例； ② 椭圆、双曲线、抛物线都是圆锥曲线，不知道三者是有密切联系的； ③ 学过的众多图形该如何分类；
(3) 怎么知：把握基本原则：特殊到一般、从已知到未知、从易到难等
① 如何发现圆和椭圆的关系？折出圆，之后折椭圆，再观察椭圆和得到的圆之间的关系； ② 如何由椭圆想到双曲线？运用“分类讨论”——将点从圆内移到圆外，便可得到双曲线； ③ 如何想到折出抛物线？能否将背景图形进行分类——圆形纸片大胆改为矩形纸片？ ④ 如何想到其他折法？ ⑤ 如何将图形分类？
2. 从能力上看
(1) 学生的优势：①对核心素养中的“逻辑推理、数学运算”等掌握较好，②对图形的性质、判
定掌握较好；
(2) 不足：①学生接触过数学实验（如剪纸折纸，制作模型等），但动手机会不多，动手能力
不足，②对数学抽象、数学建模的掌握不是很灵活，③对数学思想方法（如分类思想等）的体会还不够深刻；
3.教学目标(含重、难点)
这个三维目标，分别对应学会、会学、乐学三个方面.关注过程性、学科本质和学科思想 一. 知识能力
1. 学生折纸得到一些常见图形，掌握三角形、四边形、圆等性质和判定； 2. 理解圆的多种对称性的应用和美感；
3. 培养学生动手能力，了解数学实验和理论证明之间的关系； 4. 理解分类的方法、了解研究的主要原则等； 二. 过程方法
对此，我解读为两部分，过程强调的是亲历，方法强调的不仅是学生掌握具体的技能，而且也包括教师进行的学法指导.应该是知识的学习，技能的训练，情感的体验，审美的陶冶，它们之间如影随形，相互交织，融为一体.
1. 让学生在动手折纸活动中感受圆的对称之美、各种图形的判定方法； 2. 在自由发言、小组讨论中，锻炼表达与合作等能力；
3. 教师适当进行学法指导：不仅有图形的分类方法，也有折出图形就是应用判定这样的点
拨，更有对正确的数学观的指导等. 三. 情感态度价值观——要体现人文性！
最重要的是教师用自己健康的情感、人生态度与价值选择去影响学生，通过身体力行的示范活动来，并创造有利于学习主体尝试选择、参与和体验的机会，让他们在这种尝试的实践行动中形成个性化的情感、态度与价值认知，形成个人的情感、态度与价值观.
1. 经历动手折纸的活动，培养学生既敢于尝试，又严谨认真的科学态度；折纸充满了探索
与发现，也有很多困难和考验.经过努力，会有新的发现，并由此产生强烈的成就感，从而增强学生学习数学的兴趣和自信心.
2. 通过折纸的方式解决几何数学，可以让学生掌握各种几何图形的特性，领悟几何图形中
存在的数学美，从而潜移默化地受到美的教育，培养学生的审美能力.
3. 折纸是一项细致的工作，需要按顺序地进行，折纸能培养学生按步骤有顺序地认真做事
的良好习惯.还可以培养学生的观察力、注意力、持之以恒、一丝不苟的性格.
4. 折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、眼和大脑；提高动手操作能力.比如学习折纸需
要用眼睛看折叠的过程，并在看的同时要思考，理解为什么要这样折；在折的时候，你要亲自动手，其间遇到问题，还要仔细去想刚才别人是怎么叠的.这样就可以使你开动脑筋、活跃思维，从而达到手、眼、脑三位一体的综合协调.
