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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《超几何分布》广东—肖

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第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《超几何分布》广东—肖

《超几何分布》教学设计
（人民教育出版社A版 普通高中教科书 数学选择性必修第三册 第七章 第4节 第2课时）

一、内容和内容解析
1.内容
超几何分布的定义，超几何分布的均值，超几何分布与二项分布的区别与联系.
2.内容解析
超几何分布是一种离散型随机变量的分布，该概率模型的学习与简单随机抽样、样本空间、事件的关系与运算、概率的基本性质与计算、古典概型等基础知识紧密联系，是概率知识的综合应用的过程.教材将超几何分布的学习安排在离散型随机变量及其分布列、数字特征的一般性知识后，与二项分布构成一个课时单元，一方面体现了两个模型的重要性，另一方面也能突出两个模型的应用价值.
超几何分布是特殊的古典概型，主要用于不放回简单随机抽样中的概率计算，其中对抽取的每个个体只考虑是否具有某种特征，即总体可以分为和两个子总体，表示具有该特征的子总体，表示不具有该特征的子总体.与放回简单随机抽样是重伯努利试验不同，不放回简单随机抽样每次抽取的条件不一样，且各次抽取的结果不独立，是个不同的伯努利试验，而非重伯努利试验.教材通过二项分布与超几何分布的对比学习，深化对两个模型特征的理解.
超几何分布的学习体现了建立概率模型的一般研究路径：问题情景—归纳随机试验的特征—定义随机变量—推导的分布列—简单应用.教材通过对比放回抽样与不放回抽样，初步认识二项分布与超几何分布的区别与联系，体现了类比的数学思想；在建立超几何分布的概率模型的基础上，教材通过列举不放回选出学生、不放回抽取产品、不放回摸取小球等不同背景的试验，引导学生根据试验特征来判断试验是否为超几何分布，体现了特殊与一般的数学思想；在解决简单的实际问题的过程中，教材借助信息技术直观地帮助学生理解二项分布与超几何分布的区别与联系，体现了应用信息技术研究概率统计问题的内在需求.
基于以上的分析，确定本节课的教学重点：超几何分布模型及其均值，超几何分布与二项分布的区别与联系.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）通过有放回与不放回抽样试验的对比，理解不放回简单随机抽样的定义，理解事件的含义，会用排列组合数计算不放回简单随机抽样的概率，发展逻辑推理素养；
（2）能借助Venn图理解并抽象出超几何分布模型，会用超几何分布模型计算随机事件的概率，培养学生应用类比、特殊与一般等数学思想方法的意识，发展直观想象、数学抽象、逻辑推理素养；
（3）能借助Venn图猜想超几何分布的均值，通过解决较复杂的数学问题，体会超几何分布和二项分布的区别与联系，培养学生运用模型思想和信息技术软件解决问题的意识，发展数学建模素养.
2.目标解析
达成以上目标的标志是：
（1）会区分有放回与不放回抽样试验的特征，会求不放回简单随机抽样问题的概率；
（2）能借助Venn图理解超几何分布模型及其随机变量的取值范围，能识别概率问题能否用超几何分布模型计算，会根据求解步骤应用超几何分布模型计算随机事件的概率；
（3）能借助Venn图猜想超几何分布的均值并理解其推导过程，会用信息技术生成概率统计图表，能根据图表分析得到概率统计结论，体会超几何分布与二项分布的区别与联系.
三、学生学情分析
超几何分布学习的认知基础是简单随机抽样、样本空间、古典概型等基础知识，以及二项分布的学习经验等.
对于简单随机抽样，学生理解了放回抽样与不放回抽样的区别与联系，初步感知到“逐个不放回地随机抽取个个体作为样本”与“一次性批量随机抽取个个体作为样本”是显然等价的，其中，“逐个取”和“一次性批量取”的抽样理解会影响试验样本空间中样本点的个数计算，“逐个取”的试验样本空间是有序（无重复）样本空间，“一次性批量取”的试验样本空间是无序样本空间，两种不同的理解能帮助学生从推理的角度理解“逐个取”和“一次性批量取”确实等价.在比较学习的基础上，引导学生体会选择更简洁的求解方法作为数学模型，感悟数学的简洁美，深化对超几何分布的特征的理解.
对于超几何分布的随机变量取值的范围，学生初步具备了用直观图示理解条件概率的概念、全概率公式的学习经验，缺乏将不放回抽样直观化的意识，教学不妨引导学生在直观图示的基础上，理解样本空间，推理求解随机变量取值的范围.
对于超几何分布均值的直观猜想和推理证明，学生积累了应用特殊与一般的数学思想方法猜想二项分布均值的活动经验，缺乏结合直观图示猜想均值、推导均值公式的意识，学生广泛联系等比例分层抽样等相关知识的解决问题的意识有待进一步提高.此外，在理解二项分布与超几何分布的区别与联系时，需要借助信息技术帮助学生观察、发现两者的区别与联系.
基于以上分析，确定本节课的教学难点：在实际问题中抽象出超几何分布模型的特征，超几何分布随机变量范围的理解，以及均值的猜想与推导.
四、教学策略分析
教学从有放回抽样的随机变量分布列的求解出发，帮助学生复习二项分布模型，回顾基于样本空间利用古典概型计算概率的步骤，引导学生积累对比两种不同思路得到的分布列结果之间的联系，筛选更为简洁的分布列结果作为概率模型的活动经验，为不放回抽样随机试验的研究提供类比基础和研究思路，引导学生自然想到应用古典概型求解概率，对比一次性批量抽取和逐个有顺序的依次抽取两种思路，选取较简的一次性批量抽取思路进行一般概率模型的抽象.在抽象超几何分布模型的过程中，教学借鉴条件概率的概念、全概率公式的学习经验，引导学生借助Venn图理解超几何分布的直观意义，并推导随机变量的取值范围，进而引导学生借助Venn图猜想超几何分布的均值，并突破推导证明的难点，帮助学生通过直观感知，加深对超几何分布及其均值的理解.在研究二项分布与超几何分布的过程中，教学需要借助信息技术计算二项分布和超几何分布的概率值、生成概率统计图表，引导学生通过观察图表归纳、总结二项分布和超几何分布的区别与联系，感悟应用信息技术研究概率统计问题的内在需求.

