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视频标签：第十一届全国高中青年
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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《正弦定理（第一课时）》广西—屈
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第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《正弦定理（第一课时）》广西—屈
正弦定理（第一课时）
(1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点；
本节教学内容出自北师大版《普通高中教科书数学必修第二册》，第二章《平面向量及其应用》，6.1节《余弦定理与正弦定理》.
正弦定理揭示了在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等这一规律，与初中所学“大边对大角，小边对小角”定性刻画不同，正弦定理给出了任意三角形的边、角关系的定量刻画.
学生借助锐角三角函数定义，先在直角三角形中发现正弦定理，接着通过把一般三角形转化为直角三角形，从而分别在锐角三角形和钝角三角形中证明正弦定理.这一过程借助了分类讨论，转化化归和数形结合的数学思想，通过经历这一过程，形成“特殊到一般”的研究方法，这种思想方法常用于发现规律，证明结论.
正弦定理属于三角学知识，运用正弦定理能处理可转化为三角形计算的数学问题，它作为重要工具解决生产、生活中的实际问题，体现了数学的应用价值和正弦定理的核心地位.
综合上述分析，确定本节课的教学重点是：正弦定理的发现和证明及其简单应用。
(2)教学内容的知识类型；
在本节教学内容中，包含了四种知识类型。正弦定理的相关概念属于概念性知识，正弦定理的符号语言表述属于事实性知识，发现—证明—解析—应用的过程研究正弦定理属于程序性知识，从特殊到一般、先猜想后证明、从感性到理性等研究问题的一般方法，属于元认知知识.
(3)教学内容的上位知识与下位知识；
在本节教学内容中，直角三角形的边角关系是正弦定理的上位知识，锐角三角形中的“作高法”、“外接圆法”是证明正弦定理的上位知识，正弦定理的比值等于该三角形外接圆直径及正弦定理的应用是正弦定理的下位知识.
(4)思维教学资源与价值观教育资源；
在直角三角形中发现正弦定理过程，能引发观察发现思维；正弦定理证明过程中把一般三角形转化为直角三角形，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；在直角三角形中发现、几何画板直观验证再到在一般三角形中证明正弦定理的过程，是引发由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观；正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化，从三角学的历史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达.这样在悄无声息中，渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变，这其实是一个推陈出新的过程，促进创新意识的发展，树立了“事物是不断变化发展”价值观.
本课教学以《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“立德树人”作为根本目标设置.
“课标”主题三模块对本单元内容要求是：帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用；用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题.
“课标”主题三模块对本单元学业要求是：能够从多种角度理解向量概念和运算法则，掌握向量基本定理；能够运用向量运算解决简单几何和物理问题，知道数学运算和逻辑推理的关系，重点提升逻辑推理和数学运算核心素养.
“课标”对本课课节教学内容要求是：探索三角形边长和角度关系，掌握正弦定理.
为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下：
1.目标
（1）经历观察、发现正弦定理，并用“做高法”和“外接圆法”证明正弦定理的过程，体会“特殊到一般”的研究方法和分类讨论、转化化归、数形结合等数学思想，同时提高逻辑推理、数学运算核心素养，知道数学运算和逻辑推理之间的关系，发展创新意识；
（2）经历对正弦定理内容赏析和简单应用的过程，感悟正弦定理审美价值和应用价值.
2.达成目标的标志
达成目标（1）的标志是经过老师引导，学生独立思考、课堂交流、合作探究后，能发现、归纳出正弦定理，并用“做高法”、“外接圆法”完成正弦定理证明过程；
达成目标（2）的标志是学生能用文字语言和符号语言描述正弦定理内容；概况出正弦定理符号表达式的结构特点具有对称美、和谐美；清楚用正弦定理解三角形的题目类型；能独自完成课堂的引例和例1.