四. 重难点分析： 1. 教学重点：
(1) 折圆形纸片得到一些常见的图形；
(2) 明确折纸得到图形之前要联想到图形的判定方法； (3) 逆向思维、分类思想的应用； 2. 教学难点：
(1) 引导学生将问题数学化，即明确“折纸得到某图形，就是利用图形的判定”； (2) 让学生逐步理解并应用分类讨论的思想；
(3) 让学生感受研究问题的完整序列：发现问题→提出问题→分析问题→解决问题；以及培
养学生的发现问题的能力、创新精神的培养；. 教法、学法、教学手段
教法是指授课者运用哪些教学手段，采用什么样的教学方法来完成教学内容的.学法是指授课教师在教学过程中教给学生学习的方法和策略.它的意义可以用教育家叶圣陶先生说的话来概括“尝谓教师教各种学科，其最终目的在达到不复需教，而学生能自为研索，自求解决.”
简言之，教和学既要适应一节课的内容，也要和谐统一，更要达到“教，是为了不教”——授人以鱼不如授人以渔的效果. (1) 教法
① 为了体现数学实验的实践性，教学中让学生独立思考、充分操作、自由表达等； ② 又为了体现“整体把握”，教师采用讨论法、演示法、讲授法等； (2) 学法
① 为了体现数学实验的实践性，学生采取探究学习法、合作学习法等；
② 当学生思维有障碍时，教师适时“启发式”问题教学法，在学生发现问题之处，适当点拨； (3) 教学手段：PPT、几何画板、磁力黑板、板书、圆形纸片等穿插使用.
4.教学过程与教学资源设计（可附教学流程图）
【环节一】 问题引入
大家都听说过“数学实验吧”，比如《几何原本》就记载过的尺规作图、传统的折纸、教学模型，以及现代的几何画板等都是.它是以动手实践为主的数学学习方式，但在数学中，实践还需要理论证明！
如人们尝试，发现无法用尺规作出正十七边形，便默认不行，直到高斯从理论上给出了能用尺规作图的正多边形的条件，才解决了困扰人类两年多年来的难题.
[设计意图]：通过图形和例子等介绍数学实验，目的一方面是让学生直观的了解数学实验，另一方面是也是通过例子感受在数学中仅有实验是不够的，还需要有理论证明；最后也是给学生传达严谨坚韧的科学态度.
这节课，我们就通过一个数学实验，来感受一下数学实验的乐趣，以及与证明的关系，希望由此开启你的智慧之门.
【环节1】 问题引入
【环节2】 现场操作
【环节3】 探究操作
【环节4】 课堂小结
1、 以问题引入介绍数学实验和理论证明的关系； 2、 抛出本节课的数学实验，并提出理论证明的要求； 1、 操作，并展示学生折叠的成果； 2、 归纳圆的对称性；
1、 指导学生将得到的图形归类，预测还能得到的图形； 2、 探究折出某些图形的新方法、探究其他曲线型图形； 1、 从知识技能、思想方法、学习形式、心灵感悟等方面总结； 2、 布置作业.
题目：用圆形纸片折纸，看你能折出哪些常见的图形？
【环节二】 现场操作
给学生时间折纸，之后让学生自由展示得到的成果，并说明得到图形的理由：
大部分学生能得到正方形、正八边形、正三角形、正六边形、等腰三角形等常见图形，教师对好的方法鼓励，同时对一些方法予以点评.
其中，重点分析正三角形、矩形、菱形的方法. 一. 【正三角形】
1 第一步，分析如何得到正三角形；
因为要用圆形纸片折纸，因此要回顾圆和正三角形之间的关系 ①问题一：三角形的内角是圆中的什么角？——圆周角；
②问题二：圆周角多少度？如何构造？——学生自然会想到120°，之后利用圆的轴对称性，转化为构造60°，再转化为构造直角边和斜边的比为1:2的直角三角形，再转化为构造半径的一半；
2 第二步，给学生时间现场操作，并现场折纸得到正六边形. 3 提问学生用到圆的什么性质：轴对称性！
[设计意图]：这个过程是先让学生自由表达、展示得到的图形，再带领学生逆向分析，最后让学生动手操作，目的是回应开篇提到的数学实验和理论证明之间的关系，一定要思考，要有理论保证，并且给学生渗透逆向思维的用处.
