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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《对数函数的图象和性质》河南—刘佳—设计—
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第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《对数函数的图象和性质》河南—刘佳—设计—
4.4.2 对数函数的图象和性质
河南师范大学附属中学 刘佳
一、教学内容解析
本小节选自人民教育出版社出版的《普通高中教科书：数学A版》（必修第一册）第四章指数函数与对数函数4.4.2对数函数的图象和性质．
《普通高中课程方案（2017年版）》指出：“重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化．”本节课研究的对数函数是《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中函数主线中继幂函数、指数函数之后另一个重要的初等函数，是基于研究函数的一般观念的对数函数的研究．
从函数主线的宏观角度来看，学生在初中经过一次函数、二次函数、反比例函数的学习，已经掌握了用变量之间的依赖关系描述函数．高中又通过对应关系说建立了完整的函数体系，并经过了“理论应用，方法示范”过程，对数函数处于高中对函数研究的“巩固方法，丰富经验”的阶段．
从课时学习的微观角度来看：新教材把对数函数的研究拆分成了两个课时，上一个课时已经完成了对函数概念的学习．本节在研究函数的大方向指引下，通过对图象的探索挖掘函数性质，又通过对性质的应用加强对数函数和现实生活间的联系，特别是最后反函数的引入，通过对同一问题中的两个变量用两种不同类型的函数去刻画，使对数函数和指数函数间的关系更加清晰明朗．
本节课蕴含了分类讨论、数形结合等数学思想方法，体现了数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模等核心素养．对数函数的研究方法以及研究的问题具有普遍意义，有利于进一步加深对数学思想方法的理解．
二、教学目标设置
1．通过对研究函数的方法的总结，使学生掌握研究基本初等函数的一般方法，体会函数在数学学习中的重要性，感悟数学思想方法的内在联系．
2．通过对数函数的图象、性质的探究，使学生感受类比推理、数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法，发展数学抽象、逻辑推理等核心素养．
3．通过对情境创设、问题导向的体验，激活学生深度的理性思维．
4．通过合作探究的活动，使学生提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，能够用数学语言准确表述数学问题、数学现象，提升学生的探究力、学习力．
三、学生学情分析
在初中时期，学生们已经学习过了几个简单的初等函数，到了高中阶段，函数便成为了贯穿高中数学的一条主线，对函数的研究也更加的深入．学生已经熟练掌握了对数的运算，并已完成了对幂函数、指数函数的研究，所以学生已经基本熟悉了研究基本初等函数的方法和过程：背景——概念——图象和性质——应用，也掌握了数形结合、类比、归纳等数学思想方法．但学生在学习过程中，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，更注重形象思维．
四、教学策略分析
1．按认知规律教学
本节课类比幂函数、指数函数的研究方法，以基本初等函数的研究为单元的大概念教学引领了本节研究方向，符合知识发生的过程和学生学习的规律．
2．采用多样化教学方式
教学过程中教师和学生共同参与，学生为主体，教师为主导，充分发挥学生积极自主的学习精神．其中小组间的合作为学生发现问题、分析问题、解决问题提供了契机；教具（透明坐标纸）的使用，实现了对不同的函数图象的自由组合，也使学生活动更加丰富有趣；信息技术在教学中的使用，增强了图象的直观性，让学生直观感知图象特点，符合新课程理念中的信息技术与课堂的深度融合；数学工具（计算器）的运用，让学生在真实的情境中动手解决实际问题．
3．联系实际，体会数学有用
创设情境，让学生在数学情境中解决问题，加强数学建模活动、数学探究活动的教学．
4．落实严格的数学训练
针对对数函数性质的应用，本节精选了例题和当堂检测，并设置了书面作业和探究作业，做到实时评价，实时反馈．
五、教学过程
环节1：情境创设，方向引领
在研究对数函数之前，学生们研究过几个基本初等函数，比如幂函数、指数函数，也由此得出了研究函数的一般“套路”．首先，由实际问题得到某类函数，并根据解析式特点抽象出这类函数的概念，即：结合实际，抽象概念．接下来，为了要研究函数，就要先作出图象，再根据图象特点去概括性质，即：作出图象，概括性质．最后，回归到研究函数的最终目的上，即：利用性质去解决问题．今天，教师将带领学生按照这个步骤继续研究对数函数．
设计意图：教学的开头，教师以研究函数的一般套路作为研究对数函数的第一个情境，以解决真实情境中的真实问题为导向，激发学生的理性思维．并构造出了研究的大致框架，统领了本节的方向和内容，也为学生今后研究其他的函数问题提供了方法指引．
预设的师生活动：教师向学生展示研究函数的一般方法和过程的思维导图．
环节2：启发诱导，合作探究
构建出研究框架后，为了引导学生研究函数的图象和性质，本节设计了第二个情境——类比指数函数图象与性质的研究，这里分为4个活动展开．