（1）学生已有基础
学生在初中学过了平面几何的相关知识，能够熟练的解直角三角形，懂得作辅助线解决几何问题.本学期也刚刚学过三角函数和平面向量，在本节的理解上不会有太大问题.同时本节内容是紧跟在余弦定理之后学习的，为探索新的边角数量关系埋下种子，学习余弦定理时用到的数学思想可以迁移到正弦定理的学习中，尤其是余弦定理的证明方法也为正弦定理提供借助向量进行证明的思路角度；
通过小学、初中和高中阶段的学习，学生已经熟悉数形结合和分类讨论的数学思想，也接触过转化化归数学思想以及“特殊到一般”的研究方法.具备了观察发现，逻辑推理，自主探究的基本能力，培养了一定的数学学习兴趣，对知识好奇、愿意合作探究、分享交流.
（2）即将面临的问题
学生虽然有一定的观察分析和解决问题的能力，但是在前后知识的串联上会有一定的难度，较难想到用“外接圆法”证明正弦定理.正弦定理的证明过程需要学生对前后知识有比较强的灵活和综合运用能力并且能熟练运用转化化归的数学思想解决问题；还需要掌握把一般三角形化为直角三角形的知识、思想和方法;需要比较高的数学运算和逻辑推理能力，知道数学运算和逻辑推理的关系，能把数学运算和逻辑推理有效结合解决问题.
基于以上分析，本节课的教学难点为：正弦定理的证明.
（3）难点及难点突破技巧
难点1：用“做高法”在锐角三角形中证明正弦定理
1.这个差异是学生对运用转化化归的数学思想解决问题还不够熟练，需要先在锐角三角形中通过“做高”构建直角三角形来证明，而不是直接证明，可以通过老师点拨来消除差异.
2.这个差异是无目的的计算恰巧得到正弦定理，而不是通过分析目标式，在逻辑推理的指引下有方向的去进行数学运算，可以通过完成证明后教师点拨而让大家知道是通过两个直角三角形的公共边建立等式完成证明的，让学生知道逻辑推理和数学运算是有关系的，为钝角三角形中证明正弦定理打下基础.
难点2：用“做高法”在钝角三角形中证明正弦定理时高线落在三角形外部的情况
这个差异是从学生单独利用锐角三角函数定义证明正弦定理到通过锐角三角函数定义和三角函数诱导公式的综合运用证明正弦定理，这里对知识掌握熟练，知识综合运用能力较强的学生可以通过独立思考自主消除差异，其他同学可以通过尖子生引领进行板书分享来消除差异.
难点3：用“外接圆法”在锐角三角形中证明正弦定理
差异是学生不清楚整个证明过程中用到的知识、思想和方法，通过采用独立思考、组内、组间分享交流的教学活动由学生自主消除差异.
难点4：用“外接圆法”在钝角三角形中证明正弦定理时处理钝角的情况
差异是学生没有想到利用“圆的内接四边形对角互补”把钝角转化为锐角再进行证明，并且对圆的性质和三角函数诱导公式的综合运用能力较弱. 这个差距多数需要教师设置有效教学环节帮助消除,本部分是放在完成了锐角三角形中证明正弦定理之后进行的，已经有了一定经验，本环节采用独立思考、组内、组间分享交流的教学活动 ，并在老师个别指导下进行，是以表格导学的方式呈现探究任务，同时细化了探究任务，进而攻克难点.
四、教学策略分析
（1）教学材料分析；
以人教版必修五中提到在1671年，两位法国天文学家利用正弦定理计算出地月距离作为现实依据，设置以我国今年9月成功发射的遥感三十六号卫星新闻视频引发爱国情怀和国家自豪感，同时提出估算一个低轨道卫星距离观测者的距离作为情境导入，进而引发认知冲突激发学生学习兴趣；为让学生加深对正弦定理理解，得到其比值，也为接下来用“外接圆”法证明正弦定理作铺垫，创造性的活用教材，合理调整教材内容顺序，既保持了知识连贯性又分散难度；为让学生加强对正弦定理的应用，层次递进，设置引例和例1.
(2)教学方法分析;
本课教学内容重点是正弦定理的发现和证明及其简单应用，要求学生有较高的知识综合运用能力，故借助幻灯片、投影、几何画板、微课等多媒体技术的教学手段，采用观察发现式、问题启发式、合作讨究式的教学方法.