二. 【矩形】对于矩形，可以分展示→分析→操作→总结四个步骤： 1. 展示：现场展示学生折纸的过程和结果；
方法一：如图，学生利用圆的轴对称性得到矩形，将A与O重合，得到折痕EF，同理得到折痕CD，顺次连结E，C，D，F，便得到矩形.
教师及时赞扬学生的想法和操作能力，之后提问还有其他折法吗？之后带领学生分析矩形的定义和判定.
2. 分析：现场带领学生分析折纸得到矩形的依据，引学生，他们将问题数学化：
定义和判定定理是我们构造图形的依据！
矩形的定义：含有一个直角的平行四边形是矩形； 矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形；
ML
A
OB
T
S
R
Q
M
L
AO
B
A
B
C
D
A
B
C
MLC
D
PA
OB
P
N
MLC
D
A
OB
矩形的判定定理：含有三个直角的四边形是矩形；
[设计意图]：学生的难点是不能利用图形的判定方法得到图形，或者无法建立之间的联系——无论是折纸也好，还是尺规作图也好，还是证明题目也好，得到一个图形，都要利用定义和判定，让学生再次明确数学实验有时候还需要扎实的理论基础作为保证；为接下来折纸得到菱形、梯形、圆等做好铺垫. 3. 操作：
方法二：如图，任意折出两条直径，顺次连结直径的端点，便可得到矩形. 4. 总结：
教师询问学生，两种方法分别利用了圆的什么性质？ 学生（预设）轴对称性、中心对称性；
三. 【菱形】类比矩形，研究菱形，可以按照分析→操作→总结三个步骤进行： 1. 分析：
(1) 先分析菱形的定义和判定，只是让学生分析，在折纸当中，哪种方法最容易实现？
理由？——折纸活动容易得到直角，所以选择“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”这个判定.
菱形的定义：邻边相等的平行四边形是菱形；
菱形的判定1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 菱形的判定2：四条边相等的四边形是菱形； (2) 分析能否在原有图形基础上得到菱形？ 2. 操作：两次对折圆形纸片得到互相垂直的两条直径以及圆心O，再将圆形纸片折起使得A
与O重合，B与O重合，折痕与半径OA，OB的交点分别为V，W，顺次连接，则得到菱形.
3. 总结：①多种方法要优选！②在正方形基础上得到菱形，用到什么数学思想？——转化！
【环节三】 探究操作
按照归类图形→折某些直线型图形→折曲线型图形→某些图形的其他方法四个步骤进行.
一. 指导学生将得到的图形归类，预测还能得到的图形、以及其他方法；
第一步，带领学生分析：已有→想有→如何有
(1) 已有：通过观察黑板上的图形发现已有：正方形、正八边形、正三角形、正
六边形、矩形、菱形、三角形等； (2) 想有：其他更为丰富的图形；
(3) 如何有：教师点拨学法——杂乱无章，原因是之前没有条理，因此我们可以将所得的图形归类，来推测还有哪些图形没有得到：
[设计意图]①学法指导应该是教师占主导地位的，学生的思维有局限处，正是我们出手点拨之时！但是仍然是点到为止；②对于分类讨论的思想的理解和应用，一直以来都是学生的难点，我们应该抓住任何一个教育的契机，让学生体会，学习。
第二步，分类：
【问题1】教师提问学生，分类之后，你能发现什么问题？ 生（预设）：没有折出来的图形，直线型的有平行四边形、梯形、正五边形、正九边形；曲线型图形有圆、椭圆、抛物线、双曲线；
【问题2】你们的感觉很敏锐，对于没有折出来的图形，你研究的顺序是什么？ 生（预设）：先折平行四边形、梯形；再尝试折曲线型；
【教师总结】你们的感觉又是对的，这是按照由易到难的顺序进行的；接下来，我们就来分析如何折纸得到平行四边形，最后折纸得到；以上就是我们研究数学问题的完整序列：发现问题→提出问题→分析问题→解决问题：
[设计意图]①传达分类讨论思想的应用和具体方法；②培养学生建立归类、有序思维的习惯；③呈现给学生完整的研究问题的程序：发现问题→提出问题→分析问题→解决问题；其中，我们教师要做的不是完全放手，因为发现问题就是需要智慧，更需要方法，我们教师就要点拨方法，而且是点到为止，让学生自己品尝到发现问题的快乐，而且能掌握一些可行的方法，进而能在今后的数学学习过程中独立的发现问题，培养创新能力.
