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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《斐波那契数列与黄金分割》广西—王宁
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第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《斐波那契数列与黄金分割》广西—王宁
斐波那契数列与黄金分割
柳州铁一中学 王宁
一、教学内容解析
1.内容
斐波那契数列的起源，斐波那契数列的递推公式、数学性质，斐波那契数列和大自然、人类生活的联系.
2.内容解析
本节课选自人教版《普通高中教科书·数学A版》选择性必修第二册“4.1阅读与思考”.是学生在学习完等差等比数列后安排的一节思维发散的课程.利用极限的思想得出黄金分割比，利用从特殊到一般的思想得出与斐波那契数列相关的一系列有待于进一步证明的猜想.这些方法都是探究数学问题时常用的方法，充分体现了数学问题的研究途径.旨在引导学生会用数学眼光观察世界；会用数学思维思考世界；会用数学语言表达世界.
基于上述分析，确定本节课的教学重点为：
-
理解斐波那契数列的产生过程及斐波那契数列的递推关系；
（2）感受黄金分割比在生活中的美及其应用价值.
二、教学目标设置
1.教学目标
（1）经历斐波那契数列的发现过程，发现其特点，研究其性质，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展学生的数学运算、数学抽象与逻辑推理素养.
（2）经历植物花瓣发散角的研究以及黄金分割比在日常生活中的应用介绍，激发学生的学习兴趣，体会黄金分割比与自然和生活的联系，提升学生的数学文化素养.
2.目标解析
达成目标（1）的标志是学生能够分组合作，通过观察、验证部分项之间的关系猜想出斐波那契数列的某些性质，得到斐波那契数列的数学之美.
达成目标（2）的标志是学生知道了黄金分割比与自然和生活的关系，知道数学是现实的、有用的.认识到数学的应用价值、文化价值和审美价值.
三、学生学情分析
本节课的授课对象为柳州铁一中学高三年级的学生.
从知识层面上来看，学生已经学习了数列的概念、等差数列、等比数列，对数列的研究有了一定的经验，了解“特殊到一般”、“极限”等研究方法、能够探究较为基础的数列问题；
从能力层面上来看，学生从数列中抽象出性质的能力还不算太强，只能通过验证某几项猜想出较为基础的有待于进一步证明的运算规律，进行不了更深层次的探究，需要教师进一步的引导.
从数学文化知识层面来看，学生对于斐波那契数列的了解不多，对于黄金分割比的了解也仅仅停留在0.618，不过文化知识的不足可以由学生课后的查阅资料自行补足.
基于上述分析，确定本节课的
教学难点为：启发、引导学生猜想出斐波那契数列的某些性质.
四、教学策略分析
本节课的内容主要是初步认识斐波那契数列及其简单的性质与应用，目的是发散学生的思维、扩大学生的视野、感受数学在生活中的联系、体会数学的价值.所以本节课以微课、视频欣赏、Excel等信息技术为辅助手段，以“发现问题、提出问题、分析问题、构建数列模型、求解结论，解决实际问题”为主线，以学生为中心，以活动为载体，采用启发式的教学方法，让学生在获得基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的同时，激发学习兴趣.并且本节课在最后设计了分层课后作业，满足不同层次的学生的需求.
师：在前面几节课的学习中，我们一起研究了两类特殊的数列——等差数列和等比数列，探索了它们的取值规律，建立了通项公式、前
n项和公式，并运用等差等比数列解决了实际问题和数学问题，体会到了数列强大的魅力所在.那么今天，我们将一起认识一个新的数列，通过这个数列我们再次来感受一下数学的美，体会一下数学的智慧.
环节一 回顾历史•溯斐波那契数列之源
师：两百年来，一直有人说这个数列是一组自然界的密码，是宇宙中不可泄漏的天机，它告诉我们世间万物皆由上天安排，斐波那契数列从何而来？它到底揭示了什么秘密？我们从头说起.
时间要回溯到1195年左右，一位叫莱奥纳多•斐波那契的意大利小伙子，跟着父亲在北非经商，那个时候的阿尔及利亚地区被奥斯曼帝国统治，流行的是阿拉伯文化，斐波那契突然发现，阿拉伯人的数学太厉害了，于是他请阿拉伯数学家教他数学，几年之后，斐波那契学成回国，他把他的数学知识写成了一本书，于1202年出版，名叫《算盘全书》，这就是其中最精彩的一页，因为在这一页上，介绍了一个数列，就是神秘的斐波那契数列.