（3）设计“问题串”的分析;
依据学生认知规律，从问题1至问题5，“问题串”的设计体现了由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明的脉络，有利于形成后续研究问题的一般方法，“问题串”的设计也体现了发现—证明—理解—应用的研究模式，引导学生数学思维，拉升思维高度，激发了探索欲望.
(4)缩小认知差距的分析;
通过设计探究、发现与合作交流，让学生全程参与新知识的形成过程，及时获得评价与反馈；通过问题的合理设计激发兴趣，在师生互动、生生互动中，体验知识与方法的生成过程，形成学生主动参与，自主与合作探究的课堂气氛，为不同认知基础的学生提供相应的学习机会和适当帮助.
(5)学习反馈的分析;
通过课堂观察学生状态、提问、板书、投影等方式来考察学生对知识的思考、学习和掌握程度并及时采取恰当的补救措施.通过提问和让学生板书钝角三角形中证明正弦定理过程反馈“做高法”证明正弦定理；通过学生完成探究任务1和探究任务2反馈“外接圆”法证明正弦定理证明过程；通过引例和例1反馈对正弦定理的理解和应用；通过课堂小结反馈学生的知识、方法、思想、学法上的收获.
五、教学过程
(一)教学流程
（二）教学过程
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教学环节 |
教师活动 |
学生活动 |
设计意图 |
创设情境
设问导学 |
视频：2022年9月26日21时38分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感三十六号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务圆满成功。
引入：看到这里，我们不禁为我们的祖国感到无比自豪。与此同时，同学们有没有想过，卫星距离我们到底有多远呢？能用我们所学知识进行估算吗？下面是为测量某低轨道卫星获取的一些数据：B、C两地相距1200km,两位观测者在B、C两地同时观测同一颗卫星A，在B处记录的仰角是60°，在C处记录的仰角是75°，请问，卫星距离C地大概有多远？
引例：如图建立数学模型，如何求AC的距离？
设疑：这里已知两角及夹边，能用余弦定理直接求解吗？
引导：需要我们继续探索一般三角形新的边角关系。 |
观看视频
独立思考
集体回答 |
1．通过新闻视频，激发学生爱国情怀和国家自豪感；
2.通过引例产生认知冲突，感受学习正弦定理的必要性，激发学生学习兴趣；
3.提升学生数学抽象、数学建模核心素养. |
特例探寻
提出猜想 |
 设疑：【问题1】在直角三角形中，通过对角的正弦观察，您能发现边角新的数量关系吗？
引导：
设疑：【问题2】这是在直角三角形中得到的，那么在任意三角形中，这个关系式是否仍然成立呢?
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独立思考
集体回答
单独回答
认知倾听 |
1.以问启思，从学生知识最近发展区设置问题1，引导学生从直角三角形中发现、归纳出正弦定理.
2.问题1和问题2引导学生感受“特殊到一般”的研究方法. |
几何画板
直观验证 |
1.验证：几何画板验证结论
引导：几何画板验证过就算证明了吗？ |
动手操作
观察发现
集体回答 |
1.让学生动手操作，用几何画板直观验证，感知结论正确，提高教学时效性，并为后续分类讨论推导定理作铺垫；
2.引导学生由感性认识过渡到理性思维. |
逻辑推理
证明猜想
形成定理
理解赏析 |
设疑：【问题3】你能理性证明得到的猜想吗？
启发：直角三角形中等式已经成立，能否化生为熟，把锐角三角形转化为直角三角形来完成证明？如何转化？
展示：
导思：如何建立等式？
设疑：类比锐角三角形中证明过程，你能给出钝角三角形中的证明吗？
展示：
设疑：你能用文字语言描述它吗？
板书：
引导：你觉得正弦定理美吗？体现出哪些美？
剖析：【问题4】利用正弦定理可以解决哪类解三角形问题呢？
板书：
两角一边；
两边和其中一边的对角.
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独立思考
同桌交流
个别发言
完成证明
认真倾听
反思总结
投影展示
板书分享
生生互评
独立思考
口答分享
板书分享
个别展示
认真倾听
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1.引导学生用代数推理证明猜想，培养理性思维；
2．启发引导学生由几何画板操作过程想到按锐角三角形和钝角三角形分类证明，让学生感悟分类讨论的数学思想；
3．从已经构建的知识结构为切入点，经过老师引导点拨，让学生想到通过构造直角三角形和建立等式完成证明，让学生体会转化化归的数学思想；
4.提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.