二. 探究没有折出来的直线型图形
(1) 平行四边形
类比菱形的折纸过程，可以按照分析→优选→操作→总结的顺序进行： 第一步，分析——平行四边形的判定：
第二步，优选——选出一个折纸最简单的判定是什么？ 第三步，操作——独立操作，之后展示交流；
第四步，总结——在矩形基础上得到平行四边形，用到什么思想方法？转化. [设计意图]
① 仍然是强调数学实验和理论证明之间的关系——一定要有理论保证， ② 再次明确折纸得到图形，就是利用图形的判定，而且首先要明确判定， ③ 教师还要对学生进行学法的指导——即多种方法要优选，选出最简单的折法
④ 其他的方法，待学生课下继续探究，而不是都展示出来，仍然是希望通过这节课，
开启学生的智慧之门。
⑤ 最后，再一次进行思想方法的渗透，教师补充提问：为了得到平行四边形，我们借
助于矩形，利用矩形边、角、对角线的性质，这其中用到了什么数学思想方法呢？——转化！化难为易，化已知为未知. 对此，只给学生展示课程刚开始时候的尺规作图作正五边形的图形，课堂上不讲授，留作作业，鼓励学生自己查资料，了解更多的折法，后动手折纸，目的是开启学生的智慧之门.
三. 探究曲线型图形
圆、椭圆、双曲线、抛物线 (1) 折圆
首先，指导学生分析得到圆的方法——就是判定，根据圆的定义，到定点的距离等于定长的点的集合是圆，问题为定点在哪？定长又是多少？
[设计意图]：再一次回到图形的判定上，让学生再次感受数学实验和理论证明之间的关系，一定要有理论证明，而且两者之间是相辅相成的；
经过分析圆的定义，定点容易找，但是定长如何找？发现圆的半径是个定长，如何得到新的定长？由于折纸活动容易得到线段的中点、角的平分线；因此只要折出线段的中点就能找到定点，之后折出更多的折痕，即可.
之后引导学生说理：每一条折痕都是圆的弦，且弦心距是半径的一半，即垂足到圆心的距离是定值，再画与每一条折痕相切的曲线，本质上是画出众多的“垂足”，利用圆的定义“圆是到定点的距离等于定长的点的集合”，得到圆.