【设计意图】利用数学史引入课题,可以引起学生的注意力,调动学生的求知欲,起到良好的教学效果.
环节二 理性思考•明斐波那契数列之意
活动一：如果一对兔子每月能生一对小兔子（一雄一雌），而每一对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生一对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由一对初生的小兔子开始，1年后会有多少对？
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时间/月 |
1 |
2 |
3 |
4 |
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6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
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初生兔子/对 |
1 |
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成熟兔子/对 |
0 |
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兔子总数/对 |
1 |
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··· |
师生活动：老师解读题目要求，带领学生分析并填写到第3个月，学生自主完成后面8个月的表格的填写.(找一名同学在白板上填写.)
【设计意图】学生独立思考，体验斐波那契数列的生成过程，培养学生的逻辑推理素养.
问题1：我们现在将得到的兔子的总数单独拿出来.那么在数学当中，像这样按照一定次序排列的一列数，就叫做？
生：（预设）数列.
问题2：请同学们仔细观察，你有没有发现这个数列有什么样的规律？
生：（预设）从第三项开始，每一项都等于前两项之和.
追问1：你能用严谨的数学符号语言来描述这个规律吗？
生：（预设）
【设计意图】通过问题串的设置，引导学生总结出斐波那契数列的递推性质，并运用数学符号语言表示，有助于学生形成递推意识、运用符号进行正确表征.培养学生的数学抽象素养.
师：这是一个由递推公式给出的数列，由于是斐波那契第一个发现的，所以我们称之为斐波那契数列，数列中的每一个数都叫做斐波那契数.
【设计意图】环节二让学生通过理性的思考，从兔子繁殖的问题中得到斐波那契数列以及斐波那契数列的递推公式，为后续的探究做铺垫.
环节三 分组合作•探斐波那契数列数学之美
师：现在我们站在巨人的肩膀上来研究一下斐波那契数列的数学之美，除了递推关系，斐波那契数列还有哪些性质呢？老师先给大家一种计算方式，这也是前面的数学家探究过的问题.
活动二：计算斐波那契数列相邻项的比值，你能发现什么规律吗？
师生活动：利用事先设置好的Excel表格，计算出斐波那契数列前15项中前项与后项的比值以及后项与前项的比值.
【设计意图】教师抛砖引玉，先给出一种计算方式带领学生探索规律，渗透研究数学的方法，为学生后面的分组合作探究做铺垫.
问题1：仔细观察，大家发现了什么规律了吗？哪位同学可以说一下？
生：（预设）随着项数的增大，后一项与前一项的比值越来越接近1.618，前一项与后一项的比值越来越接近0.618.
追问1：非常好，我们通过数列前15项的验证，猜测随着项数的增大，两个比值会无限的逼近0.618和1.618，这是数学里面的一种什么思想？
生：（预设）极限的思想.（教师板书）
追问2：非常好，那你知道0.618和1.618还有一个名字叫什么吗？
生：（预设）黄金分割比.（教师板书）
【设计意图】极限思想是重要的数学思想，借助于极限的思想得到黄金分割比，培养学生的数据分析核心素养.
师：我们在刚刚得到的两个性质中，接触到了加，减，除三种运算方式，其实数学中的计算方式还有乘、乘方、开方等，这都是我们研究数字规律的方法.现在老师给大家时间，还是这个斐波那契数列，请同学们以小组为单位仔细观察，大胆猜想，再通过计算去验证，看哪个小组还可以发现斐波那契数列其他的数学之美.每个小组可以派一名代表展示探究结果.
活动三：请同学们分组讨论斐波那契数列其他的数学之美.
师生活动：学生上台展示探究结果，教师辅助验证并板书.
【设计意图】发散学生的思维，让学生根据老师提供的思路大胆的猜想，培养学生逻辑推理核心素养.
问题2：几位同学都是通过观察、计算、验证斐波那契数列的前面一些项得到了一些运算性质,这又是我们数学学习中非常重要的什么数学思想？
生：（预设）归纳猜想.（教师板书）
追问1：非常好，既然是猜想，那就有可能是正确的，也有可能是错误的，那同学们有什么方法证明这些性质的正确与否吗？
生：（预设）可以用数学归纳法证明.
师：非常好，这就是我们今天的第一项作业，请同学们课后用数学归纳法严格的证明我们找到的三个数学之美，证明出它们是否对所有的
都成立.