活动1：引导学生们回忆，之前在研究指数函数时，先用描点法画了哪几个指数函数的图象呢？通过类比，能否确定本节要先画哪几个对数函数的图象呢？课前教师已经给学生分了组并做了编号，每组都有A、B、C、D四名同学，引导大家根据教师的分工和要求，先完成探究一，并在坐标纸上用描点法画出函数
，
，
，
的图象．（说明：四个人一小组，按照下面图片中的要求每人只画一个图象．）
探究一：
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x |
... |
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1 |
2 |
4 |
8 |
... |
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... |
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... |
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... |
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... |
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x |
... |
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1 |
3 |
9 |
... |
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... |
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... |
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... |
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... |
设计意图：在这个活动中，学生经历了类比归纳、经验指导的思维过程，感悟描点法是作函数图象的最基本的方法，由图象得到对函数的感性认知．
预设的师生活动：1．通过类比，确定本节课所要描点作图的具体的对数函数；2．教师带着学生回忆描点作图法的步骤；3．教师对学生分工并布置作图任务；
4．教师展示出正确答案之后，抛出问题：为什么自变量取表格中的这些值？让学生思考回答．
活动2：同桌结合（每组的AB结合，CD结合），叠放坐标纸，使两个图象呈现在同一坐标系内，观察图象，学生讨论并总结出它们之间的共同点．从特殊上升到一般，引导学生猜想出当底数
和
时的图象．此时学生猜想，老师通过作图软件验证学生的猜想，并引导学生完成探究二.
探究二：
设计意图：引导学生通过观察图象特点，猜想并验证对数函数的图象，为总结对数函数的性质做铺垫.在这个活动中，学生对不同图象进行组合、对比，经历了发现——猜想——验证的思维过程．
预设的师生活动：同桌结合，观察讨论，教师点评，通过操作作图软件动态呈现当底数变化时的图象，提问学生：为什么图象恒过点
呢？最后让学生完成学案上探究二．
活动3：每组的前后两名同学进行结合（AC结合，BD结合），叠放坐标纸，观察图象，此时两图象间有什么关系？（两图象关于
轴对称）教师带领学生证明.
设计意图：通过观察得到底数互为倒数的两图象关于
轴对称这一结论．在本活动中，学生再次对不同图象进行组合、对比，学生再次经历发现——猜想——验证的思维过程，引发了学生积极的思维活动，培养了学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．
预设的师生活动：学生叠放坐标纸，观察得到图象的对称性，并沿
轴对折，发现两图象重合（对称事实），教师引导学生去证明．
活动4：根据刚才所得到的对数函数的图象，引导学生以小组为单位，讨论对数函数的性质，并完成学案上的探究三．
探究三：
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定义域 |
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值域 |
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过定点 |
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单调性 |
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函数值变化情况 |
当 时, ______
当 时,______ |
当时,______
当时,______ |
设计意图：在这个活动中，学生经历了数学抽象的思维过程，渗透数形结合、转化与化归、分类讨论的思想，培养学生抽象概括、直观想象的能力，发展学生数学抽象的核心素养；
体现了教师“按认知规律教学”的理念和策略．
预设的师生活动：学生通过小组讨论得到对数函数的性质并完成探究三，在这个过程中教师巡视，指导并参与学生的讨论，选两名同学板演黑板上的性质表格，完成后向大家讲解，教师点评，并展示正确答案，最后引导学生归纳总结．
环节3：应用新知，解决问题
例3 比较下列各组数中两个值的大小：
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
，
．
例4 溶液酸碱度的测量．
溶液的酸碱度通过
计量.