(2) 椭圆：
按照：分析→操作→联系的顺序进行： 第一、分析：
【问题1】你感觉椭圆和那个图形关系比较密切？ 学生（预设）：圆；
【教师鼓励】感觉完全正确，尤其几何这门学科非常需要明锐的感觉——数学家阿蒂亚在《数学的统一性》中指出，几何这门学科是视觉占主导地位的。
【问题2】你知道怎么分析得到椭圆了吗？ 学生（预设）：先回顾得到新圆的过程，再发散思维吧； 【问题3】得到新圆的操作关键步骤是什么？
学生（预设）第一步、选了一个点——这个点是圆心，第二步、去折纸；
RS
DA
O
B
C
PFGED
C
B
M
A
O
O
O
【问题4】你觉得这两个步骤哪个更能发散思维？怎么发散思维？ 学生（预设）第一个！尝试取圆内不同于圆心的任意一个点； 【教师鼓励】有时候，找到关键，才能水到渠成！ 第二、操作
在圆内找到不同于圆心的任意一点，仍然去折纸，使得圆周经过这个点，得到很多折痕，再画一条光滑的曲线，与这些折痕都相切，便得到椭圆。
第三、联系
【问题5】动手折纸得到了椭圆，你能说说它和圆的联系吗？ 学生（预设）：圆是特殊的椭圆。 [设计意图]：
(1) 培养学生发散思维能力，只有从已知向未知探索，才有思维的提升，能力的进步，更能
落实核心素养中的直观想象等等；
(2) 将学生未知、隐隐约约知道的椭圆和圆的联系，通过这个折纸活动充分感受并表达出来； (3) 为进一步让学生感受分类思想的应用，为接下来进一步将点的位置分类，而产生双曲线
做好铺垫；
(3) 折双曲线
按照：分析→操作→联系的顺序进行：
【问题1】回顾得到椭圆的过程，你还想进行哪些操作？ 学生（预设）这个点选在圆外！
【教师鼓励】大家利用了分类的思想，进而提升了思维能力和洞察能力； 【教师引导】时间关系，我们通过几何画板演示一下； 【问题2】请你猜测这条曲线是双曲线还是抛物线？
无论学生回答什么，教师都让学生课下查阅资料，了解椭圆和双曲线还是抛物线关系密切？密切的关系是什么？
(4) 抛物线：对于初中阶段常见的抛物线，则可以利用矩形纸片折纸，近似得到，
仍然利用轴对称和高中抛物线的定义.
四. 探究折出某些图形的新方法
【问题】教师提问学生：请大家思考，对于有些已经达到的图形是否还有其他方法？
(1) 正六边形
我们按照尺规作图的步骤可以得到正五边形，这给我们一个很好的思路；
【问题】参考尺规作图的方法可以得到正多边形，你能得到常见的正多边形吗？ 学生（预设）：会想到正六边形的尺规作图方法，如图，以B为圆心以OB为半径作圆与圆O相交于C，D，同理得到E，F，顺次连接可证明得到正六边形.
N
M
O
F
P
N
M
O
F
P
NM
F
P
NM
F
P
【问题】正六边形的尺规作图方法中“相等的半径”能给你一些启示么？ 学生（预设）：利用两个等圆的纸片得到正六边形，如图.
(2) 圆
【问题】对于圆，我们利用圆的定义——到定点的距离等于定长的点组成的图形叫做圆，还有其他方法类似得到圆吗？
学生预设：绝大部分人会默不作声；
【问题】请大家回忆一下折矩形、菱形、平行四边形的过程是什么？ 学生（预设）：先分析定义和判定定理，之后选择最容易操作的，之后折图形； 教师赞扬同学们有良好的学习品质；
【问题】那我们回忆学过的圆有哪些判定？
学生预设：绝大多数人默不作声，少数人会发现圆没有别的判定； 教师引导：那么，我们先来梳理一下与圆有关的内容：
圆的定义圆的概念圆的弧、弦(直径)、有关的角、弓形等圆的轴对称性：垂径定理及推论圆的性质圆的旋转对称性：圆心角定理圆周角定理及推论圆点与圆
直线与圆圆与其他图形圆与圆正多边形与圆椭圆与圆与圆有关的计算 【问题】通过上述梳理，你能发现什么问题？ 学生（预设）：圆没有其他判定；
【问题】若想得到圆就需要利用圆与其他图形的关系，并且只能近似得到，用哪个呢？ 学生（预设）：正多边形与圆；
【问题】在上几节课中，我们了解到当正多边形的边越来越多时，正多边形就越来越接近圆——这正是刘徽割圆术的思想；因此为了得到圆，我们可以在圆中折出一个什么？
学生（预设）：正多边形；
提问有思路的学生来回答：不断的将圆对折，对折，再对折，得到扇形，再将从扇形中折出一个等腰三角形，打开，得到一个正多边形，对折4次，得到正十六边形，如图；如果你用更薄的纸，也最多能折12次（这是吉尼斯世界纪录，因为指数的增长是非常可怕的，对折12次之后总共的厚度为原来的2的12次方=4096，一张普通纸厚度0.065mm，12次之后得到266mm），实践得不到圆，只能依靠我们的思维来证明！
【问题】想象一下，你的圆形纸片是平面的一部分，没有厚度，因此你便能折无限多次，此时，你的正多边形和圆有什么关系？
学生（预设）：无限接近于圆； 【问题】你用到了什么思想？ 学生（预设）：极限思想.