• 教学流程

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
六、教学过程
（一）对比问题、探究方法
问题：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为，求随机变量的分布列.
师生活动：审视问题，明确差异，将问题分解为有放回和不放回两个随机试验的问题.
【设计意图】问题引入，引导学生关注差异，初步体会两种简单随机抽样对应的随机试验的区别.
 
问题1：已知100件产品中有8件次品，采用有放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为，求随机变量的分布列.
师生活动：分析试验特征，利用二项分布求分布列，得到问题1的求解结果：随机变量服从二项分布，即，所以的分布列为.
复习：应用古典概型求概率包含哪些步骤？
师生活动：复习回顾古典概型求概率的基本步骤：①计算样本空间中样本点的个数，②计算符合条件的样本点的个数，③求比值.
教师：问题1还可以从样本空间的角度出发进行求解，请写出其计算过程.
师生活动，具体活动结果如下表：

步骤	计算过程	分析
1.求样本空间中样本点的个数		有放回抽取，每次都是从100件产品中抽取1件
2.求符合条件的样本点的个数		抽取的4件产品中次品数为
3.求比值

教师：两种思路下不同的分布列表达式之间有什么联系？
教师分析，将应用古典概型求解得到的分布列通过运算形式的变形改写成二项分布的形式，具体如下：
    【设计意图】复习回顾二项分布，明确有放回抽样的本质就是重伯努利试验.复习基于样本空间应用古典概型求解概率的步骤. 通过将应用古典概型求解得到的分布列改写为二项分布概率模型，引导学生积累对比两种不同思路得到的分布列结果之间的联系，筛选更为简洁的分布列结果作为概率模型的活动经验，为不放回抽样随机试验的研究提供类比基础和研究思路.
 
问题2：已知100件产品中有8件次品，采用不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为，求随机变量的分布列.
师生活动：首先，对于不放回抽样的随机试验，明晰每次抽样都是一个伯努利试验，但每次抽取的不是同一个试验，且各次抽取的结果也不相互独立，所以不是重伯努利试验，即用表示抽取到的次品个数，随机变量不服从二项分布.其次，借助问题1的活动经验，引导学生在将“不放回抽取”理解为“一次性批量无顺序随机抽取”和“逐个有顺序依次抽取”的基础上，得到两种利用古典概型求解概率分布列的思路，进而组织学生分组根据两种不同的思路进行概率分布列的求解，开展数学探究活动.
思路1活动结果：
教师在学生列式、展示的基础上，借助Venn图（各随机变量表示的随机事件的直观图示如下）帮助学生深化对一次性批量无顺序随机抽取4件产品时抽取次品数的分布列的理解，进而根据应用古典概型的一般步骤进行求解.


师生活动，具体活动结果如下表：

步骤	计算过程	分析
1.求样本空间中样本点的个数		不放回一次性批量无序抽取，试验的样本点用个元素的组合数表示
2.求符合条件的样本点的个数		从8件次品中抽取件，从92件正品中抽取件
3.求比值

 
思路2活动结果：
教师在学生列式、展示的基础上，借助画格子、分步骤（图示如下）帮助学生深化对逐个有顺序依次抽取随机抽取4件产品时抽取次品数的分布列的理解，进而根据应用古典概型的一般步骤进行求解.