【设计意图】教师完全放手，由学生小组进行归纳猜想，激发了学生的探知动力，体验了探索过程，获取了解决问题的方法，优化了思维品质，培养了学生逻辑推理的核心素养.
环节四 回归自然•知斐波那契数列自然之美
师：刚才我们得到了很多斐波那契数列的数学之美，其实斐波那契数列不仅仅有数学美，它还被称为自然的密码，我们继续来感受一下斐波那契数列的自然美.
师生活动：根据植物中向日葵的两种螺旋线的条数、植物发散角的微课介绍，体会植物与斐波那契数列的关系.通过鹦鹉螺的螺旋结构，体会动物与斐波那契数列的关系.最后，欣赏视频，动态的感受自然界中动植物与斐波那契数列的联系，体验斐波那契数列的自然之美.
【设计意图】从大自然中的植物和动物出发，扩大学生的视野，感受斐波那契数列带给我们的自然界中的美以及自然价值.增进了学生对数学的进一步理解，提高了数学教学的品质.
环节五 品味鉴赏•析斐波那契数列生活之美
师：自然界中，植物生长选择了最美的方向，动物进化也选择了最美的方向，可见自然万物都是热爱美的，而0.618就是一个美的源泉，所以我们人类在设计各种东西的时候，都自觉或者不自觉的选择了这个0.618.
师生活动：欣赏黄金分割比在生活中的应用价值，包括艺术品、建筑、信用卡、五角星、优选法等.
【设计意图】从斐波那契数列与植物的关系、与动物的关系过渡到与人类的关系，层层递进，环环相扣.让数学走进学生的生活，让学生感悟数学是现实的、有用的.扩展学生的思维，让学生知道数学在生活中的价值.
环节六 课堂小结•凝课堂之髓
师：本节课的最后，我们来回顾一下我们这节课所学习的内容，我们最初根据假想的生活中兔子繁殖问题，得到了斐波那契数列，对数列进行了研究，根据研究结果可以去解决更多的实际问题，整节课其实就是数学建模的过程，数学建模可以让一个纯粹的数学家变成物理学家，经济学家甚至生物学家.希望同学们把今天所学的知识运用到你们的生活中去，发现生活中的美，并且把这样的美应用到我们的工作、学习和创作当中.生活如此美好.
【设计意图】老师总结本节课的几个重要的环节：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建数列模型、求解结论，最终解决实际问题，这就是数学建模.升华本节课的主题，培养学生数学建模的核心素养.
环节七 布置作业
复习巩固
1.共有12级台阶，王老师每步可以迈一级或者两级台阶.
（1）王老师上楼一共可以有多少种不同的走法？类比活动一研究问题的方法,完成下面的表格.
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到达位置 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
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最后一步只跨一级 |
1 |
1 |
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最后一步跨两级 |
0 |
1 |
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总计方法数 |
1 |
2 |
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（2）如果将到达每一个位置的方法总数看成是数列
,请总结出
的递推公式.
综合应用
2.用数学归纳法证明活动三中发现的数学之美.
拓广探索
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合作探究，建立斐波那契数列通项公式和前n项和公式.
-
搜集优选法的相关资料，探索其在工业中的相关应用.
【设计意图】以教材课后习题模式为蓝本，将作业分为三个层次，巩固学生所学知识的同时，深化课堂，开拓学生的视野，提高学生独立思考能力和逻辑思维能力.
六、板书设计
斐波那契数列与黄金分割
1.618：1或0.618：1
三、数学之美（归纳猜想）
（1）
（2）
（3）
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多媒体演示 |
小组展示1：
小组展示2： |
【设计意图】左边板书体现本节课的重点内容，右边板书让学生有充分的发挥空间.
七、教学反思
本节课是一节数学活动课，数学活动课强调学生在课堂上的主体性和实践性，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力，这与核心素养下对数学教学的要求不谋而合.所以本节课用了大量的时间给学生自主探索并展示.但是，绝大多数学生是不了解斐波那契数列的，而提到斐波那契数列就不得不提到它的一些美学价值，因此在本节课的最后，也用了部分时间介绍了斐波那契数列中黄金分割比的美学价值与应用价值.
本节课只是初步的认识斐波那契数列，了解斐波那契数列，扩展学生的视野与思维，相较于正课而言，难度没有很大.不过，斐波那契数列还有更深层次的性质以及相关的问题，这些是需要后续的课程来完成的.某种程度上来说，本节课有一定程度的留白，引发学生对斐波那契数列的进一步思考与探究.
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