[设计意图]
① 通常利用定义、判定来作为依据得到图形是这节课学生经历的、并且能够理解的部分，再一次重复这个过程，有利于学生真正理解和形成方法；
② 让学生再次经历一个完整的研究问题的过程：即经过梳理圆的内容，发现圆只有定义，而没有其他的判定，怎么办呢？—这就需要找到与圆非常接近的图形——正多边形，再一次带领学生发现问题→提出问题→分析问题→解决问题；教师指明方向，学生一步步推理，正是“享受思维活动带来的快乐”的具体体现，也应是我们教师在数学教学中从始至终、不遗余力进行的.
③ 此外，在折纸课程中，教师也应该介绍折纸的一些基本事实、基本原理，不仅开阔学生眼界，而且明确基本规则.
【环节四】 课堂小结
如何总结一节课的收获呢？通常从以下几方面归纳： 1. 知识技能：
① 从整体上看，圆有哪些性质：轴对称性、旋转对称性、中心对称性； ② 具体体现：垂径定理、圆心角定理、圆周角定理 ③ 圆和其他图形的关系
U
O
M
NO
MNO
M
NO
MNO
M
NO
M
NO
M
点和圆：研究位置关系与数量关系的等价关系 直线和圆 圆和圆
正多边形和圆 椭圆和圆
④ 特殊三角形、四边形的定义、性质、判定是我们得到具体图形的依据. 2. 思想方法：是数学的灵魂与精髓；
在得到一些图形之后，我们自然想到将图形归类，用到什么思想？——分类讨论 借助矩形得到平四，借助正方形得到菱形，这是什么思想——转化. 在圆中折纸得到圆用到了什么思想——极限思想. 3. 学习形式
大家感觉很有趣很过瘾吧，因为是进行了折纸这种数学实验，那么你能叙述数学实验的特点？
直观，操作性强，有趣，
和理论证明的关系呢？相辅相成，但需要理论证明. 4. 心灵感受
先让学生说，之后教师再表达自己的感受：
事实上，数学并不高冷，它很温情；一方面前人智慧的光芒在照耀我们学习之路，另一方面我们也该有一些自然情怀、人文思考.比如折圆形纸片过程中能出现直线型也能出现曲线型，曲与直相互伴随，我们借助圆定义多边形的诸多概念，相反又用多边形研究圆周率，这说明两者是相互转化；
另外圆是流动的，多边形是稳固的，又让我想到中国古人“天圆地方”的说法，它不仅仅指图形（如天坛图），而是说为人处世的态度，外在要灵活而宽广，要内心稳定而强大，某饮料的包装上 “心静如水，志刚如磐”（如图）也揭示同样的道理.
O
5. 迷惑、探究、查阅之处：
6. 布置作业：
(1) 将平面图形分类，用多种方法折圆形纸片得到常见的封闭图形；
(2) 写一写你这节课的感受、迷惑、继续探究的成果、查阅到的资料内容等；
[设计意图]
① 带领学生梳理一节课的收获，也是一种具体而有效的学法指导，而不能笼统的问学生“你学到了什么？”，因为学生对收获认识是不系统的，甚至是模糊的，所以教师应该时刻有意识给学生渗透分类讨论的意识，点拨学生分类的方法，总结时尤为重要； ② 为什么要让学生总结“心灵感受”呢？第一，最为重要的是让学生从人文思考的角度、表达感受到的数学美感（动静之美，方圆对比之美等）、数学神奇（之曲相伴，互化；图形之间的蕴含、转化等）；第二，教师传达正确的数学观的机会、跟学生亲密交流的机会，排除对数学恐惧心理的机会；第三，让学生自我表达和展示的机会；
③ 为什么要联系刘徽、高斯？也就是为什么要渗透数学史？以及以什么样的姿态渗透数学史——第一，用大师们的故事激励学生们前行，第二，更重要的是，让学生感受到真实的历史中，人类遇到过什么问题，如何解决的，付出了哪些努力……并思考哪些内容和方法是有价值的，了解了这些，相信学生会慢慢感受到数学波澜壮阔的宏大与美！更能感受到穿越时空的那种与大师们的对话，怀着这样一种崇拜、亲切的情感再回头学习中学数学，可能会有一种别样的结果.