的计算公式为
，其中
表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．
（1）根据对数函数性质及上述
的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为
摩尔/升，计算纯净水的
．
追问：胃酸中氢离子浓度是
摩尔/升，胃酸的
是多少？
设计意图：在本环节中，学生体验了数学工具的运用，并经历了模型构建、逻辑推理的思维过程，进一步理解对数函数的单调性，创设真实情境，用函数性质解决实际问题，体会数学有用．
预设的师生活动：在例3中，通过构造函数，应用对数函数的单调性去比较同底数对数的大小，并渗透分类讨论的思想．教师板演第（1）题，学生们回答（2）、（3）题，最后总结本题的心得．在例4中，利用对数函数的相关知识探究实际生活中的真实问题．教师引导学生一起完成数学模型的构建，提出问题，学生回答问题，得出结论，并用计算器完成胃酸
值的计算．
环节4：拓展新知，思维升华
古生物机体内碳14含量
随着死亡年数
的变化而衰减，它们之间满足指数关系式
，定义域为
，值域为
，反过来，如果已知碳14含量
，如何求死亡年数
呢？由此引出对数函数
，它们的定义域和值域互换，并说明这两个函数互为反函数．最后教师更改变量的符号，即
与
互为反函数．
最后，由探究四中得到的
与
互为反函数的结论，得出：一般地，指数函数
（
，且
）与对数函数
（
，且
）互为反函数．
设计意图：《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》不要求学生讨论形式化的反函数定义，也不要求学生求已知函数的反函数，所以这里对反函数相关知识进行弱化讲解，让学生通过指数函数与对数函数的对应关系、定义域与值域的关系，从特殊上升到一般，来探索出同底数的指数函数与对数函数互为反函数．并通过问题串的设置，在学生的最近发展区内引发了学生积极的思维活动，最终使学生独立完成探索和总结，得出一般结论．
预设的师生活动：让学生独立探索与指数函数
具有互逆的对应关系的函数，引导学生思考这两个函数的定义域和值域之间的关系，完成探究四后，引导学生发现同底数的指数函数与对数函数互为反函数．
环节5：学以致用，融会贯通
1．比较下列各组中两个值的大小：
（1）
_____
； （2）
______
； （3）
_____
．
2．比较满足下列条件的两个正数
的大小：
（1）
； （2）
； （3）
．
3．函数
的定义域为 ，过定点 ．
设计意图：检测本节课教学效果，巩固学生对本节内容的理解和掌握．在这个环节中，学生经历了迁移应用，深入理解的思维过程，对所学的知识进一步内化和深加工．
预设的师生活动：学生在学案上完成当堂检测，并按顺序一人回答一道，之后教师点评．
环节6：课堂小结，作业布置
学习内容总结：（1）对数函数的图象和性质；（2）对数函数的图象和性质的应用；（3）同底数的指数函数与对数函数互为反函数．
数学思想方法总结：本节运用了类比，数形结合，从特殊到一般，分类讨论等数学思想方法研究了对数函数的图象和性质．
设计意图：在课堂小结中，学生经历了回顾、归纳、反思的思维过程，再次体会研究函数的一般套路，为学生再次研究函数提供方法支撑，培养了学生的表达能力．适时的组织和指导学生归纳知识和技能的一般规律，有助于学生更好的学习、记忆和应用，发挥知识系统的整体优势，并为后续学习打好基础．
预设的师生活动：教师先引导学生回顾本节的知识，接着在总结数学思想方法时，学生举手回答，教师指点补充．
作业布置：
1．书面作业：课本第135页第1题，第141页第10题；
2．探究作业：课本第135页的探究与发现．
设计意图：书面作业与课堂中的例3例4相呼应，比较了同底数对数的大小，研究了现实生活中的问题——声强问题．探究作业让学生在了解了互为反函数的两个函数解析式关系的基础之上，进一步探究图象间的关系，从数和形两方面对函数关系进行深入考察．
板书设计
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§4.4.2 对数函数的图象和性质 |
一、图象和性质
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图象 |
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定义域 |
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值域 |
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过定点 |
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单调性 |
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函数值变化情况 |
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 和 的图象关于 轴对称.
二、例3 解：（1）
三、一般地，指数函数 （ ，且）与对数函数 （ ，且 ）互为反函数．
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