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视频课题：初中数学人教版九年级上册第二十四章圆数学活动活动2探究四点共圆的条件-安徽省优课
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初中数学人教版九年级上册第二十四章圆数学活动活动2探究四点共圆的条件-安徽省优课
探究四点共圆
2017/5/1 一、 内容和内容解析
本节内容是探究四点共圆的条件。四点共圆是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线上三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆条件的探究。圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆。
在四点共圆条件的探究过程中，通过对特殊的四边形（矩形、等腰梯形）、有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点组成的四边形等四边形的探究，发现一般的规律（过对角互补的四边形的四个顶点能做一个圆），体现了特殊到一般的思想。同时在研究过程中类比将四边形转化为三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。另外，学生经历探究四点共圆的条件这一思想活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中有利于数学活动经验的积累。
二、 学情分析
学生在发现问题的阶段可能会受到任意一个三角形的三个顶点做一个圆的影响，去判断第四个顶点是否在这个圆上，解决这一问题的关键是引导学生从特殊的四边形出发，从特殊到一般的探究问题。通过画图、观察、测量分析矩形、等腰梯形、有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆与四边形的边长无关，由此联想圆内接四边形对角互补，获得猜想。另外，猜想的证明要用到反证法，学生可能不知如何入手，
而且猜想的证明对学生来说是难点。
三、 教学目标：
（1） 理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。
（2） 通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般转化的数学思想，积累数学活动的经验。 四、 教学重难点：
重点：四点共圆条件的探究。
难点：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明。 五、 教学过程： I、创设情境、引入新课
同学们，我们的家乡阜阳是有着悠久历史的地方，如果给我们一天的时间参加阜阳一日游活动，你会选择哪里呢？那么，今天老师就带领大家一起参观阜阳生态园。
问题1：某市公园需要经过A、B、C三个旅游景点建一个圆形快车道，如图，假如我们把A、B、C三个旅游景点抽象成点，你能设计出这个圆形轨道吗？
设计意图：由学生熟知的参观阜阳生态园入手，让学生去设计不在同一直线上的三点所在的圆，即能复习前面的三点共圆知识，又能为后面的猜想做铺垫。
问题2：如果要经过A、B、C、D三个旅游景点建一个圆形快车道，你能设计出这个圆形车道吗？
为了解决这个问题，本节课我们就来探究四点共圆的条件。
II、合作探究、获得猜想
探究：（小组1）平行四边形的四个顶点是否在同一个圆上？ （小组2）矩形的四个顶点是否在同一个圆上？ （小组3）等腰梯形的四个顶点是否在同一个圆上？ （小组4）有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点是否在同一个圆上？
教师引导学生画图、思考交流过矩形、等腰梯形和有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点是做一个圆上；过一般的平行四边形的四个顶点不一定能做一个圆，教师让学生展示自己作图的依据和想法。 师：前面我们已经学过圆的内接四边形有什么性质？ 生：圆的内接四边形对角互补。
师：这句话反过来还成立吗？请同学们拿出自己的量角器动手测量验证自己的猜想，并与同桌间交流自己的想法。
生：动手测量与同桌交流自己的想法，并得出猜想：“对角互补的四边形的四个顶点共圆”
师：教师根据学生的作图情况进行适时的指导。
设计意图：让学生经历从特殊到一般，从学生动手作图到发现部分四边形四点共圆再到猜想、动手测量验证猜想的过程，学生经历了几何教学的一般流程，一步一步的向目标靠近。有利于学生从四边形的边和角等方面去猜测、探究。有利于学生在解决数学问题的过程中思考、积淀，从而积累数学活动经验。 III、证明猜想 获得结论 猜想：经过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆。 已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°
求证：四边形ABCD内接于一个圆（即A、B、C、D四点共圆）
证明：（反证法）过A、B、C三点做⊙O，假设D不在⊙O上则点D在圆内或圆外。
若D在圆外，设CD与⊙O交于D′，连接A D′ 根据圆内接四边形的性质得：∠B+∠C D′A=180° 又∵∠B+∠D=180°，∴∠C D′A=∠D。
这与三角形外角的性质相矛盾，故D不可能在圆外。 类似的可以证明D不可能在圆内。 ∴D在⊙O上，即A、B、C、D四点共圆。 IV、回归问题
如果要经过A、B、C、D三个旅游景点建一个圆形快车道，你能设计出这个圆形车道吗？
设计意图：学生经历了解决数学问题的过程，让他们知道数学来源于生活又应用于生活。通过交流让学生明确一个问题的解决方案；在推测之后要进行验证，通过证明，让学生感受思想的严谨性，感受思想结论的确定性和证明的必要性，培养学生的推理能力。 V、例题分析
D'
D
O
B
A
C
例1、发现四点共圆
图1、PA、PB与⊙O相切于A、B两点
图2、⊙O中，点C是弧AB的中点过分别作CD垂直OA，CE垂直OB, 垂足分别为D、E
图3、∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠DCE=∠A
设计意图：让学生用发现的眼光去从多边形中寻找圆，并感受到圆与多边形之间的联系，感受几何图形之间并不是孤立的，解决几何问题的方法也是多样的。
例2、如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90° （1）A、B、C、D四点能否在同一个一个圆上？
OP
A
B
E
D
O
A
B
C
A
B
CD
E
（2）当∠ABD=70°，则∠CAD是多少度？
设计意图：考查学生对对角互补的四边形的四个顶点的应用，以及圆的内接四边形对角互补情况的掌握。 例3：（八年级教材习题改编）
如图，四边形ABCD是一个正方形，点E、F分别在边AD、CD上，且AE=DF，连接BE、AF
（1） 图中哪四个点在同一个圆上？
（2） 连接CG、BF.求证：∠FBC=∠FGC
设计意图：引导学生去用刚学习的四点共圆知识解决八年级已经学过的四边形问题，体会数学解题的殊途同归，从新的高度进行反思理解同一个题。同时这两个例题也这学生感受到数学“转化”思想的重要性。
五、 归纳反思、总结提升
启发学生思考：如果你遇到证明多点共圆，可以从以下几个方面思考： 1、 从圆的定义出发，证明各点都与某一定点的距离相等。 2、 如果证明四点共圆，可以先任选三点做一个圆，再证明另一个
点也在这个圆上。
3、 若能证明四边形对角互补，或证明其中一个外角等于其邻补角
的内对角，即可证明这四点共圆。
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