④ 课后的探索、查阅环节会将本节课的内容向更广阔的空间延续：一方面，学生可依照一定的体系，甚至仅凭自己的兴趣获取不同层面的感受——可能是结论在发现的兴奋，可能是问题再解决的愉悦，还可能是新思想的萌动和心悸等等；另一方面，也期望像数学教育家波利亚所说的那样“一个不难但有趣的问题会开启学习之门.”
5.学习效果评价设计
一、 课堂上后半段学生的学习情况
1. 由于学生存在的难点（学生背景分析），因此课堂前半段学生还没有很好的融入课堂，或者说反映不是很热烈，甚至还处于一种发蒙的状态——①不知道折纸得到图形就是利用图形的判定，②不知道如何分类，③不知道如何预测新的图形，④不知道如何发现问题„„ 2. 但是经过课中两个做法①分析图形的判定，优选方法，之后再折矩形、菱形，②“梳理封闭图形”的环节之后，更多的同学开始有思路，有方法，有创新了，如：①平行四边形、圆的折法比较顺畅，②较为顺利的进行圆这一章内容的梳理，③从圆到椭圆，在稍微提示下，有同学就能想到，④对点的位置的分类也比较明确； 二、 课后作业的检查
由于学生认知水平、理解力、学习力等能力的不同，学习效果也是千差万别的，我不奢望学生在课堂上都能听懂，那也是痴心妄想。但通过课后的思考、沉淀，相信更多的同学能力理解本节课的特色与要求；
6.教学设计特色说明与教学反思
一、 教学设计特色说明
1. 数学实验——思行结合：①整体介绍数学实验的特色、形式，②让学生几乎一节课都在
手、脑、眼三者统一运作；
2. 整体把握——横向联系，纵向发展：①横向方面，通过圆形纸片折纸，串起了平面内常
见的直线型、曲线型图形；②纵向方面，联系了小学折纸活动，以及渗透了高中圆锥曲线的内容，其中圆、椭圆、双曲线的在折纸中的关联还是比较巧妙和具有数学奇异美的；
3. 数学课堂上培养学生整体研究问题的能力：不止一次让学生经历发现问题→提出问题→分析问题→解决问题的过程，实实在在培养学生的创新能力，提高学生的思维水平； 4. 针对学生的薄弱之处，不断强化，又给出具体的方法指导：比如对于分类思想的渗透，
多次指导分类的方法：第一次分类出现在梳理封闭图形，第二次出现在圆的内容的梳理上，第三次出现在点的分类，圆内和圆外；第四次出现在最后的课堂小结上„„
5. 渗透数学史、人文思考、数学美学教育：教师将自己的所学、所感，以较为自然的方式
呈现给学生，同时也接收到了学生的感受，看到了学生的进步——可以说是一次受教育者和教育者共同提高的过程。 二、 教学反思
“我听见了就忘记了，我看见了就记住了，我做过了就理解了.”——华盛顿儿童博物馆 （一）. 受到鼓励，继续保持
1. 将要继续践行数学实验在初中教学中的应用；
2. 继续理解和学习整体把握中学数学课程的理念和做法； 3. 继续整合教材，开发这类课程； （二）. 不足
1. 对学生的了解还应该更深入细致； 2. 有口头语、应该再精炼语言；
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