1.用符号语言，文字语言概括出正弦定理，培养学生数学表达能力；
2.引导学生赏析定理，感悟定理美学价值；
3.通过问题4让学生加深对定理理解，感悟数学应用价值；
4.通过学生独立思考得到运用正弦定理可以解决的两类解三角形题目类型，领悟方程思想. |
应用定理
解决问题
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 范例：【引例】
投影：
范例：【例1】
 
投影：
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自主解答
投影展示
生生互评
板书修正 |
1.层次递进设置引例和例1，让学生加强对正弦定理的理解和应用，领悟方程思想；
2.学生通过完成引例，体验成功的自豪感，首尾呼应；
3.利用投影仪投影学生作业既提高课堂时效性又可以反馈学生学习情况并进行补救教学；
4.提升学生数学运算和逻辑推理素养. |
挖掘定理
拓展深化 |
引导：至此，大家对正弦定理的学习满意了吗？想揭秘这个“比值”是什么吗？
设疑：下面我们继续探究，来揭晓正弦定理中神秘的“比值”，请看课本例5，如何证明？
范例【例2】
设疑：【问题5】对于锐角三角形、钝角三角形，上述结论还成立吗？
探究：请同学们先独立思考，然后先组内后组间交流，完成表格中的探究任务1，探究任务2.
展示：
归纳：对比正弦定理两种方法你有什么感悟？
微课：通过学习，了解了正弦定理及其证明过程，同学们还想了解正弦定理发展简史吗？ |
独立思考
组内交流
组间交流
投影展示
个别回答
反思总结
师生共评
观看微课 |
1.为让学生加深对正弦定理理解，得到其比值，也为接下来用“外接圆”法证明正弦定理作铺垫，活用教材，把课本例5从第2课时提前，作为本节课的例题2；
2.“元认知”策略，挖掘知识内涵，深化知识理解；
3. 采用学案导学，分组攻克的教学策略，提高课堂效率，突破难点；
4.组织学生独立思考、组内交流讨论、组间交流、老师总结完善的师生、生生互动活动，培养学生乐于思考的习惯和敢于表达、交流的能力；
5.发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养；
6.利用微课介绍正弦定理发展简史，渗透数学文化，点燃学生探寻证明正弦定理的其它方法.
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课堂小结
回顾总结 |
归纳：请你从知识、思想和方法等角度谈谈本节课的收获？
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集体回答
个别回答
倾听回顾
概括总结 |
1.培养学生归纳概括及反思能力，提升学习境界. |
课后作业
巩固提升
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一、必做作业：课本 练习1,2.
二、选做作业：
（1）探究作业：探究用向量法证明正弦定理
（2）活动作业：查阅正弦定理发展简史,写出查阅收获 |
自主解答 |
1.分层作业，激发兴趣，挖掘潜能;
2.以数学家华罗庚的名言与生共勉，感悟数学学习的真谛.
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七、板书设计
正弦定理
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草稿区域
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八、教学反思
1.学习反思 方法感悟
弗赖登塔尔说：“反思是数学化过程中一种重要的活动，它是数学活动的核心和动力”.第一课时比较“做高法”和“外接圆法”两种证明方法，概括出共同要素—直角，激活所学知识，发展思维能力，提升核心素养.有了正弦定理第一课时的方法和经验，有了第一课时中微课提出的用向量知识证明正弦定理的思路和充足的课后思考探讨，在正弦定理第二课时可以以“向量法”再次展开对正弦定理证明，让学生再次体会向量是沟通代数和几何的工具，学会并适应用向量语言表示问题、解决问题,发展数学抽象和数学建模的核心素养.
2.对学生证明不严谨的认识
据多年的教学经验发现：学生在用“做高法”证明正弦定理时很难想到分锐角三角形和钝角三角形,所以在用几何画板验证的操作过程中分静态下的锐角三角形、钝角三角形和动态下连续变化的三角形进行观察，让学生直观感受并为接下来的证明做铺垫.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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