步骤	计算过程	分析
1.求样本空间中样本点的个数		不放回有顺序依次抽取，试验的样本点用个元素的排列表示
2.求符合条件的样本点的个数		先从4个位置中选出个位置放次品，其余位置放正品
3.求比值

师生活动，具体活动结果如下表：
 
思考：两种思路下不同的分布列表达式之间有什么联系？
教师分析，将应用排列数求解得到的分布列通过运算形式的变形改写成组合数的形式，具体如下：
    【设计意图】深入辨析有放回抽样和不放回抽样随机试验的区别与联系，强化基于样本空间利用古典概型求概率的基本步骤.通过对两种求解思路的分析、比较，引导学生发现不同思路下分布列结果的联系，筛选出更为简洁的分布列结果作为概率模型.此外，借助Venn图帮助学生直观地理解“一次性批量无顺序随机抽取”的求解过程，为超几何分布模型的抽象与随机变量范围的求解做好铺垫.
 
（二）抽象概括、生成概念
问题3：一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中不放回地随机抽取件产品，用表示抽取的件产品中的次品数，如何求的分布列？
师生活动：结合Venn图，仿照问题2的研究思路，抽象概括出一般情形下的分布列模型：

思考：你能结合Venn图的约束关系，探究随机变量取值的取值范围吗？
师生活动：结合图示，分析并求解随机变量的取值范围.具体过程如下：
由
得其中
超几何分布：从件产品中任取件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的，其中件产品中恰有件次品的结果数为.由古典概型的知识，得到的分布列为
【设计意图】借助Venn图，引导学生经历从特殊到一般的抽象过程，初步完成超几何分布模型的抽象概括，进而引导学生通过直观理解各参数的约束条件，推导出随机变量的取值范围，感悟数学模型精致化的过程，体会数学的严谨美.
 
概念辨析：下列问题当中，哪些可以用超几何分布模型求解？
（1）从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.
（2）一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.
（3）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机抽取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品的件数，求的分布列.
（4）袋子中有大小相同的个球，其中有个红球，个白球，个黑球，从中不放回随机摸出个球，设表示摸出的个球中红球的个数，求的分布列.
师生活动：完成辨析判断，明确超几何分布概率模型的表述特征.
【设计意图】检测学生能否准确地根据问题情境，识别出相应的模型，加深对模型的理解，深化对“关心事件”与“不关心事件”的理解．
 
（三）应用概念、解决问题
例1（教材例4） 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.
师生活动：确定问题服从超几何分布，找准模型中的参数，，，规范表达例题1，并形成解题步骤：.
解：设表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则服从超几何分布，且，，. 因此，甲被选中的概率为
例2（教材例5） 一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.
师生活动：借确定问题服从超几何分布，找准模型中的参数，，，规范表达例题2.
解：设抽取的10个零件中不合格品数为，则服从超几何分布，且，，. 的分布列为
至少有1件不合格的概率为
间接法：
【设计意图】引导学生准确辨析模型，明确运用超几何分布模型求概率的解题步骤，巩固超几何分布的概念，初步学会应用超几何分布解决简单的概率问题.
 
（四）直观猜想、推理论证
思考：你能结合Venn图和等比例分层抽样猜想超几何分布的均值吗？
师生活动：先结合Venn图猜想超几何分布的均值，再用代数证明.
猜想过程：，记，则.

证明过程：令，，由随机变量均值的定义：
当时，，

由上图可以得到，
所以，
当时，注意到（1）式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依然成立.
【设计意图】借助直观图示，引导学生观察，合理猜想超几何分布的均值，再应用均值计算公式进行推导证明.引导学生经历“先猜后证”的一般研究过程，发展学生数学探究的能力，提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养.
 
（五）探究差异、深化认识
例3（教材例6）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.
(1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；
(2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.
师生活动：学生分别运用二项分布和超几何分布解决有放回和不放回摸球的分布列.用信息技术计算两个分布列的概率值，展示并利用分布列计算误差不超过0.1的概率，总结分析二项分布与超几何分布的区别与联系，具体结果如下.

区别	（1）一般地,二项分布的模型是“独立重复试验”，是有放回抽样；而超几何分布的模型是不放回抽样.
	（2）在相同的误差限制下，超几何分布的结果更可靠些.
	（3）超几何分布更集中在均值附近.
联系	（1）二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律.
	（2）二项分布和超几何分布的均值相同.
	（3）对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，此时超几何分布可以用二项分布近似.

【设计意图】让学生体会二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.了解超几何分布与二项分布的区别与联系.
 
（六）总结提升、巩固理解

【设计意图】从知识和研究思路两方面进行归纳总结，培养学生归纳总结的能力，逐步掌握抽象模型特征的一般步骤，梳理本节研究的内容，深化数学思维和思想方法.
 
（七）布置作业、发展素养
课本作业：课本第80页练习1,2；课本第81页练习6
探究作业：请你举出两个服从超几何分布的随机变量的例子，并在Excel中计算分布列的概率；
课外拓展：我们今天所学的内容为称之为超几何分布，为什么这样命名，有没有“几何分布”？请大家自主查阅相关资料并进行交流．
【设计意图】重视双基的同时，设置数学探究活动作业，培养学生创新意识，以及发现和提出问题的能力和信息技术素养.

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